8.5.2 直线与平面平行导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 理解直线与平面平行的定义，掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，能准确用文字语言、符号语言、图形语言表示两个定理；能运用定理解决简单的线面平行判定与性质应用问题.
- 通过观察生活实例、动手操作、合作探究，经历定理的猜想、推导与验证过程，体会“空间问题转化为平面问题” “线线平行与线面平行相互转化”的思想，提升空间想象能力和逻辑推理能力.
- 通过对棱柱、棱锥、棱台的学习，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.
- 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
- 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
- 判定定理中“平面外”条件的理解.
- 性质定理的应用条件（过直线的平面与原平面相交）.
- 线面平行与线线平行的相互转化.
- 问题引入：
直线与平面平行的定义是直线与平面没有公共点.但直接判断没有公共点很困难.能否用更简便的方法判定？
观察：教室的门扇在转动时，门扇的边缘与墙面始终没有公共点，同时这根边缘与墙面内的一条直线（门框底边）平行.
猜想：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线是否就与平面平行？
- 动手操作：
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将笔放在课本上（笔在课本内部），此时笔在平面内，不是平面外.
将笔放在课本边缘外侧，使笔与课本的某条边平行，观察笔与课本所在平面的关系.
结论：当笔平行于课本内的一条直线且笔不在课本平面内时，笔与平面没有公共点，即平行.
- 判定定理：
文字：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
符号：
，
，且 
，则 
.
图形：画一条直线 
在平面外，平面内有一条直线 
与 平行.
- 辨析：
(1) 若直线 ，，则 对吗？
（不对，因为 可能在平面内.）
(2) 若直线 与平面 
内无数条直线平行，则 对吗？
（不对， 可能在平面内或与平面相交.）
- 判定定理：，，
. - 作用：将线面平行转化为线线平行.
- 关键：找平面内一条直线与已知直线平行.
- 逆向思考：
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线有什么位置关系？
（可能平行，也可能异面.）
那么，能否通过线面平行得到线线平行呢？
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观察：过直线 作一个平面 
与平面 相交于直线 ，则 与 一定平行.为什么？
因为 与 无公共点，，所以 与 无公共点；且 与 共面（都在 内），故 .
- 性质定理：
文字：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
符号：，
，
.
图形：画平面 和 相交于 ，直线 在 内且平行于 .
- 注意：
(1) 必须“过这条直线作一个平面与原平面相交”，否则不一定得到平行线.
(2) 定理提供了由线面平行推出线线平行的方法，是证明空间平行关系的常用工具.
- 性质定理：，，.
- 作用：由线面平行推出线线平行.
- 应用：常用于证明两条直线平行.
- 例1：在正方体
中，
分别是 
的中点.求证：
平面 
.
证明：连接 
，由中位线得 
；再证 
，从而 
，又 
平面 ，
平面 ，所以 平面 .
- 例2：四边形
是平行四边形，
是平面 外一点，
分别是 
的中点.求证：
平面 
.
证明：取 
中点 
，连接 
.可证 
且 
，得四边形 
为平行四边形，从而 
，又 
平面 ，
平面 ，故 平面 .
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