8.5.1 直线与直线平行导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.1 直线与直线平行 【学习目标】 1. 理解空间中直线与直线平行的定义，掌握基本事实 4（平行线的传递性）和等角定理的内容. 1. 能运用基本事实 4 和等角定理判断空间中直线的平行关系、解决简单的角的计算与判断问题，规范书写推理过程. 1. 通过观察长方体模型、生活实例，经历“直观感知 — 实验探究 — 归纳提炼”的过程，培养空间想象能力；体会类比、转化与化归的数学思想，提升逻辑推理素养. 【学习重点】 1. 基本事实 4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2. 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 【学习难点】 1. 理解空间中平行线的传递性与平面的区别与联系. 2. 等角定理中“相等”与“互补”的判定（根据方向是否相同）. 学习任务一 基本事实 4（平行公理） 【合作探究】 1. 问题引入： · 在平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行.在空间中，这一结论还成立吗？ · 观察长方体模型：棱 ，棱 ，那么 与 是否平行？ · 直观发现：它们平行.这启发我们，空间中平行关系也具有传递性. 1. 基本事实 4： · 平行于同一条直线的两条直线互相平行. · 符号表示：若 ，，则 . · 说明：基本事实 4 是判断空间中两条直线平行的核心依据，它打破了平面的限制，适用于任意位置的三条直线. 1. 思考： (1) 如果两条直线没有公共点，它们一定平行吗？ · （不一定，还可能异面.） (2) 基本事实 4 与平面内的平行公理有何异同？ · （内容相同，但适用范围从平面扩展到空间.） 【自主梳理】 1. 基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）. 2. 应用：找到中间直线作为“桥梁”证明线线平行. 学习任务二 等角定理 【合作探究】 1. 回顾平面中的结论： · 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 1. 猜想在空间中的情况： · 观察长方体模型： (1) 与 （两边分别平行且方向相同）→ 相等. (2) 与 （两边分别平行但方向一边相同一边相反）→ 互补. · 结论：空间中等角定理仍然成立. 1. 等角定理： (1) 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同（或相反），那么这两个角相等. (2) 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且一边的方向相同，另一边的方向相反，那么这两个角互补. 1. 思考： (1) 如何判断两个角是相等还是互补？ · （观察对应边的方向是否相同.若两组边方向分别相同，则相等；若一组相同另一组相反，则互补.） (2) 等角定理中，两个角可以在空间任意位置，不要求共面. 【自主梳理】 1. 等角定理：两边分别平行 → 相等或互补（由方向决定）. 2. 应用：证明空间中的角相等或互补. 学习任务三 综合应用 【合作探究】 1. 例1：在正方体 中， 分别是 的中点.求证：四边形 是菱形. · 证明：取 的中点 ，连接 ，可证 且 ，得平行四边形；再证邻边相等. 1. 例2： 分别是长方体 的棱 的中点.求证：四边形 为平行四边形. · 证明：连接 ，由平行且相等可证. 1. 例3：在正方体 中， 分别是棱 的中点.求证：. · 证明：由中位线或平行四边形得到 ，，且两边方向相同，故角相等. 1. 总结： (1) 证明线线平行常用方法：平行四边形对边、三角形中位线、基本事实 4. (2) 证明角相等常用方法：等角定理. 【自主梳理】 常用证明思路： 1. 线线平行：构造平行四边形或三角形中位线，利用基本事实 4. 2. 角相等（或互补）：构造两边分别平行，利用等角定理. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若直线 ，，则 . （ ） 1. 若两条直线没有公共点，则它们平行. （ ） 1. 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等. （ ） 1. 等角定理中的两个角一定在同一个平面内. （ ） 1. 在正方体中，对立面的对角线可能平行. （ ） 答案：1.√ 2.×（可能异面） 3.×（可能互补） 4.×（不一定共面） 5.√ 【典例分析】 例1：在空间四边形 中， 分别为 的中点.求证：四边形 是平行四边形. 证：连接 ，在 中， 为中点，所以 且 .同理 且 ，故 且 ，所以 是平行四边形. 例2：已知 分别是正方体 的棱 和 的中点.求证：. 证：连接 .由正方体性质可得 ，，且方向相同，故角相等. 【习题巩固】 1. 下列命题中正确的是（ ） · A. 若两条直线无公共点，则它们平行 · B. 若两条直线与第三条直线平行，则这两条直线平行 · C. 若两条直线分别与第三条直线异面，则这两条直线异面 · D. 若两条直线分别与第三条直线相交，则这两条直线相交 1. 在正方体 中，与直线 平行的棱有（ ） · A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 1. 已知空间两个角 和 ，若 的两边与 的两边分别平行，且 ，则 的度数为（ ） · A.  B.  C. 或  D. 不确定 1. 在空间四边形 中， 分别为边 的中点，且 ，则四边形 是（ ） · A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 1. （选做）已知正方体 ， 分别为 的中点，求证：. 【参考答案】 自查自纠：1.√ 2.× 3.× 4.× 5.√ 习题巩固： 1. B 1. C（，共 条） 1. C 1. C（由中位线得 ，，且 ，故邻边相等，为菱形） 1. 证明：连接 ，在 中， 为中点，则 ；在正方体中，，所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $