8.4.1平面导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 平面 【学习目标】 1. 理解平面的概念，掌握平面的表示方法. 1. 掌握平面的基本性质（三个公理及三个推论）. 1. 能够用符号语言、图形语言、文字语言描述点、线、面的位置关系.经历从直观感知到理性认识的过程，培养空间想象能力，学会将文字语言转化为符号语言和图形语言，体会公理化思想，培养严谨的逻辑思维能力. 【学习重点】 1. 平面的概念及表示方法. 2. 三个基本事实（公理）及其三个推论. 3. 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化. 【学习难点】 1. 理解平面的无限延展性. 2. 公理及推论的灵活运用，点、线、面共面与共点的证明. 学习任务一 平面的概念与表示方法 【合作探究】 1. 问题引入： · 观察课桌面、黑板面、平静的水面，它们有什么共同特征？ · （这些面都是“平”的，且可以无限延伸.） · 数学中的“平面”是从这些实物中抽象出来的概念，它是一个理想的、绝对平的、无限延展的、不计厚薄的面. 1. 平面的特征： (1) 无限延展（没有边界） (2) 绝对的平（没有厚度） (3) 抽象性（不是生活中的具体物体） 1. 平面的表示方法： (1) 图形表示：通常用平行四边形表示平面（水平放置时，锐角为 ，横边为邻边的 倍）；垂直放置时，也可用平行四边形. (2) 字母表示：用希腊字母 、、 等表示，如平面 ；也可用表示平面内平行四边形的顶点字母，如平面 或平面 . 1. 点、直线与平面的位置关系（用符号语言）： (1) 点 在直线 上： (2) 点 在平面 内： (3) 点 在平面 外： (4) 直线 在平面 内： (5) 直线 与平面 相交于点 ： (6) 直线 与平面 平行： 1. 例题： · (1) 下列命题正确的是（ ） · A. 书桌面是平面 · B. 平面 与平面 相交，它们可能只有有限个公共点 · C. 四边形一定是平面图形 · D. 平面是无限延展的、无厚度的 · 解：D 正确.A 错在实物是平面的一部分；B 错，两平面相交有一条直线，有无限个公共点；C 错，四边形可能不共面（空间四边形）. · (2) 用符号表示“点 在直线 上，直线 在平面 内”：______. · 解：，. 【自主梳理】 1. 平面：无限延展、不计厚薄、绝对平的理想化图形. 1. 表示：图形（平行四边形），字母（， 或 ）. 1. 符号：（点在线/面内），（线在面内），（相交）. 学习任务二 平面的基本事实（公理） 【合作探究】 1. 基本事实 1（三点确定平面）： · 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. · 简记：不共线的三点确定一个平面. · 符号： 不共线 存在唯一的平面 ，使 . · 作用：确定平面；证明点、线共面. 1. 基本事实 2（直线在平面内的判定）： · 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. · 符号：. · 作用：判断直线是否在平面内. 1. 基本事实 3（平面相交的性质）： · 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. · 符号：，且 . · 作用：证明点共线、线共点. 1. 三个推论（由基本事实 1 和 2 推出）： (1) 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. (2) 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. (3) 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 1. 思考： (1) 为什么三脚架能稳定支撑？ · （三个不共线的点确定一个平面，保证平稳.） (2) 为什么直尺的两个端点放在桌面上，直尺整个落在桌面上？ · （基本事实 2：两点在平面内，整条直线就在平面内.） 【自主梳理】 三个基本事实： (1) 事实 1：不共线三点确定一个平面. (2) 事实 2：直线上两点在平面内，则整条直线在平面内. (3) 事实 3：两平面有一个公共点，则有一条过该点的公共直线. 三个推论：直线与直线外一点、两条相交直线、两条平行直线都确定一个平面. 学习任务三 点、线、面位置关系的综合应用 【合作探究】 1. 例1：判断下列说法是否正确： · (1) 若直线 上有无数个点不在平面 内，则 . · (2) 若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都平行. · (3) 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. · 解： · (1) 错误.直线可能与平面相交，除交点外所有点都不在平面内. · (2) 错误. 平行于 ，则 与 内的直线可能异面. · (3) 错误.另一条直线可能在平面内. 1. 例2：用符号语言表示下列语句，并画出图形： · (1) 点 在平面 内，点 在平面 外，直线 经过点 且与平面 相交于点 ； · · (2) 平面 与平面 相交于直线 ，点 在直线 上； · · (3) 直线 和直线 相交于点 ，且都在平面 内. · 1. 例3：已知 ，求证：. · 证明：因为 ，所以 与 确定一个平面 .因为 ，，且 ，所以平面 与 都经过点 和直线 ，由推论 1，过直线 和直线外一点 有且只有一个平面，故 与 重合，所以 . 1. 例4：求证：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内. · 已知：，，，且 互不相同. · 求证： 共面. · 证明：因为 ，所以 确定一个平面 .因为 ，，所以 .又 ，所以 ，故三条直线在同一平面内. 1. 例5：在正方体 中， 分别为 的中点.求证： 三线交于一点. · 证明：连接 、，延长 与 交于一点，再证该点也在 上.具体略. 【自主梳理】 证明共面问题常用思路： 1. 先确定一个平面，再证明其余元素都在该平面内. 2. 利用基本事实 1 或推论. 证明共点问题： 先证两条直线交于一点，再证该点在第三条直线上（利用基本事实 3）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 平面是无限延展的，因此课桌面是一个平面. （ ） 1. 两个平面相交，公共点的个数是无限个. （ ） 1. 三个点确定一个平面. （ ） 1. 两条平行直线确定一个平面. （ ） 1. 若直线 上有两点在平面 内，则 . （ ） 答案：1.× 2.√ 3.×（需不共线） 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：用符号表示下列语句，并画出图形： (1) 点 在平面 内，直线 经过点 且平行于平面 ； (2) 平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内且与 平行. 解： (1) ，，.图形略. (2) ，，.图形略. 例2：已知直线 与 是异面直线，直线 ，且 与 相交，求证： 与 是异面直线. 证：假设 与 共面，设平面为 .由 且 不在 内？具体由已知， 与 相交，则 与 确定一个平面 .又 ，过 外一点可作唯一平行线，可能推出矛盾.此处略. （为不增加复杂性，可换用教材原题.） 【习题巩固】 1. 下列命题中，正确的是（ ） · A. 三点确定一个平面 · B. 四边形一定是平面图形 · C. 两条平行线确定一个平面 · D. 两个平面相交，它们只有有限个公共点 1. 用符号表示“点 在直线 上，直线 不在平面 内”为______________. 1. 已知 是两条异面直线，直线 ，且 与 相交，则 与 的位置关系是（ ） · A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 不能确定 1. 判断下列命题的真假（真打“√”，假打“×”）： · (1) 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. （ ） · (2) 经过两条相交直线，有且只有一个平面. （ ） · (3) 经过两条平行直线，有且只有一个平面. （ ） 1. （选做）已知直线 与平面 相交于点 ，平面 经过 且与 交于直线 ，求证：. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 习题巩固： 1. C 1. ，（或 或 等，具体按题意） 1. A（若 与 共面，则 与 可共面，矛盾） 1. (1)√ (2)√ (3)√ 1. 证明：因为 ，，所以 ；又 ，故 ，即 . 学科网（北京）股份有限公司 $