8.4.1平面导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 理解平面的概念，掌握平面的表示方法.
- 掌握平面的基本性质（三个公理及三个推论）.
- 能够用符号语言、图形语言、文字语言描述点、线、面的位置关系.经历从直观感知到理性认识的过程，培养空间想象能力，学会将文字语言转化为符号语言和图形语言，体会公理化思想，培养严谨的逻辑思维能力.
- 平面的概念及表示方法.
- 三个基本事实（公理）及其三个推论.
- 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化.
- 理解平面的无限延展性.
- 公理及推论的灵活运用，点、线、面共面与共点的证明.
- 问题引入：
观察课桌面、黑板面、平静的水面，它们有什么共同特征？
（这些面都是“平”的，且可以无限延伸.）
数学中的“平面”是从这些实物中抽象出来的概念，它是一个理想的、绝对平的、无限延展的、不计厚薄的面.
- 平面的特征：
(1) 无限延展（没有边界）
(2) 绝对的平（没有厚度）
(3) 抽象性（不是生活中的具体物体）
- 平面的表示方法：
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(1) 图形表示：通常用平行四边形表示平面（水平放置时，锐角为 
，横边为邻边的 
倍）；垂直放置时，也可用平行四边形.
(2) 字母表示：用希腊字母 
、
、
等表示，如平面 ；也可用表示平面内平行四边形的顶点字母，如平面 
或平面 
.
- 点、直线与平面的位置关系（用符号语言）：
(1) 点 
在直线 
上：
(2) 点 在平面 内：
(3) 点 在平面 外：
(4) 直线 在平面 内：
(5) 直线 与平面 相交于点 ：
(6) 直线 与平面 平行：
- 例题：
(1) 下列命题正确的是（ ）
A. 书桌面是平面
B. 平面 与平面 相交，它们可能只有有限个公共点
C. 四边形一定是平面图形
D. 平面是无限延展的、无厚度的
解：D 正确.A 错在实物是平面的一部分；B 错，两平面相交有一条直线，有无限个公共点；C 错，四边形可能不共面（空间四边形）.
(2) 用符号表示“点 
在直线 上，直线 在平面 内”：______.
解：
，.
- 平面：无限延展、不计厚薄、绝对平的理想化图形.
- 表示：图形（平行四边形），字母（， 或 ）.
- 符号：
（点在线/面内），
（线在面内），
（相交）.
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- 基本事实 1（三点确定平面）：
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
简记：不共线的三点确定一个平面.
符号：
不共线 
存在唯一的平面 ，使 
.
作用：确定平面；证明点、线共面.
- 基本事实 2（直线在平面内的判定）：
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
符号：
.
作用：判断直线是否在平面内.
- 基本事实 3（平面相交的性质）：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号：
，且 .
作用：证明点共线、线共点.
- 三个推论（由基本事实 1 和 2 推出）：
(1) 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
(2) 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
(3) 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
- 思考：
(1) 为什么三脚架能稳定支撑？
（三个不共线的点确定一个平面，保证平稳.）
(2) 为什么直尺的两个端点放在桌面上，直尺整个落在桌面上？
（基本事实 2：两点在平面内，整条直线就在平面内.）
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