8.5.2 直线与平面平行导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.2 直线与平面平行 【学习目标】 1. 理解直线与平面平行的定义，掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，能准确用文字语言、符号语言、图形语言表示两个定理；能运用定理解决简单的线面平行判定与性质应用问题. 1. 通过观察生活实例、动手操作、合作探究，经历定理的猜想、推导与验证过程，体会“空间问题转化为平面问题” “线线平行与线面平行相互转化”的思想，提升空间想象能力和逻辑推理能力. 1. 通过对棱柱、棱锥、棱台的学习，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养. 【学习重点】 1. 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 2. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 【学习难点】 1. 判定定理中“平面外”条件的理解. 2. 性质定理的应用条件（过直线的平面与原平面相交）. 3. 线面平行与线线平行的相互转化. 学习任务一 直线与平面平行的判定定理 【合作探究】 1. 问题引入： · 直线与平面平行的定义是直线与平面没有公共点.但直接判断没有公共点很困难.能否用更简便的方法判定？ · 观察：教室的门扇在转动时，门扇的边缘与墙面始终没有公共点，同时这根边缘与墙面内的一条直线（门框底边）平行. · 猜想：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线是否就与平面平行？ 1. 动手操作： · 将笔放在课本上（笔在课本内部），此时笔在平面内，不是平面外. · 将笔放在课本边缘外侧，使笔与课本的某条边平行，观察笔与课本所在平面的关系. · 结论：当笔平行于课本内的一条直线且笔不在课本平面内时，笔与平面没有公共点，即平行. 1. 判定定理： · 文字：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. · 符号：，，且 ，则 . · 图形：画一条直线 在平面外，平面内有一条直线 与 平行. 1. 辨析： (1) 若直线 ，，则 对吗？ · （不对，因为 可能在平面内.） (2) 若直线 与平面 内无数条直线平行，则 对吗？ · （不对， 可能在平面内或与平面相交.） 【自主梳理】 1. 判定定理：，，. 1. 作用：将线面平行转化为线线平行. 1. 关键：找平面内一条直线与已知直线平行. 学习任务二 直线与平面平行的性质定理 【合作探究】 1. 逆向思考： · 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线有什么位置关系？ · （可能平行，也可能异面.） · 那么，能否通过线面平行得到线线平行呢？ · 观察：过直线 作一个平面 与平面 相交于直线 ，则 与 一定平行.为什么？ · 因为 与 无公共点，，所以 与 无公共点；且 与 共面（都在 内），故 . 1. 性质定理： · 文字：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. · 符号：，，. · 图形：画平面 和 相交于 ，直线 在 内且平行于 . 1. 注意： (1) 必须“过这条直线作一个平面与原平面相交”，否则不一定得到平行线. (2) 定理提供了由线面平行推出线线平行的方法，是证明空间平行关系的常用工具. 【自主梳理】 1. 性质定理：，，. 1. 作用：由线面平行推出线线平行. 1. 应用：常用于证明两条直线平行. 学习任务三 综合应用（判定与性质） 【合作探究】 1. 例1：在正方体 中， 分别是 的中点.求证： 平面 . · 证明：连接 ，由中位线得 ；再证 ，从而 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 1. 例2：四边形 是平行四边形， 是平面 外一点， 分别是 的中点.求证： 平面 . · 证明：取 中点 ，连接 .可证 且 ，得四边形 为平行四边形，从而 ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 . 1. 例3：在四棱锥 中，底面 是平行四边形，， 是 中点，在 上取一点 ，过 和 作平面交平面 于 .求证：. · 证明：连接 ，由中位线得 ，从而 平面 ；又 平面 ，平面 平面 ，由性质定理得 . 1. 总结：判定定理和性质定理经常交替使用：先由线线平行得线面平行，再由线面平行得线线平行，如此循环. 【自主梳理】 常用辅助线： 1. 找中点、中位线（构造平行关系）. 2. 构造平行四边形（证明平行且相等）. 3. 作过已知直线的平面与已知平面相交（应用性质定理）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若直线 与平面 内的一条直线平行，则 . （ ） 1. 若直线 ，则 与 内的任何直线都平行. （ ） 1. 若直线 ，，，则 . （ ） 1. 若直线 与平面 内的无数条直线平行，则 . （ ） 1. 过平面外一点有无数条直线与该平面平行. （ ） 答案：1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√ 【典例分析】 例1：在正方体 中， 为 中点， 为 中点.求证： 平面 . 证：取 中点 ，连接 .可证 ，，平面 平面 ，从而 平面 . （也可直接证 ？注意 是 中点， 是 中点，不直接平行.可连接 ，取 中点 ，证 ，，再得面面平行.略.） 例2：空间四边形 中， 分别为 上的点，且 .求证：. 证：因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .又 平面 ，平面 平面 ，所以 . 【习题巩固】 1. 下列命题正确的是（ ） · A. 如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 · B. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 · C. 如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 · D. 如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 1. 在正方体 中，与 平行的平面有（ ） · A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 1. 在空间四边形 中， 分别是 的中点，则与 平行的平面是（ ） · A. 平面  B. 平面  C. 平面  D. 平面 1. 已知直线 平面 ，，则 与 的位置关系是______. 1. 在四棱锥 中，底面 为矩形， 分别为 的中点.求证： 平面 . 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√ 习题巩固： 1. B 1. B（平面 和平面 ） 1. 在空间四边形 中， 分别为 的中点，则与 平行的平面是（ ） · A. 平面  B. 平面  C. 平面  D. 平面 · 解：由中位线 ，而 平面 ，且 平面 ，故 平面 ，选 A. 1. 直线 平面 ，，则 与 的位置关系是______. · 答：平行或异面. 34. 证明略（取 中点构造平行四边形） 学科网（北京）股份有限公司 $