福建福州第四中学2025-2026学年第二学期第二学段试卷高二数学

2025-2026学年福州四中第二学期第二学段试卷 高二数学 一、单选题：（每题5分，共40分） 1.己知直线l:2x-y+1=0,I2:(a-1)x-y+a=0,若1/1l2,则a的值是（) A.a=-1或a=2 B.a=2 C.a=-1 D.a=2 Γ3 2.已知点A1,1),B(0,2),C(-1,-1).则AB在BC上的投影向量为() A.o3) 5 B.(四)c3 5 D.53 3.已知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2),则点C到直线AB的距离 为() A.6 B.6 c.3 D.3 3 2 3 2 4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为卫，各成员的支付方式相互独立，设X为该群 体的10位成员中使用移动支付人数，D(X)=2.4,且P(X=4)<P(X=6),则E()=() A.6 B.5 C.4 D.3 5.已知(x+1)(2x+)的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是() A.-40 B.-20 C.20 D.40 6.工厂制造某种机器零件的尺寸X~N100,0.01),任取10000个零件时，尺寸在(99.8,99.9)内 的个数约为()（附：若X~N(4,o2),则P(-σ<X<u+σ）=0.6826， P(u-2o<X<u+2o)=0.9544,P(u-3o<X<u+3σ)=0.9974) A.2718 B.1359 C.430 D.215 7.一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2 球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为() A c.2 D. 1 19 5 8.已知sim(a-P)=i0 写，ue5,B=听，则a+B=() A. B.7r c.5π或7π D. 5π或3 4 4 44 4 二、多选题：（每题6分，共18分） 9.(多选)为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备 了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1 题作答.设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论 中正确的是() A.P(A)=3 3 B.P(AB)= c.10-号 D.P(BI)=1 10.(多选)设函数fw)=2sin(ox+),o>0,下列说法正确的是( ) 2 A.当0=2时，fw)的图象关于直线x=刀对称 12 B.当m=号时，f)在0，孕上是增函数 C.若f)在[0，月上的最小值为-2，则w的取值范围为o心 6 D.若f田在[-元，0上恰有2个零点，则o的取值范围为o> 3 11.(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点P是正方体的上底面AB,CD内 (不含边界)的动点，点Q是棱BC的中点，则以下命题正确的是() A.三棱锥Q-PCD的体积是定值 B.存在点P,使得PQ与AA所成的角为60° D C C.直线PQ与平面44DD所成角的正弦值的取值范围为O气 A P B D.若PD=PQ,则P的轨迹的长度为35 D 三、填空题：（每题5分，共15分） 12.过点P1,2)作圆x2+y2=1的切线，则切线方程为 13.已知6位学生排成一排拍照，要求甲乙不相邻，且丙丁相邻，则不同的排法共有 种 14.甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的50%，20%，30%， 己知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15， 加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为，该次品来自乙机 床的概率为一。 四、解答题：（共77分） 15.（13分)在锐角△ABC中，a,b,c分别为内角A,BC的对边，△ABC的面积为S,满足 AC.AB=b-Lab. 2' (1)求角C的大小： (2)求sinA+sinB的取值范围. 16.(15分)已知数列{a}的前n项和为Sn,4=3,且2Sn=(n+1)a· (1)求{a}的通项公式. (2)设6，-3品，记数列仙}的前：项和为B,求R: 17.(15分)某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司， 经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个 招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司 可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对 每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率： (2)设甲公司答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差： (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 18.(17分)已知函数f(x)=1x-a+1,其中a∈R. (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≤0恒成立，求a的最小值； 111 (3)证明：1+2+3+分>+，其中neN, 19.（17分)己知平面直角坐标系中动点P满足：P到定点F1,0)的距离与P到直线x=2的距 离之比等于5，设动点P的轨迹为曲线C,过点P作直线1与曲线C交于A、B两点，点 M的坐标为(2,0)· (1)求动点P的轨迹方程（即曲线C的方程）： (2)当直线1与x轴垂直时，求直线AM的方程； (3)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB. 2025-2026学年福州四中第二学期第二学段试卷 高二数学参考答案与试题解析 一。选择题： 1.已知直线l:2x-w+1=0,12:(a-1)x-y+a=0,若l/1l2,则a的值是() A.a=-1或a=2 B.a=2 C.a=-1 D.a=2 【解答】直线l:2x-y+1=0,1:(a-1)x-y+a=0,1/L2, 又直线1，的斜率存在，可得：2-9+，解得a=2. a-1-1a 故选：D. 2.己知点A1,1),B(0,2),C(-1,-1).则AB在BC上的投影向量为() Ao,3o 5 B(c多 5, D.33 【解答】A,1),B(0,2),C(-1,-1),AB=(-1,1)，BC=(-1,-3), :AB=V-12+1=V2,|BC=V-1)2+(←3)2=0， cos(AB,BC)=AB.BC =1-3-5 ,即向量AB与BC的夹角为钝角， |AB|:|BC√2×V105 因此向量AB在BC上的投影向量与BC方向相反， V10 10 而1cos(B,BCF2x5i0 5 5-1 5=5’BC105 西在Bc上的投影向量为号Bc=写（←1-）=3， 故选：C 3.已知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2),则点C到直线AB的距离 为( ) A.6 D. 3 B.6 2 C.3 3 2 【解答】：空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2), .AB=1,1,-1),AC=(-1,-1,2), .点C到直线AB的距离为： d=4c-[cos<4B.C)=1-( 4BaC 3 故选：A· 4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为卫，各成员的支付方式相互独立，设X为该群 体的10位成员中使用移动支付的人数，D()=2.4,且P(X=4)<P(X=6,则E(X)= () A.6 B.5 C.4 D.3 【解答】由题意，使用移动支付的人数X服从二项分布， 则D(X)=10p1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6, 又P(X=4)<P(X=6),即CP1-p)<Cp1-p),化简得1-p)2<p2, 解得p所以D=06.=10p=6. 故选：A· 5.已知(x+1)(2x+a)的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3项的系数是() A.-40 B.-20 C.20 D.40 【解答】令x=1,可得(x+1)(2x+a)的展开式中各项系数和为2.(2+a)=2,a=-1. 二项式(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x-1)5=(x+1)(32x-80x+80x3-40x2+10x-1), 故展开式中含x3项的系数是-40+80=40， 故选：D. 6.工厂制造某种机器零件的尺寸X~N100,0.01),任取10000个零件时，尺寸在(99.8,99.9)内 的个数约为()（附：若X~N(u,σ2），则P(u-o<X<u+o)=0.6826, P(u-2o<X<u+2o)=0.9544,P(u-3o<X<u+3o)=0.9974) A.2718 B.1359 C.430 D.215 【解答】：X~N000,0.01),∴=100，o=0.1,则P(99.8<X<99.9)=P(u-2o<X<-o) -Lu-2a<X<A-20j-0u-g<X<u+o-30934-062=0139. ∴.任取10000个零件时，尺寸在(99.8,99.9)内的个数约为10000×0.1359=1359. 故选：B. 7.一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2 球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为() A品 B品 c 1 D. 【解答】根据题意可知，一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2 个球，现从中任取2球， 设事件M为“从箱子中任取两球均为红色”，事件N为“从箱子中任取两球至少有一球为红 色”， 则由题意知，P0=C=45,PM=+C、17 C645 所求概率为PMI)=PM_P四-1 P(N)P(N017 故选：B 8.已知sin(e-)=h0 5ae[z,2 ,Be1,则a+B=（） A. 5π c.5或7 D. 或3 4 B.Zz 4 4 4 4 【】知9-得，即写小可有0于25 sin(a-p)= ae[x泸，Pe即有a-Be肾孕1、即a-Be哼司， 101 由a+B=-B+2B∈[π，2r], cos(a+B)=cos[(a-B)+28]=cos(a-B)cos 28-sin(a-B)sin 2B =-3c(25-io52 10 5 1052 可得a+B=7r 4 故选：B. 二。多选题： 9.(多选)为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备 了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1 题作答.设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论 中正确的是() A.P (A)= B.P(AB)= 3 C.PB0-号 D.PB0-为 【解答】根据题意，依次分析选项： 因于A,一共有3道选择题和2道填空题，则P(A)=,A正确 对于B,P(AB)= C=3,B正确： c210 3 对于C,PB1④=P)=19=,c错误： P(A)32 对FD,R团-子n装品Pe0四子D嵌 故选：AB. 10.(多选)设函数f(x)=2sin(ox+ ，0>0，下列说法正确的是() A.当0=2时，fw)的图象关于直线x=对称 12 B.当0=2时，w)在0，孕上是增函数 2 C.若f()在[0，]上的最小值为-2，则w的取值范围为o 6 D.若f)在[-元，0上恰有2个零点，则0的取值范围为≥3 【解答】对于4，对于函数f)-2sn(@x+孕，0>0， 当m=2时，令x=云，求得f)=2,为最大值， 12 故f(x)的图象关于直线x=石对称，故A正确： 12 对于B,当0号时，r+号肾没，J在0,1上不单调，放B镭误： 3 对于C,若)=smr+孕在0，月上的最小省为-2，且a做+管e写0r+孕， 3 故有元+≥沉，则o,故C正确 322 对于D,若网在-，q上恰有2个零点，且a+[@r+行，， 3 则有-2<-0+受≤-，则0的取值范围为子，故D错误。 7 故选：AC, 11.（多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点P是正方体的上底面AB,CD内 (不含边界)的动点，点Q是棱BC的中点，则以下命题正确的是() A.三棱锥Q-PCD的体积是定值 D C B.存在点P,使得PQ与A4所成的角为60° B C.直线P0与平面AADD所成角的正弦值的取值范围为05) D D.若PD=PQ,则P的轨迹的长度为35 【答】对于4，%后分12x2号（定值.放4正商 2 以A为坐标原点，AB,为x轴，AD为y轴，AA为z轴， D 建立如图所示的空间直角坐标系，则Q(2,1,-2), P B 设P(x,y,0)(0<x<2,0<y<2),则QP=(x-2,y-1,2), D 对于B,AA=(0,0,2),PQ与A4的夹角a满足 OP.AA 2×2 coSa= 三∈忌)，故B错误 10P1-lA412×Vx-2y2+y-1)2+43' 对于C,平面AADD的法向量为i=Q,0,O),.直线PQ与平面AADD所成的角B的 正弦值为sinB= 1x-2 0,5，故c正确： √c-2)2+0y-1+4 对于D,D0,2,0),DP=x,y-2,0),由PD=PQ可得x2+(y-2)2=(x-2)2+(y-1)2+4, 化简可得4-2y-5=0,在x4y平面内，令x=2,得y=3 2 令=0,得x子所以P的轨的长度为，+令5，D正确 故选：ACD. 三。填空题： 12.过点P1,2)作圆x2+y2=1的切线，则切线方程为3x-4y+5=0或x=1· 【解答】由题意可知，22+1=5>1，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条，切线斜率不存在时，切线方程为：x=1; 切线的斜率存在时，设切线为y=k(x-1)+2,即-y-k+2=0, 则圆心00.0)到直线在-y-k+2=0的距离d=2-=1,解得k=3 V1+k2 故切线方程为3x-4y+5=0. 故答案为：x=1或3x-4y+5=0. 13.已知6位学生排成一排拍照，要求甲乙不相邻，且丙丁相邻，测不同的排法共有144种. 【解答】丙丁相邻，捆绑在一起，与另外2人全排列，共有AA种排法， 再在3个元素形成的4个空中，插入甲乙，共有A2种排法， 由分步乘法计数原理，共有AAA-144排法。 故答案为：144. 14.甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的50%，20%，30%， 己知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15， 加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为01，该次品来自 乙机床的概率为0.3· 【解答】根据题意，记事件A=“零件为第i=1,2,3)台车床加工”， 则P(A)=0.5,P(A)=0.2,P(A)=0.3,B为事件“任取一个零件为次品”，则 P(B)=P4)P(B|A)+P(4)P(B|A)+P(4)P(B|A)=0.5×0.05+0.2×0.15+0.3×0.15=0.1 P41B=P4)PB42-003-03. P(B) 0.1 故答案为：0.1；0.3 四.解答题（共5小题） 15.锐角△ABC中，a,b,c分别为内角A,BC的对边，△ABC的面积为S,满足 AC.AB=b-ab. 2 (1)求角C的大小： (2)求sinA+sinB的取值范围， 【解答】1）由4c西--b得be--,即ccos4=b0 由正弦定理得sinC-cosA=sinB-，sinA=sin(4+C9-号sinA sin4cocsin.Asin 1 2 显然sinA>0,故cosC=}，C∈(0，)，所以C=罗 2 3 0<A< 2 2)因为锐角三角形ABC,结合A+B=得人 ,解得严<A< <2π-A< 6 0 3 2 而4+smB=sn4+sn(2-0=mA+50sA+nA=3nA+ -cosA 3 2 =5m4+总.因为4+名e停.所以5sm管5m(4+5sn5 即V5sim(A+马∈忌V].故sinA+sinB的范围是（忌，√]. 16.已知数列{a}的前n项和为S，q4=3,且2Sn=(+1)a (1)求{a}的通项公式. (2)设6=是，记数列}的前项和为8·求B,: 【解答】(1)因为2S=(n+1)a,所以2S1=01, 两式相减可得2a=+1a,-a1,所以8= n n-1' 所以数列凸}是常数列，又4=3，所4=3，所以=3，所以a,=3; 1 1.2.3 （2)由b。=,a。=，,则B,=44开4+…+P 4 两边乘以4可得：4B.=1+2+3+」 44+.+ 上两式相得：-8=0+子++-++孕 3B=1+++.+1n 1-白 442+…+ 4 ”44-”-443n 44本1-4334334 4 即及子数0 17.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层 层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方 案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确 回答其中4道题日，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为？，甲、乙两家公司对每题的 回答都是相互独立，互不影响的， (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； (2)设甲公司答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差： (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【解答】(1)分两种情况求概率： ①甲答对2道题，乙答对0道题；②甲答对1道题，乙答对1道题. 医中甲答对1道题的率为C乙答对1道题的概率为C(孕Q- 甲，乙两家公可夫等对：运日的版*海：答c气0孕答0-片 (2)设甲公司正确完成面试的题数为X,则X的取值分别为1,2,3， -0器片mx-器r答- C35 则X的分布列为： X 2 3 P 1-5 3 1-5 0=12×房32，n0=0-29ge2球6-2少r×号 5 55 (3)设乙公司正确完成面试的题为Y,则Y取值分别为0,1,2,3， 1 8 27 则Y的分布列为： Y 0 1 3 3 p 1 2-9 P 27 9 27 0-07+1号-2 9 9 27 D0-2×27+a-2少号+2-3号e-2r×号 2731 成者：Y-80导，m=3子2.003子 3 333 由E(X=E(),D(X<D)可得，甲公司竞标成功的可能性更大. 18.己知函数f(x)=lx-ax+1,其中a∈R. (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≤0恒成立，求a的最小值： o)明：1片片a,共中ae 【解答】(1)f)的定义域为(0，+四），)=1-1=1-x, 当x∈(0,1)时，f(x)>0,当x∈L,+w)时，f"(x)<0, 综上所述：f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为L,+o); (2)由fw)=hx-+1<0恒成立，：心+1恒成立， 令=+'>0，则g)=一艇.8)在0D上单调递增Q0上单调递减 x .8(x)max=8(1)=1,a≥g(x)nax=1,∴a的最小值为1. (3)由①知：x-1>x,x=1时取“=”， 令x=n+1,得上>hm+ n .1+ 11 ++>m2+hm2+hm4++nn+1=hm2x3×4x×n+凸=l0n+D, 1 3 4 23 n12 3 123 .1,1 ,1 当neN时，1+号++.+二>n+1). 23 n 19.已知平面直角坐标系中动点P满足：P到定点F1,0)的距离与P到直线x=2的距离之比等 于5，设动点P的轨迹为曲线C.过点P作直线1与曲线C交于A、B两点，点M的坐 标为(2,0). (1)求动点P的轨迹方程： (2)当直线1与x轴垂直时，求直线AM的方程； (3)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OB. 【解答】1)设动点P心x,),又P到定点r.0的距离与P到直线x=2的距离之比等于 2 所以-少+少 |x-2 受，化简得号1 所以动点P的轨迹方程为+少=1： 2 (2)因为0.0，所以点A的横坐标为1，代入椭圆方程得)+y=1,解得y-± 所以点40或40马， 又M(2,0),所以直线AM的方程为-0=x-2或”-0=X-2 1-22 -0 01-2 2 2 即y+5-5=0或5x x+√2=0. 2 2 (3)作出示意图如下：要证∠OMA=∠OMB，只要证kAM+kw=0. 当直线1的斜率不存在时，A,B关于x轴对称， 由2)知孕n9,所以比时u+e=怎 =0: 22 VA 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1), y=k(x-1) 联立{x2 72+2=1得(1+2k2)x2-4k2x+22-2=0, 4k2 股AG,》,中2码米龙△>0恒 所以kw+ku=”,+当7=当，-2)t&-2O, x-2x2-2(3-2)x2-2) 又A,B两点在直线y=k(-1)上，则y=k(化-1)，y2=k(x2-1),代入①式整理得： w+k=2,-3(+)+4h2水 e·1+222-3k.4k2 1+2k2+4k x2-2(+x2)+4 2k2-28k2 1+221+2k+4 -4R-4k-12k+4k+8k30 2R-2-8k2+4+8k22K+2=0,故∠OMA=∠0MB.