提升练2 分类讨论(PPT课件)-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

这是一份北师大版七年级下册数学期末复习资料，包含章节知识梳理、核心题型突破、数学思想提升、创新试题拓展及多套区域试卷与预测卷，为学生提供系统的期末复习学习支架。 资料特色突出，聚焦分类讨论、数形结合等数学思想，通过“伙伴角”新定义题型、几何图形翻折等案例，培养学生逻辑推理与几何直观（数学思维与眼光），结合多区真题与预测卷，助力七年级学生巩固基础、提升解题能力，适应初中数学学习节奏，也为教师教学提供丰富素材与思路。

突破练4　变量之间的关系的应用 突破练5　几何作图 数学思想提升练 提升练1　数形结合 提升练2　分类讨论 提升练3　转化思想 创新试题拓展练 拓展练1　综合与实践 拓展练2　全国新趋势试题 试卷1　二七区 试卷2　金水区 试卷3　中原区 试卷4　郑东新区 试卷5　航空港区 试卷6　高新区 试卷7　河南省某实验中学 名师研创预测卷（一） 名师研创预测卷（二） 名师划重点 第一章　整式的乘除 第二章　相交线与平行线 第三章　概率初步 第四章　三角形 第五章　图形的轴对称 第六章　变量之间的关系 单元巩固练 单元巩固练1　整式的乘除 单元巩固练2　相交线与平行线 单元巩固练3　概率初步 单元巩固练4　三角形 单元巩固练5　图形的轴对称 单元巩固练6　变量之间的关系 核心题型突破练 突破练1　计算题 突破练2　概率的应用 突破练3　全等三角形的应用 《期末考试》北师7数下 1 提升练2　分类讨论 《期末考试》北师7数下 2 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1. ［太原市］数学课上，老师提出问题：若两个角的两边分别平行， 则这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射线，因此要分 如下三种情况讨论.请按她的思路完成探究： 问题 已知∠ABC与∠DEF，AB∥DE，EF∥BC，探究∠ABC与∠DEF的数量关系. 情况 ①两边方向均相同，射线BA与EF交于点O. ②一边方向相同， 一边方向相反，射 线EF与BA交于点P. ③两边方向均相反，点E在∠ABC的外部，反向延长射线EF交射线BA于点Q. 图示 结论 ∠ABC＝∠DEF ∠ABC＋∠DEF＝180° ∠ABC＝∠DEF 说理 因为AB∥DE， 所以∠E＝∠1 （依据）. 因为EF∥BC， 所以∠1＝∠B. 所以∠E＝∠B. 即∠ABC＝∠DEF. 因为AB∥DE， 所以∠DEF＝∠2. 因为EF∥BC， 所以∠2＝∠B. 所以∠DEF＝∠B. 即∠ABC＝∠DEF. 结论 若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 ⁠. 相等或互补 （1）情况①说理过程中的“依据”是： ⁠ ⁠； （2）请补全情况②的说理过程； 解：因为EF∥BC，所以∠B＝∠APE. 因为AB∥DE，所以∠APE＋ ∠DEF＝180°.所以∠B＋∠DEF＝180°，即∠ABC＋∠DEF＝180°. （3）请补全小颖发现的结论. 两直线平行，同位角相等 2. 如果两个角的差为30°，那么就称这两个角互为“伙伴角”，其中 一个角叫作另一个角的“伙伴角”. 例如：α＝50°，β＝20°，α－β＝30°，则α和β互为“伙伴角”，即α 是β的“伙伴角”，β也是α的“伙伴角”. （1）已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1＋∠2＝90°，则∠1的度 数为 ⁠； 解析：分两种情况：①当∠1＞∠2时，∠2＝∠1－30°，所以∠1＋ ∠2＝∠1＋∠1－30°＝90°，所以∠1＝60°.②当∠1＜∠2时，∠2 ＝∠1＋30°，所以∠1＋∠2＝∠1＋∠1＋30°＝90°，所以∠1＝ 30°.综上所述，∠1的度数为60°或30°. 60°或30° （2）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作AB的平行线CM， ∠ABC的平分线BD分别交AC，CM于D，E两点. ①若∠A＞∠BEC，且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求∠A的度数； 解：①设∠A的度数为x.因为∠ACB＝90°，则∠ABC＝90°－x. 因为BD平分∠ABC，所以∠ABE＝. 因为AB∥CM，所以∠BEC＝∠ABE＝. 因为∠A＞∠BEC，所以∠A－∠BEC＝30°，即x－＝30°. 解得x＝50°，所以∠A＝50°. 图1 ②如图2，∠ACM的平分线CF交BE于点F，当∠A和∠BFC互为“伙伴 角”时，直接写出∠A的度数. 解析：设∠A的度数为y.因为AB∥CM，所以∠ACE＝∠A＝y.因为CF 平分∠ACE，所以∠ACF＝.由①可得∠CBF＝，所以∠BFC＝ 180°－∠CBF－∠ACF－90°＝45°.分两种情况：①当∠A＞∠BFC 时，可得∠A＝75°.②当∠A＜∠BFC时，可得∠A＝15°.综上所 述，∠A的度数为75°或15°. ②∠A的度数为75°或15°. 图2 3. 如图，将一副三角尺中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝ 30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°. 【观察猜想】（1）∠BCD与∠ACE的数量关系是 ⁠ ；∠BCE与∠ACD的数量关系是 ⁠ ⁠； 【类比探究】（2）若保持三角尺ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动 三角尺DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB？画出图形并简要 说明理由； 解：分两种情况： ∠BCD＝∠ACE ∠BCE＋∠ACD＝180° ①如图1，当∠ACE＝∠A＝30°时，CE∥AB， 所以∠ACD＝∠DCE－∠ACE＝90°－30°＝60°. ②如图2，当∠BCE＝∠B＝60°时，CE∥AB， 所以∠ACD＝360°－∠ACB－∠BCE－∠DCE＝360°－90°－60° －90°＝120°. 综上所述，当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB. 图1 图2 【拓展应用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数，并直接写 出此时DE与AC的位置关系. 解：设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α. 由（1）可知，∠BCE＋∠ACD＝180°， 所以3α＋α＝180°. 所以α＝45°，即∠ACD＝45°. 此时DE⊥AC或DE∥AC. 4. ［厦门市改编］问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形和平行 线为背景展开探究.如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中 线，过点A作BC的平行线l. 独立思考：（1）在图1中的直线l上取点E（点E在点A左侧），使AE＝ BD，连接DE交AB于点F，得到图2.试判断EF与DF的数量关系，并说 明理由； 解：EF＝DF. 理由如下：因为直线l∥BC，所以∠AEF＝∠BDF，∠FAE＝∠FBD. 因为AE＝BD，所△AEF≌△BDF（ASA）.所以EF＝DF. 图1 图2 （2）在图1中的直线l上取点G，H（点G，H分别在点A的两侧），使 AG＝AH，连接DG交AB于点M，连接DH交AC于点N，得到图3.小宇发 现GM＝HN，请你帮他说明理由； 解：理由如下：因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC， ∠BAD＝∠CAD. 因为直线l∥BC，所以AD⊥直线l.所以∠DAG＝ ∠DAH＝90°.所以∠DAG－∠BAD＝∠DAH－∠CAD，即∠BAG＝ ∠CAH. 因为AG＝AH，所以AD垂直平分GH. 所以DG＝DH. 所以 ∠AGD＝∠AHD. 所以△AGM≌△AHN（ASA）.所以GM＝HN. 图3 图1 合作交流：（3）同学们在图3的基础上展开了更深入的探究.若∠BAC ＝40°，当△AGM是等腰三角形时，直接写出∠GDH的度数. 图3 解：∠GDH的度数为100°或70°或40°. 解析：因为∠BAC＝40°，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝20°.所 以∠GAM＝∠GAD－∠BAD＝90°－20°＝70°.当△AGM是等腰三 角形时，分三种情况： ①若AG＝GM，则∠AMG＝∠GAM＝70°，所以∠AGM＝180°－ ∠AMG－∠GAM＝40°.所以∠AHN＝∠AGM＝40°.所以∠GDH＝ 180°－∠AGM－∠AHN＝100°. ②若AG＝AM，则∠AGM＝∠AMG＝（180°－∠GAM）＝55°.所 以∠AHN＝∠AGM＝55°.所以∠GDH＝180°－∠AGM－∠AHN＝70°. ③若AM＝GM，则∠AGM＝∠GAM＝70°.所以∠AHN＝∠AGM＝ 70°.所以∠GDH＝180°－∠AGM－∠AHN＝40°. 综上所述，∠GDH的度数为100°或70°或40°. 5. 下图是小方同学学习轴对称的相关知识时遇到的一个问题并引发的 思考，请帮助小方完成以下学习任务： （1）如图1，M，N分别是∠AOB边OA和OB上的点，OM＝ON，P是 射线OC上一点，测得PM＝PN. 请说明OP平分∠AOB； 解：因为OM＝ON，PM＝PN，OP＝OP， 所以△OPM≌△OPN（SSS）. 所以∠MOP＝∠NOP. 所以OP平分∠AOB. 图1 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD＋BC，P为DC的中点，将四 边形ABCD沿着AP翻折，点D刚好与AB上的点E重合，请判断AD与BC 的位置关系，并说明理由； 解：AD∥BC. 理由如下： 由翻折的性质可得PD＝PE，∠PDA＝∠PEA，AD＝AE. 因为AB＝AD＋BC，即AE＋BE＝AD＋BC， 所以BE＝BC. 因为P为DC的中点，所以PD＝PC. 因为PD＝PE. 所以PE＝PC. 因为PE＝PC，BE＝BC，PB＝PB， 所以△PEB≌△PCB（SSS）.所以∠PEB＝∠PCB. 因为∠PDA＝∠PEA， 所以∠PDA＋∠PCB＝∠PEA＋∠PEB＝180°. 所以AD∥BC. 图2 （3）在（2）的条件下，若PB＝6，PA＝8，AB＝10，PE＝a，当 △PBC其中一条边上的高为5时，请直接写出△PAD的面积.（可用含a 的式子表示） 图1 图2 解：△PAD的面积为9或24－.　 解析：由翻折的性质可知∠APE＝∠DPA，S△PAD＝S△PAE，由（2）知 △PEB≌△PCB，所以∠EPB＝∠BPC. 所以2∠APE＋2∠EPB＝ 180°，即∠APE＋∠EPB＝∠APB＝90°.所以△ABP是直角三角形. 所以△ABP的面积为PB•PA＝×6×8＝24. 当△PBC其中一条边上的高为5时，分三种情况：①如图①，若PB边上的高为5时，即CF＝5，则△PBC的面积为PB•CF＝×6×5＝15.因为△PEB≌△PCB，所以△PBE的面积为15.所以△PAE的面积为24－15＝9.所以△PAD的面积为9.②如图②，若PC边上的高为5时，即BG＝5，所以PC＝PE＝a.所以△PBC的面积为PC•BG＝a×5＝a.因为△PEB≌△PCB，所以△PBE的面积为. 图① 图② 所以△PAE的面积为24－.所以△PAD的面积为24－.③如图③，若BC边上的高为5时，即PH＝5，过点P作PM⊥AB交AB于点M. 所以AB•PM＝PB•AP，即×10PM＝×6×8＝24.所以PM＝.因为△PEB≌△PCB，所以两个三角形对应边上的高相等.因为PM＝，PH＝5，所以PM≠PH. 所以不存在此种情况.综上所述，△PAD的面积为9或24－. 图③ $