1.导学案 09 第8章 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 内容概览 【学习目标】 1.了解空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义.(直观想象) 2.了解直线与平面间的位置关系,能判断它们间的位置关系.(直观想象、逻辑推理) 3.了解平面与平面间的位置关系,能判断它们间的位置关系.(直观想象、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、空间中两条直线的位置关系 共面 直线 相交直线 在同一平面内,有且只有一个公共点 平行直线 在同一平面内,没有公共点 异面 直线 不同在任何一个 平面内的两条直线, 没有公共点 返回 【思考】 1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗? 提示:不一定.可能平行、相交或异面,如图所示: 【点拨】 异面直线既不相交,也不平行,不具备确定平面的条件. 返回 二、空间中直线与平面的位置关系 在平面内 有_____个公共点 在平 面外 相交 ___________个公共点 平行 _____公共点 无数 有且只有一 没有 返回 【思考】 2.“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗? 提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅 指直线与平面平行. 【点拨】 判断直线与平面的位置关系时,不要忽视直线在平面内的情况. 返回 三、空间中平面与平面的位置关系 平行 没有公共点,记作α∥β 相交 有一条公共直线 返回 【思考】 3.如果两个平面都平行于同一条直线,那么这两个平面一定平行吗? 提示:不一定.如图所示,这两个平面可能平行,也可能相交. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.( ) 提示:没有公共点的两条直线平行或异面. (2)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.( ) 提示:b与c可能相交、平行或异面. (3)若直线l上有无数个点都在平面α外,则直线l与平面α平行.( ) 提示:直线l与平面α相交或平行. (4)两个平面只有平行和相交两种位置关系.( ) × × × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1空间中直线与直线的位置关系(直观想象) 【典例1】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　　;  (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　　;  (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　　;  (4)直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　　.  返回 【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内. (3)直线D1D与直线D1C相交于点D1. (4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. 答案:(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 返回 【总结升华】 空间两直线位置关系的判断 (1)判定两条直线是平行或相交直线,可用平面几何的方法. (2)判定两条直线是异面直线的方法: ①定义法:即利用异面直线的定义来判断两直线不可能在同一平面内; ②排除法:判断两直线既不平行也不相交. 返回 【即学即练】 (多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,以下结论正确的是(　　) A.直线DM与CC1是相交直线 B.直线AM与NB是平行直线 C.直线MN与CD1是平行直线 D.直线AM与DD1是异面直线 √ √ √ 返回 【解析】选ACD.A中直线DM与直线CC1在同一平面内,它们不平行,必相交,故结论正确.C中MN是△CD1C1的中位线,故结论正确.D中的两条直线既不相交也不平行,即为异面直线,故结论正确.B中AM与BN是异面直线,故结论不正确. 返回 类型2空间中直线与平面的位置关系(直观想象、逻辑推理) 【典例2】若a,b为直线,α为平面,下列命题正确的是(　　) A.若a在α外,则a∥α B.若a∥b,则a平行于过b的任何一个平面 C.若a,b相交且a与α相交,则b与α相交 D.如果a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α √ 返回 【解析】选D.直线a在平面α外包括两种情况,即a∥α或a与α相交,所以a和α不一定平行,故A不正确;如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',AA'在过BB'的平面ABB'A'内,故B不正确;AB与AD相交,AB与平面BB'C'C相交,AD与平面BB'C'C平行,C不正确;D中,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,即D正确. 返回 【总结升华】 直线与平面位置关系的判断的关注点 (1)通法:要判断直线在平面内,只要判断直线上两点在平面内;要判断直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点;要判断直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点. (2)巧法:借助模型(正方体、长方体等). (3)提醒:判断直线与平面的位置关系时不要遗漏直线在平面内的情况. 返回 【即学即练】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线与平面的位置关系: (1)直线A1C1与平面A1B1C1D1:　　　　;  (2)直线A1B与平面ABCD:　　　　;  (3)直线AD1与平面B1BCC1:　　　　.  【解析】(1)因为点A1∈平面A1B1C1D1,点C1∈平面A1B1C1D1,所以直线A1C1在平面 A1B1C1D1内; (2)因为点A1∉平面ABCD,点B∈平面ABCD,所以直线A1B与平面ABCD相交; (3)因为AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点,所以直线AD1与平面B1BCC1平行. 答案:(1)在平面内　(2)相交　(3)平行 返回 类型3空间中平面与平面的位置关系(直观想象、逻辑推理) 【典例3】(易错·对对碰) (1)已知在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线平行,则这两个平面的位置关系是　　　　　;  (2)已知在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线相交,则这两个平面的位置关系是　　　　　;  (3)已知在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线异面,则这两个平面的位置关系是　　　　　.  返回 【解析】(1)如图,两平面有平行或相交两种情况. (2)因为分别在两个平面内的两条直线相交,所以两平面是相交的. (3)如图,a⊂α,b⊂β,a,b异面. 由图知这两个平面可能平行,也可能相交. 答案:(1)平行或相交　(2)相交　(3)平行或相交 返回 【总结升华】 1.平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点; (2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点. 2.常见的平面和平面平行的模型 (1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上、下底面平行; (2)长方体(正方体)的六个面中,三组相对面平行. 返回 【即学即练】 1.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线(　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 【解析】选D.两个平面内的直线必无交点,所以是异面或平行. √ 返回 2.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,E,F分别是D1C1,B1B的中点. 则平面AEF与平面ABCD的位置关系为　　　　　　.  【解析】因为平面AEF与平面ABCD有公共点A,所以平面AEF与平面ABCD 相交. 答案:相交 返回 【教材深一度】 异面直线的判定定理 链接教材:P130例2 【判定定理】 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). 返回 【典例4】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1B与AD1是异面直线. 【证明】如图,连接A1B,AD1, 因为AD1⊂平面A1ADD1,而A1B∩平面A1ADD1=A1,A1∉AD1, 且点B∉平面A1ADD1, 所以A1B与AD1是异面直线. 返回 $ 8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 【学习目标】 1.了解空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义.(直观想象) 2.了解直线与平面间的位置关系,能判断它们间的位置关系.(直观想象、逻辑推理) 3.了解平面与平面间的位置关系,能判断它们间的位置关系.(直观想象、逻辑推理) 必备知识·自主导学 一、空间中两条直线的位置关系 共面 直线 相交直线 在同一平面内,有且只有一个公共点 平行直线 在同一平面内,没有公共点 异面 直线 不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点 【思考】 1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗? 提示:不一定.可能平行、相交或异面,如图所示: 【点拨】 异面直线既不相交,也不平行,不具备确定平面的条件. 二、空间中直线与平面的位置关系 在平面内 有无数个公共点 在平 面外 相交 有且只有一个公共点 平行 没有公共点 【思考】 2.“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗? 提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行. 【点拨】 判断直线与平面的位置关系时,不要忽视直线在平面内的情况. 三、空间中平面与平面的位置关系 平行 没有公共点,记作α∥β 相交 有一条公共直线 【思考】 3.如果两个平面都平行于同一条直线,那么这两个平面一定平行吗? 提示:不一定.如图所示,这两个平面可能平行,也可能相交. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线. (×) 提示:没有公共点的两条直线平行或异面. (2)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线. (×) 提示:b与c可能相交、平行或异面. (3)若直线l上有无数个点都在平面α外,则直线l与平面α平行. (×) 提示:直线l与平面α相交或平行. (4)两个平面只有平行和相交两种位置关系.(√) 关键能力·师生共研 类型1空间中直线与直线的位置关系(直观想象) 【典例1】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　　;  (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　　;  (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　　;  (4)直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　　.  【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内. (3)直线D1D与直线D1C相交于点D1. (4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. 答案:(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 【总结升华】 空间两直线位置关系的判断 (1)判定两条直线是平行或相交直线,可用平面几何的方法. (2)判定两条直线是异面直线的方法: ①定义法:即利用异面直线的定义来判断两直线不可能在同一平面内; ②排除法:判断两直线既不平行也不相交. 【即学即练】 (多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,以下结论正确的是(　　) A.直线DM与CC1是相交直线 B.直线AM与NB是平行直线 C.直线MN与CD1是平行直线 D.直线AM与DD1是异面直线 【解析】选ACD.A中直线DM与直线CC1在同一平面内,它们不平行,必相交,故结论正确.C中MN是△CD1C1的中位线,故结论正确.D中的两条直线既不相交也不平行,即为异面直线,故结论正确.B中AM与BN是异面直线,故结论不正确. 类型2空间中直线与平面的位置关系(直观想象、逻辑推理) 【典例2】若a,b为直线,α为平面,下列命题正确的是 (　　) A.若a在α外,则a∥α B.若a∥b,则a平行于过b的任何一个平面 C.若a,b相交且a与α相交,则b与α相交 D.如果a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α 【解析】选D.直线a在平面α外包括两种情况,即a∥α或a与α相交,所以a和α不一定平行,故A不正确;如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',AA'在过BB'的平面ABB'A'内,故B不正确;AB与AD相交,AB与平面BB'C'C相交,AD与平面BB'C'C平行,C不正确;D中,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,即D正确. 【总结升华】 直线与平面位置关系的判断的关注点 (1)通法:要判断直线在平面内,只要判断直线上两点在平面内;要判断直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点;要判断直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点. (2)巧法:借助模型(正方体、长方体等). (3)提醒:判断直线与平面的位置关系时不要遗漏直线在平面内的情况. 【即学即练】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线与平面的位置关系: (1)直线A1C1与平面A1B1C1D1:　　　　;  (2)直线A1B与平面ABCD:　　　　;  (3)直线AD1与平面B1BCC1:　　　　.  【解析】(1)因为点A1∈平面A1B1C1D1,点C1∈平面A1B1C1D1,所以直线A1C1在平面A1B1C1D1内; (2)因为点A1∉平面ABCD,点B∈平面ABCD,所以直线A1B与平面ABCD相交; (3)因为AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点,所以直线AD1与平面B1BCC1平行. 答案:(1)在平面内　(2)相交　(3)平行 类型3空间中平面与平面的位置关系(直观想象、逻辑推理) 【典例3】(易错·对对碰) (1)已知在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线平行,则这两个平面的位置关系是　　　　　;  (2)已知在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线相交,则这两个平面的位置关系是　　　　　;  (3)已知在两个平面内分别有一条直线,且这两条直线异面,则这两个平面的位置关系是　　　　　.  【解析】(1)如图,两平面有平行或相交两种情况. (2)因为分别在两个平面内的两条直线相交,所以两平面是相交的. (3)如图,a⊂α,b⊂β,a,b异面. 由图知这两个平面可能平行,也可能相交. 答案:(1)平行或相交　(2)相交　(3)平行或相交 【总结升华】 1.平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点; (2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点. 2.常见的平面和平面平行的模型 (1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上、下底面平行; (2)长方体(正方体)的六个面中,三组相对面平行. 【即学即练】 1.若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线 (　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 【解析】选D.两个平面内的直线必无交点,所以是异面或平行. 2.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,E,F分别是D1C1,B1B的中点.则平面AEF与平面ABCD的位置关系为　　　　　　.  【解析】因为平面AEF与平面ABCD有公共点A,所以平面AEF与平面ABCD相交. 答案:相交 【教材深一度】 异面直线的判定定理 链接教材:P130例2 【判定定理】 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). 【典例4】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1B与AD1是异面直线. 【证明】如图,连接A1B,AD1, 因为AD1⊂平面A1ADD1,而A1B∩平面A1ADD1=A1,A1∉AD1,且点B∉平面A1ADD1, 所以A1B与AD1是异面直线. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $