8.5.3（2）平面与平面平行的性质导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.5 空间直线、平面的平行 §8.5.3（2） 平面与平面平行的性质【导学】【解析】 【导学目标】 1.理解并能证明两个平面平行的性质定理 2.能利用性质定理解决有关的平行问题 【导学重点】能利用性质定理解决有关的平行问题 【导学难点】直观想象、逻辑推理． 【知识要点】 知识点 平面与平面平行的性质 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ a ∥b. 图形语言 简记 面面平行，则线面平行. 面面平行条件的应用 （1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行； （2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线. 平面与平面平行的三个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 线、面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． (7)垂直于同一条直线的两个平面平行． (8)垂直于同一平面的两条直线平行． 典型例题 题型一 面面平行性质定理的理解 【例1-1】平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面三种情形： ①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有(　　) A．1种 B．2种 C．3种 D．0种 【答案】B 【例1-2】给出三种说法： ①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ； ②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交； ③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α. 其中正确说法的序号是________． 【答案】①②③ 【例1-3】与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　) A．都平行 B．在这两个平面内 C．都相交 D．至少与其中一个平面平行 【答案】D 【例1-4】下列命题： ①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交； ②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面； ③夹在两个平行平面间的平行线段相等． 其中正确的是命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【变式1-1】α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是(　　) ①⇒a∥b; ②⇒a∥b； ③⇒α∥β； ④⇒α∥β； ⑤⇒α∥a; ⑥⇒a∥α. A．④⑥ B．②③⑥ C．②③⑤⑥ D．②③ 【答案】C 【变式1-2】下列命题中，错误的是(　　) A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 【答案】C 【变式1-3】设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C(　　) A． 不共面 B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D．不论A、B如何移动，都共面 【答案】D 【变式1-4】已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中所有真命题的序号为________． 【答案】③ 【解析】①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故①为假命题。 ②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l与m可能平行，也可能异面，故②为假命题。 ③已知α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，且l∥γ。∵l∥γ，β∩γ=m，l⊂β， ∴l∥m（线面平行的性质定理）。同理，l∥γ，γ∩α=n，l⊂α， ∴l∥n。∴m∥n，故③为真命题。 所以真命题的序号为③ 题型二 平面与平面平行性质定理的应用 【例2-1】如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________． 【答案】 【解析】：因为平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB 所以CD//AB，可知＝， ∴AB＝＝＝． 故答案： 【例2-2】在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. 求证：DF//平面ABE； 【分析】由线线平行证平面ABE，平面ABE，再由线面平行证明平面ABE//平面CDF，利用面面平行的性质即可证得结论； 【解析】 由四边形为矩形，可得， 因 平面ABE，平面ABE，故CF//平面ABE； 因，平面ABE，平面ABE，故平面ABE， 又因平面，故有平面平面. 再由平面可得平面. 【例2-2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点， 且＝＝． (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． 【解析】：(1)证明：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1， 因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM， 所以＝＝，又因为＝＝，所以＝＝， 所以PQ∥MD1．又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA， 故PQ∥平面A1D1DA． (2)当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA．如图， 证明如下：因为＝，即＝，故＝． 所以PR∥DA． 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA， 又由(1)知PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR， 所以平面PQR∥平面A1D1DA． 题型三 平行关系的综合应用 三种平行关系的转化 提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明． 【例3-1】如图，在四棱锥中，底面，． 设分别为的中点，为的重心，证明：平面； 【分析】只需证明平面及平面进而证得平面平面， 根据面面平行的性质，证得结果； 【解析】因为分别为的中点，则． 又在平面外，则平面． 连接，延长交于，连接．因为为的重心，则 为的中点，从而． 又在平面外，则平面． 因为是平面内的两条相交直线，则平面平面． 因为平面，所以平面． 【例3-2】如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． 【分析】（1）利用中位线性质可得，再由线面平行判定定理可证明所以平面； （2） 易证平面，由平面平面， 根据线面平行性质定理证明，即可得平面． 【解析】（1）连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）在正方形中，有， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为面，平面平面，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.5 空间直线、平面的平行 §8.5.3（2） 平面与平面平行的性质【导学】 【导学目标】 1.理解并能证明两个平面平行的性质定理 2.能利用性质定理解决有关的平行问题 【导学重点】能利用性质定理解决有关的平行问题 【导学难点】直观想象、逻辑推理． 【知识要点】 知识点 平面与平面平行的性质 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ a ∥b. 图形语言 简记 面面平行，则线面平行. 面面平行条件的应用 （1）两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行； （2）两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行. 提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线. 平面与平面平行的三个性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 线、面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． (6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行． (7)垂直于同一条直线的两个平面平行． (8)垂直于同一平面的两条直线平行． 典型例题 题型一 面面平行性质定理的理解 【例1-1】平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面三种情形： ①a∥b；②a与b异面；③a与b相交，其中可能出现的情形有(　　) A．1种 B．2种 C．3种 D．0种 【例1-2】给出三种说法： ①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ； ②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交； ③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α. 其中正确说法的序号是________． 【例1-3】与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　) A．都平行 B．在这两个平面内 C．都相交 D．至少与其中一个平面平行 【例1-4】下列命题： ①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交； ②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面； ③夹在两个平行平面间的平行线段相等． 其中正确的是命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【变式1-1】α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是(　　) ①⇒a∥b; ②⇒a∥b； ③⇒α∥β； ④⇒α∥β； ⑤⇒α∥a; ⑥⇒a∥α. A．④⑥ B．②③⑥ C．②③⑤⑥ D．②③ 【变式1-2】下列命题中，错误的是(　　) A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 【变式1-3】设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C(　　) A． 不共面 B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面 C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D．不论A、B如何移动，都共面 【变式1-4】已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m； ③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中所有真命题的序号为________． 题型二 平面与平面平行性质定理的应用 【例2-1】如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________． 【例2-2】在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. 求证：DF//平面ABE； 【例2-2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点， 且＝＝． (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． 题型三 平行关系的综合应用 三种平行关系的转化 提醒：解答探索性问题的基本策略是先假设，再证明． 【例3-1】如图，在四棱锥中，底面，． 设分别为的中点，为的重心，证明：平面； 【例3-2】如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $