8.5.3平面与平面平行导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.5.3平面与平面平行 【学习目标】 直线与平面平行. 【学习重难点】 1. 理解并掌握平面与平面平行的判定定理．(重点)， 2. 理解并掌握平面与平面平行的性质定理．(重难点) 【学习过程】 一、知识回顾 1．直线与平面平行的判定定理： 2．直线与平面平行的性质定理： 二、探究新知 问题1　如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在的直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢? 提示 三角尺和桌面一定平行，硬纸片不一定平行．一个平面内有两条相交的直线都与另一个平面平行,就能使这两个平面平行。 原理 根据基本事实的推论2,3,过两条平行直线或两条相交直线,有且只有一个平面.由此可以想到,如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行,是否就能使这两个平面平行? 如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行,这两个平面不一定平行.我们借助长方体模型来说明.如图8.5-12,在平面内画一条与平行的直线,显然与都平行于平面,但这两条平行直线所在的平面与平面相交. 图8.5-12 图8.5-13 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,这两个平面是平行的.如图8.5-13的长方体模型中,平面内两条相交直线分别与平面内两条相交直线平行.由直线与平面平行的判定定理可知,这两条相交直线都与平面平行.此时,平面平行于平面. 问题2　　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？ 提示 平行或异面．当a与b不异面，即在同一个平面内时平行． 结论形成： 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 2．两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 三、 例题解析 例1. 已知正方体,求证：平面平面. 证明:为正方体, . . 四边形为平行四边形. 又平面平面, 平面. 同理平面. 又, 平面平面. 练习1. (1) 如图所示，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE. 解析　因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC. 因为PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE， 所以FH∥平面PCE. 又由已知得AE∥CF且AE＝CF， 所以四边形AECF为平行四边形， 所以AF∥CE，而CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F， 所以平面AFH∥平面PCE. (2) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1. 解析　连接EF， ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，E，F分别为DD1，CC1的中点， ∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，ED1＝CF， ∴四边形ABFE，ED1FC为平行四边形， 则AE∥BF，EC∥D1F， ∵AE⊄平面BFD1，EC⊄平面BFD1，BF⊂平面BFD1，D1F⊂平面BFD1， ∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1， ∵AE⊂平面AEC，EC⊂平面AEC，AE∩EC＝E， ∴平面AEC∥平面BFD1. 例2求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 解析 如图,,且,求证.证明：过平行线作平面,与平面和分别相交于和. , . 又, 四边形是平行四边形. . 练习2. （1）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 解析　如图，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又∵M是PC的中点，∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM， OM⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM. 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH. （2）如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α. 解析　过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC. ∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC. 则平面AEDC∩α＝DE， 平面AEDC∩β＝AC. ∵α∥β，∴AC∥DE. 又∵P，N分别为AE，CD的中点， ∴N∥DE.∵PN⊄α，DE⊂α， ∴PN∥α. 又∵M，P分别为AB，AE的中点， ∴MP∥BE.又∵MP⊄α，BE⊂α， ∴MP∥α. ∵MP，PN⊂平面MPN，且MP∩PN＝P， ∴平面MPN∥α. 又∵MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α. 四、布置作业 第 5 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8．5.3平面与平面平行 【学习目标】 直线与平面平行. 【学习重难点】 1. 理解并掌握平面与平面平行的判定定理．(重点)， 2. 理解并掌握平面与平面平行的性质定理．(重难点) 【学习过程】 一、知识回顾 1．直线与平面平行的判定定理： 2．直线与平面平行的性质定理： 二、探究新知 问题1　如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在的直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢? 问题2　　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？ 结论形成： 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 图形语言 2．两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 符号语言 图形语言 三、例题解析 例1. 已知正方体,求证：平面平面. 练习1. (1) 如图所示，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE. (2) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1. 例2求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 练习2. （1）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. （2）如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α. 四、布置作业 课本课后习题1-4 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $