8.4.2 空间点、直线、平面的位置关系导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.2 空间点、直线、平面的位置关系 【学习目标】 1. 掌握空间中点与直线、点与平面、直线与直线（相交、平行、异面）、直线与平面（在平面内、相交、平行）、平面与平面（平行、相交）的位置关系. 1. 能用符号语言和图形语言表示各种位置关系. 1. 理解异面直线的概念，会判断两条直线是否为异面直线.经历从具体到抽象、从特殊到一般的认知过程，培养空间想象能力和逻辑推理能力. 【学习重点】 1. 空间中直线与直线的三种位置关系（相交、平行、异面）. 2. 直线与平面的三种位置关系（在平面内、相交、平行）. 3. 平面与平面的两种位置关系（平行、相交）. 4. 用符号语言表示位置关系. 【学习难点】 1. 理解异面直线的定义（不同在任何一个平面内）. 2. 判断两条直线是否异面. 3. 空间位置关系的符号语言与图形语言的转换. 学习任务一 空间中点与直线、点与平面的位置关系 【合作探究】 1. 观察与思考： · 以教室中的物体为例： (1) 点与直线的关系：墙角的顶点与墙棱（点在直线上或不在直线上）. (2) 点与平面的关系：天花板上的灯与地面（点在平面内或不在平面内）. · 归纳：点与直线的位置关系有 2 种；点与平面的位置关系有 2 种. 1. 符号表示： (1) 点 在直线 上： (2) 点 不在直线 上： (3) 点 在平面 内： (4) 点 不在平面 内： 【自主梳理】 1. 点与直线：点在直线上、点不在直线上. 2. 点与平面：点在平面内、点不在平面内. 学习任务二 空间中直线与直线的位置关系 【合作探究】 1. 观察长方体模型： · 在长方体 中： (1) 棱 与 相交于 . (2) 棱 与 平行（在同一平面 内）. (3) 棱 与 既不相交也不平行，它们不同在任何一个平面内，称为异面直线. 1. 异面直线的定义： · 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 1. 空间中两条直线的位置关系： · 空间两直线共面直线相交直线（有且只有一个公共点）平行直线（没有公共点）异面直线（不同在任何一个平面内，没有公共点） 1. 异面直线的画法： · 通常用一个或两个平面衬托，例如画两条异面直线时，可让它们分别位于两个相交的平面内. 1. 例题： · 在长方体 中，判断下列直线间的位置关系： · (1) 与 ：______（平行） · (2) 与 ：______（异面） · (3) 与 ：______（相交） · 解：(1) 连接 ，由平行四边形性质得 . · (2) 与 无公共点且不平行，为异面. · (3) 交于点 . 【自主梳理】 1. 异面直线：不同在任何一个平面内. 1. 共面直线：相交或平行. 1. 判断方法：若两条直线既不相交又不平行，则它们异面；或利用定义，找平面验证. 学习任务三 空间中直线与平面的位置关系 【合作探究】 1. 观察长方体： (1) 棱 在底面 内：直线在平面内. (2) 棱 与底面 平行：直线与平面平行. (3) 棱 与底面 相交于点 ：直线与平面相交. 1. 直线与平面的位置关系： (1) 直线在平面内（有无数个公共点） (2) 直线与平面相交（有且只有一个公共点） (3) 直线与平面平行（没有公共点） · 统称直线在平面外，记作 . 1. 符号表示： (1) （直线 在平面 内） (2) （直线 与平面 交于点 ） (3) （直线 与平面 平行） 1. 例题： · (1) 若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（ ） · A. 直线上的所有点都在平面外 · B. 直线上有无数多个点都在平面外 · C. 直线上有无数多个点都在平面内 · D. 直线上至少有一个点在平面内 · 解：B（直线与平面相交时，除交点外都在平面外；若平行，则全部在平面外.） · (2) 下列说法正确的是（ ） · A. 若直线 平行于平面 内的无数条直线，则 · B. 若直线 在平面 外，则 · C. 若直线 ，，则 平行于 内的无数条直线 · 解：C 正确（A 中 可能在 内；B 中 可能与 相交；C 中 ，则 平行于 内所有与 平行的直线.） 【自主梳理】 · 直线与平面相交、平行、在平面内三种情况. · 直线与平面平行时，直线与平面内无数条直线平行（但并非所有）. 学习任务四 空间中平面与平面的位置关系 【合作探究】 1. 观察长方体： (1) 底面 与上底面 平行：两平面平行. (2) 底面 与侧面 相交于直线 ：两平面相交. 1. 平面与平面的位置关系： (1) 平行：没有公共点. (2) 相交：有一条公共直线（所有公共点都在该直线上）. 1. 符号表示： (1) （平面 与 平行） (2) （平面 与 相交于直线 ） 1. 例题： · (1) 已知两平面 ， 平行，且 ，下列命题正确的有（ ） · ① 与 内的所有直线平行； · ② 与 内无数条直线平行； · ③ 直线 与 内任何一条直线都不垂直； · ④ 与 无公共点. · 解：②④正确.①错（ 与 内的直线可能异面）；③错（可能存在垂直）. · (2) 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（ ） · A. 都平行 B. 都相交 C. 在两个平面内 D. 至少与其中一个平面平行 · 解：D（可能平行于其中一个或两个都平行，但若它在其中一个平面内且平行于交线，则与另一个平面平行.） 【自主梳理】 1. 两平面平行：无公共点. 2. 两平面相交：有一条公共直线（交线）. 3. 判断命题真假时，常用长方体模型举反例. 【自查自纠】（正误判断） 1. 异面直线一定没有公共点. （ ） 1. 没有公共点的两条直线是平行直线. （ ） 1. 直线与平面平行，则直线与平面内所有直线都平行. （ ） 1. 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （ ） 1. 若直线 ，且 ，则 . （ ） 答案：1.√ 2.×（可能异面） 3.×（可能异面） 4.√ 5.×（ 可能在 内） 【典例分析】 例1：在长方体 中， (1) 直线 与直线 的位置关系是______； (2) 直线 与直线 的位置关系是______； (3) 直线 与直线 的位置关系是______. 解： (1) 平行（因为 ）. (2) 异面（不同在任何平面内）. (3) 相交（交于点 ）. 例2：若 和 是异面直线， 和 是异面直线，则 和 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行、相交或异面 解：选 D.以长方体为例，取 ，，则 可以是 （平行），（异面），（异面？ 与 相交？需调整），实际上可构造各种情况. 例3：判断下列命题的真假： (1) 如果直线 ，那么 平行于经过 的任何一个平面.（ ） (2) 如果直线 ，那么 与 内的任何一条直线平行.（ ） (3) 如果 ，，，那么 .（ ） 解： (1) 假（ 可能就在那个平面内）. (2) 假（ 与 内的直线可能异面）. (3) 真（若 与 相交，则 也与 相交，矛盾）. 【习题巩固】 1. 若 和 是异面直线， 和 是异面直线，则 和 的位置关系是（ ） · A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 以上都有可能 1. 下列说法正确的是（ ） · A. 若直线 平行于平面 内的无数条直线，则 · B. 若直线 在平面 外，则 · C. 若 ，，则 平行于 内的无数条直线 · D. 若 ，，则 1. 在正方体 中，与直线 异面的棱有（ ） · A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 1. 已知直线 平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是______. 1. （选做）求证：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. 【参考答案】 自查自纠：1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.× 习题巩固： 1. D 1. C 1. C（与 异面的棱：，，，，共 条） 1. 平行或异面（ 与 不可能相交） 1. 证明：设平面为 ，点 ，，直线 且 .假设 与 共面，则 与 确定平面 .因为 ，，且 ，，所以 与 有公共点 和直线 ，故 与 重合，则 ，矛盾.因此 与 异面. 学科网（北京）股份有限公司 $