8.6.2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 （导学案）数学人教A版必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 导学案 1. 掌握直线与平面垂直的性质定理，理解定理的条件与结论，能准确表述定理内容。 2. 能运用直线与平面垂直的性质定理证明线线平行，解决简单的线面、面面关系问题。 3. 理解直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念，能进行相关距离的简单计算。 4. 经历定理的探究、证明与应用过程，体会反证法的思维方式，提升空间想象和逻辑推理素养。 教学重点： 1. 直线与平面垂直的性质定理及其证明； 2. 直线与平面垂直的性质定理的应用； 3. 直线到平面的距离、两平行平面间的距离的概念。 教学难点： 1. 直线与平面垂直的性质定理的反证法证明； 2. 性质定理的灵活运用及空间距离的转化计算； 3. 立体几何问题中转化思想的渗透。 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 ⇒ 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线 知识点二　线面距离、平行平面间的距离 1．一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 导入新知1：“高楼立柱的‘平行默契’ ” 展示城市高楼建筑群的图片（重点突出高楼的立柱结构），同学们每天路过的高楼，其竖直的立柱都垂直于地面。比如这栋写字楼的4根核心立柱，它们各自垂直于地面，却能精准支撑起整栋楼的楼层结构，从未出现“错位”情况。大家有没有想过：这些垂直于同一地面的立柱，它们之间是什么位置关系？如果我们把立柱抽象成直线，地面抽象成平面，这个生活现象能告诉我们直线与平面垂直的什么规律？要是有一根立柱因为施工误差，不再垂直于地面，它还能和其他立柱保持平行吗？这些高楼立柱的“平行默契”，藏着直线与平面垂直的核心规律，今天我们就从这一生活场景出发，探究直线与平面垂直的相关知识，解锁其中的数学奥秘。 1. 垂直于同一地面的高楼立柱，它们之间是什么位置关系？请结合生活观察简要说明。 2. 将立柱抽象成直线、地面抽象成平面，高楼立柱垂直于地面且相互平行的现象，能体现直线与平面垂直的什么规律？ 3. 若一根立柱因施工误差不再垂直于地面，它还能和其他垂直于地面的立柱保持平行吗？为什么？ 导入新知2：““太阳能板支架的‘距离智慧’ ” 播放太阳能电站的短视频（聚焦太阳能板与支架的安装结构），同学们仔细观察会发现，太阳能板要高效吸收阳光，通常会保持与地面平行的状态，而支撑太阳能板的支架都垂直于地面。大家有没有疑问：每块太阳能板的支架长度都相同，这是为什么？如果我们把太阳能板看作一条直线（或一个平面），地面看作另一个平面，支架看作垂直于地面的线段，那么太阳能板上任意一点到地面的距离有什么关系？不同太阳能板之间（可看作平行平面），它们之间的距离又该如何衡量？这些距离关系和支架的“垂直特性”有什么关联？这些太阳能板安装中的“距离智慧”，藏着空间中垂直与距离的核心关联知识，今天我们就从这一生活场景出发，探究相关数学奥秘。 1. 支撑太阳能板的支架均垂直于地面，且每块太阳能板的支架长度都相同，这一设计背后蕴含着什么数学原因？ 2. 将太阳能板看作平面、地面看作另一个平面、支架看作垂直于地面的线段，太阳能板上任意一点到地面的距离有什么规律？ 3. 不同太阳能板可看作平行平面，它们之间的距离该如何衡量？这一距离与支架的“垂直特性”有怎样的关联？ 下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线与平面垂直的条件下能推出哪些结论． 根据已有经验，我们可以探究直线与平面内的直线的关系．但由定义，与内的所有直线都垂直．所以，可以探究， 与其他直线或平面的关系． 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢? 观察 （1）如图8.6-16，在长方体中，棱，，，所在直线都垂直于平面，它们之间具有什么位置关系？ （2）如图8.6-17，已知直线，和平面．如果，，那么直线，一定平行吗？ 可以发现，这些直线相互平行．不失一般性，我们以（2）为例加以证明．如图8.6-18，假设b与不平行，且．显然点不在直线上，所以点与直线可确定一个平面，在该平面内过点作直线，则直线与是相交于点的两条不同直线，所以直线与可确定平面，设，则．因为，，所以，．又因为，所以．这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线， 与垂直，显然不可能．因此． 由于无法把两条直线归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4．在这种情况下我们采用了“反证法”． 这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理： 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行． 直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行．直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系． 在的条件下，如果平面外的直线与直线垂直，你能得到什么结论？如果平面与平面平行，你又能得到什么结论？ 你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗? 1、 应用新知 例5 如图8.6-19，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等． 【变式】（多选题）下列说法中正确的有（    ） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直 C．直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．由例5我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 例6 推导棱台的体积公式 ， 其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高． 【变式】米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为，则（    ） A． B． C． D．    1.（24-25高一下·安徽·月考）下列说法错误的是（    ） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 C．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2.（24-25高一下·全国·课后作业）已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下列四个命题： ①，，且； ②，； ③，，； ④，．其中不正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3.（24-25高一下·河南·期中）若m，n为空间中两条直线，，为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线 4.(多选题）（24-25高一下·贵州六盘水·期末）若a，b表示两条直线，表示一个平面，则下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5.(多选题）（2024·安徽合肥·二模）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 6.（2025高二上·贵州·学业考试）已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 7.（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8.(多选题）（24-25高一下·全国·随堂练习）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 9.(多选题）（24-25高一下·全国·随堂练习）直线和在正方体的两个不同平面内，则可以使成立的条件是（    ） A．和垂直于正方体的同一个面 B．和与正方体的同一个面平行 C．和平行于同一条棱 D．和与正方体的同一条棱垂直 `10.(多选题）（25-26高二上·湖南长沙·月考）在平行六面体 中，侧棱垂直于底面，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则平面 D．若，则平面 1.（2026·江西上饶·一模）已知正方体的棱长为4，棱上的点满足与交于点．若平面经过点且与垂直，则平面截该正方体所得截面的面积为（   ） A．4 B．7 C．4 D．7 2.（2026·江苏南通·一模）已知四棱锥中，平面，，点到直线的距离为2．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·上海金山·期末）正方体透明容器的棱长为2，点是棱上任意一点，对于以下两个命题，下列判断正确的是（    ）． ①； ②将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 4.（2025·天津·一模）设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 1.知识清单： （1）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行（线面垂直→线线平行）； （2）直线到平面的距离：直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离； （3）两平行平面间的距离：两个平行平面中，一个平面内任意一点到另一个平面的距离； （4）棱台的体积公式：上下上下V=13h(S上+S下+S上S下)。 2.方法归纳： （1）转化思想：线面垂直与线线平行的转化、空间距离与点到面距离的转化； （2）反证法：证明立体几何中“唯一性” “平行性”等命题的常用方法； （3）数形结合：借助几何体模型或图形分析线面、面面关系，简化问题。 3.常见误区： （1）忽略直线与平面垂直的性质定理的条件，误将“垂直于同一平面”改为“垂直于同一直线”； （2）理解直线到平面的距离时，未注意“直线与平面平行”的前提条件； （3）运用反证法时，逻辑推理不严谨，矛盾点找不准。 教材第 155 页练习第 2,3 题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 导学案 1. 掌握直线与平面垂直的性质定理，理解定理的条件与结论，能准确表述定理内容。 2. 能运用直线与平面垂直的性质定理证明线线平行，解决简单的线面、面面关系问题。 3. 理解直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念，能进行相关距离的简单计算。 4. 经历定理的探究、证明与应用过程，体会反证法的思维方式，提升空间想象和逻辑推理素养。 教学重点： 1. 直线与平面垂直的性质定理及其证明； 2. 直线与平面垂直的性质定理的应用； 3. 直线到平面的距离、两平行平面间的距离的概念。 教学难点： 1. 直线与平面垂直的性质定理的反证法证明； 2. 性质定理的灵活运用及空间距离的转化计算； 3. 立体几何问题中转化思想的渗透。 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线 知识点二　线面距离、平行平面间的距离 1．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． [提示]　求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)． (2)转移法(找过点与面平行的线或面)． (3)等体积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)． 导入新知1：“高楼立柱的‘平行默契’ ” 展示城市高楼建筑群的图片（重点突出高楼的立柱结构），同学们每天路过的高楼，其竖直的立柱都垂直于地面。比如这栋写字楼的4根核心立柱，它们各自垂直于地面，却能精准支撑起整栋楼的楼层结构，从未出现“错位”情况。大家有没有想过：这些垂直于同一地面的立柱，它们之间是什么位置关系？如果我们把立柱抽象成直线，地面抽象成平面，这个生活现象能告诉我们直线与平面垂直的什么规律？要是有一根立柱因为施工误差，不再垂直于地面，它还能和其他立柱保持平行吗？这些高楼立柱的“平行默契”，藏着直线与平面垂直的核心规律，今天我们就从这一生活场景出发，探究直线与平面垂直的相关知识，解锁其中的数学奥秘。 1. 垂直于同一地面的高楼立柱，它们之间是什么位置关系？请结合生活观察简要说明。 2. 将立柱抽象成直线、地面抽象成平面，高楼立柱垂直于地面且相互平行的现象，能体现直线与平面垂直的什么规律？ 3. 若一根立柱因施工误差不再垂直于地面，它还能和其他垂直于地面的立柱保持平行吗？为什么？ 设计意图 1. 贴近生活实际：高楼立柱是学生日常可见的事物，能快速唤醒学生的生活体验，降低抽象知识的理解门槛，让学生感受到立体几何与现实生活的紧密联系。 2. 紧扣核心内容：通过立柱与地面的垂直关系，直接指向“垂直于同一平面的两条直线的位置关系”这一性质定理核心，自然引出本节课的重点探究问题，实现对整节课知识的统领。 3. 激发求知欲：通过“为什么不会错位” “不垂直还能平行吗”等设问，制造认知冲突，引发学生对“线面垂直”与“线线平行”关联的思考，调动学生主动探究定理的积极性。 导入新知2：““太阳能板支架的‘距离智慧’ ” 播放太阳能电站的短视频（聚焦太阳能板与支架的安装结构），同学们仔细观察会发现，太阳能板要高效吸收阳光，通常会保持与地面平行的状态，而支撑太阳能板的支架都垂直于地面。大家有没有疑问：每块太阳能板的支架长度都相同，这是为什么？如果我们把太阳能板看作一条直线（或一个平面），地面看作另一个平面，支架看作垂直于地面的线段，那么太阳能板上任意一点到地面的距离有什么关系？不同太阳能板之间（可看作平行平面），它们之间的距离又该如何衡量？这些距离关系和支架的“垂直特性”有什么关联？这些太阳能板安装中的“距离智慧”，藏着空间中垂直与距离的核心关联知识，今天我们就从这一生活场景出发，探究相关数学奥秘。 1. 支撑太阳能板的支架均垂直于地面，且每块太阳能板的支架长度都相同，这一设计背后蕴含着什么数学原因？ 2. 将太阳能板看作平面、地面看作另一个平面、支架看作垂直于地面的线段，太阳能板上任意一点到地面的距离有什么规律？ 3. 不同太阳能板可看作平行平面，它们之间的距离该如何衡量？这一距离与支架的“垂直特性”有怎样的关联？ 设计意图 1. 贴合生活应用：太阳能电站是现代社会常见的能源设施，学生对太阳能板的安装有直观认知，能让学生体会数学知识在实际工程中的应用价值，增强学习兴趣。 2. 统领全课内容：既通过支架“垂直于地面”的特征引出直线与平面垂直的性质定理（支架间的平行关系），又通过“支架长度相同” “太阳能板到地面的距离”等问题，自然过渡到直线到平面的距离、两平行平面间的距离概念，实现对定理、距离概念及综合应用的全面统领。 3. 激发探究欲望：通过“为什么支架长度相同” “距离如何衡量”等实际问题，引导学生从生活现象中提炼数学问题，激发学生对距离转化思想和定理应用的探究热情，为后续例题（如棱台体积推导）的学习埋下伏笔。 下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线与平面垂直的条件下能推出哪些结论． 根据已有经验，我们可以探究直线与平面内的直线的关系．但由定义，与内的所有直线都垂直．所以，可以探究， 与其他直线或平面的关系． 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢? 观察 （1）如图8.6-16，在长方体中，棱，，，所在直线都垂直于平面，它们之间具有什么位置关系？ （2）如图8.6-17，已知直线，和平面．如果，，那么直线，一定平行吗？ 可以发现，这些直线相互平行．不失一般性，我们以（2）为例加以证明．如图8.6-18，假设b与不平行，且．显然点不在直线上，所以点与直线可确定一个平面，在该平面内过点作直线，则直线与是相交于点的两条不同直线，所以直线与可确定平面，设，则．因为，，所以，．又因为，所以．这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线， 与垂直，显然不可能．因此． 由于无法把两条直线归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4．在这种情况下我们采用了“反证法”． 这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理： 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行． 直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行．直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系． 在的条件下，如果平面外的直线与直线垂直，你能得到什么结论？如果平面与平面平行，你又能得到什么结论？ 你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗? 1、 应用新知 例5 如图8.6-19，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等． 证明：过直线上任意两点，分别作平面的垂线，， 垂足分别为，． ，，， 设直线，确定的平面为，，，． 四边形为矩形．． 由，是直线上任取的两点，可知直线上各点到平面的距离相等． 【变式】（多选题）下列说法中正确的有（    ） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直 C．直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 【答案】AB 【知识点】判断线面是否垂直、线面垂直证明线线平行、判断线面平行、平面的基本性质及辨析 【分析】A由线面垂直的性质判断；B根据平面的基本性质过一点有且仅有一条直线垂直于平面；C、D画出线面相交的反例、画出线面不垂直情况下的反例. 【详解】垂直于同一个平面的两条直线是平行的，A正确； 过空间一点有且只有一条直线和已知平面垂直，B正确； 如下图，直线上有两点到平面的距离相等，直线与平面可能相交， C错误； 如果直线垂直于平面内的无数条直线，如下图直线（不与平面垂直），在平面内一条直线且， 显然，平面内存在无数条直线与平行，则垂直于平面内无数条直线，但直线和平面不垂直，D错误； 故选：AB 【感悟提升】　空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离； (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．由例5我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 例6 推导棱台的体积公式 ， 其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高． 解：如图8.6-20，延长棱台各侧棱交于点，得到截得棱台的棱锥．过点作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点，，则垂直于棱台的上底面(想一想，为什么?)，从而． 设截得棱台的棱锥的体积为，去掉的棱锥的体积为、高为，则．于是 ，． 所以棱台的体积 ． ① 由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似①，并且 ，①请你自己证明这个结论 所以 代入①，得． 【变式】米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算、由线面角的大小求长度 【分析】设该米斗的高为，解得．根据米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为列方程求得. 【详解】设该米斗的高为，解得． 易知上口的对角线的长度为，下口的对角线长度为， 所以侧棱与下底面所成角的正切值为， 解得． 故选：B    1.（24-25高一下·安徽·月考）下列说法错误的是（    ） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 C．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】C 【知识点】线面垂直证明线线平行、面面关系有关命题的判断、等角定理及其辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】根据线面垂直的性质、平面的基本性质、等角定理及面面位置关系判断各项的正误. 【详解】A：由线面垂直的性质知，垂直于同一个平面的两条直线平行，对； B：由平面的基本性质，经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，对； C：由等角性质，如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，错； D：如果两个不重合的平面有一个公共点，则两个平面必交于一条直线，且公共点在该直线上，故它们有且只有一条过该点的公共直线，对. 故选：C 2.（24-25高一下·全国·课后作业）已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下列四个命题： ①，，且； ②，； ③，，； ④，．其中不正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线平行、线面垂直证明面面平行、线面平行的性质 【分析】利用线面平行的性质结合空间线线位置关系可判断①；利用线面垂直的性质可判断②③；利用空间线面位置关系可判断④. 【详解】对于①，若且，则， 因为，过直线作平面，使得，则， 因为，，所以，故，①对； 对于②，若，，则或，②错； 对于③，若，，则，因为，则，③对； 对于④，若，，则或，④错. 故选：B. 3.（24-25高一下·河南·期中）若m，n为空间中两条直线，，为平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．，，，则 D．若m，n是异面直线，则m，n在内的射影为两条相交直线 【答案】C 【知识点】线面垂直证明线线平行、判断线面是否垂直、判断线面平行、线面关系有关命题的判断 【分析】根据各选项中的条件，指出存在的可能情况判断ABD；利用线面垂直的判定性质推理判断C. 【详解】对于A，，，则可能在内，可能平行于，也可能与相交，A错误； 对于B，，，则可能在内，可能平行于，B错误； 对于C，由，，得，而，因此，C正确； 对于D，m，n是异面直线，m，n在内的射影可能是两条平行直线，可能是两条相交直线， 也可能是一条直线和一个点，D错误. 故选：C 4.(多选题）（24-25高一下·贵州六盘水·期末）若a，b表示两条直线，表示一个平面，则下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【知识点】线面垂直证明线线平行、判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中线线、线面位置关系逐一判断. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，，则与可能平行或异面，故D错误. 故选：BC. 5.(多选题）（2024·安徽合肥·二模）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 【答案】D 【知识点】充分条件、判断面面平行、线面垂直证明面面平行 【分析】通过举反例可判定ABC，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定D. 【详解】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D:  因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 6.（2025高二上·贵州·学业考试）已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题一定正确的是（    ） A．，，则 B．，，则 C．，，则 D．，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线平行 【分析】根据线面、面面位置关系可判断ABC选项；利用线面垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或、异面，A错； 对于B选项，若，，则或、相交，B错； 对于C选项，若，，则或、异面或、相交，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 7.（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、线面垂直证明线线垂直、线面垂直证明面面平行 【分析】利用线面平行关系判断AC；利用线面垂直关系判断BD. 【详解】对于A，由，得或是异面直线，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，由，得或，C错误； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：D 8.(多选题）（24-25高一下·全国·随堂练习）下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面垂直证明线线平行、证明线面垂直 【分析】利用线线、线面平行、垂直关系推理判断即得. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，则或，B错误； 对于C，，则存在过直线与平面相交的平面，令交线为，于是， 由，得，因此，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：ACD 9.(多选题）（24-25高一下·全国·随堂练习）直线和在正方体的两个不同平面内，则可以使成立的条件是（    ） A．和垂直于正方体的同一个面 B．和与正方体的同一个面平行 C．和平行于同一条棱 D．和与正方体的同一条棱垂直 【答案】AC 【知识点】线面垂直证明线线平行、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，根据垂直于同一平面的两直线平行，可知A正确， 对于B，与同一平面平行的两直线可能平行，可能相交，可能异面，故B错误， 对于C，根据平行的传递性可知：平移于同一条的棱的两直线平行，故C正确， 对于D，与同一条直线垂直的两直线可能平行，可能相交，可能异面，故D错误， 故选：AC `10.(多选题）（25-26高二上·湖南长沙·月考）在平行六面体 中，侧棱垂直于底面，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则平面 D．若，则平面 【答案】AC 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理依次对选项进行判断即可. 【详解】对于选项A，平面，且，所以平面，又因为平面，则， 又，底面为菱形，则， 平面，则平面， 因为平面，所以，A正确； 对于选项B，，底面为矩形，无法得到平面，B错误； 对于选项C，设与交于点，由，为中点，得， 因为平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面，C正确； 对于选项D，因为，所以四边形为正方形，所以，而与不一定垂直，D错误． 故选：AC. 1.（2026·江西上饶·一模）已知正方体的棱长为4，棱上的点满足与交于点．若平面经过点且与垂直，则平面截该正方体所得截面的面积为（   ） A．4 B．7 C．4 D．7 【答案】B 【知识点】判断正方体的截面形状、线面垂直证明线线垂直、线面垂直证明面面平行 【分析】取的中点，先证得平面，则平面平面，由平面基本性质可作出五边形为平面，求出梯形的面积和的面积，即可求解. 【详解】如图，设的中点为， 是正方体，是正方形，，， ，平面,平面， 与交于点，平面，， 是正方体的棱长为，为的中点，， ， ， ， ， ，， ，，平面BDF， 平面．   平面经过点且与垂直，平面平面， ，是的中点，， 在上取点，使得，连接，则， 在上取点，使得，连接，则， 取的中点，连接，则， 取的中点，为的中点，，， 在上取点，连接，则， 连接，连接，故平面平面， 则截面五边形为平面， 梯形中，， 则梯形的面积． 中，，又， 所以， 即． 故选：B． 2.（2026·江苏南通·一模）已知四棱锥中，平面，，点到直线的距离为2．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用空间垂直关系证明线面垂直，再利用球被平面所截得到一个圆，然后利用已知条件计算交线长即可. 【详解】 在梯形中，因为， 所以，则，即， 因为平面平面所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 由点到直线的距离为2，可得， 再过点作，垂足为，则， 又因为平面，所以平面， 由，，可得， 则以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心的圆弧， 其半径为：， 又由，可得 则在直角中，由点到的距离等于， 所以直线与这个以为圆心的圆弧相离， 即与侧面的交线是以为圆心的圆弧长为， 故选：B 3.（25-26高二上·上海金山·期末）正方体透明容器的棱长为2，点是棱上任意一点，对于以下两个命题，下列判断正确的是（    ）． ①； ②将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【知识点】判断命题的真假、线面角的概念及辨析、线面垂直证明线线垂直 【分析】对于①：根据正方体易知，利用线面垂直的判定、性质定理可得；对于②令放在桌面上的顶点为，根据正方体的结构特征，要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，并确定最大截面的形状，求其面积即可. 【详解】对于①，由正方体的性质可知：，且， 平面， 所以平面，又平面，所以，故①是真命题； 对于②，令放在桌面上的顶点为， 当桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水面的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大， 根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大， 此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故②是真命题； 故选：C 4.（2025·天津·一模）设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明面面平行、线面平行的性质 【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用线线、面面平行关系判断C；利用面面垂直及线面平行关系判断D. 【详解】对于A，由，，得，而，则，A错误； 对于B，由，得存在过的平面且与不重合，则， 由，得存在过的平面，则， 又，因此，又，则，B正确； 对于C，由，，，得与相交或平行，C错误； 对于D，由，，，得与相交、平行或异面，D错误. 故选：B 1.知识清单： （1）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行（线面垂直→线线平行）； （2）直线到平面的距离：直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离； （3）两平行平面间的距离：两个平行平面中，一个平面内任意一点到另一个平面的距离； （4）棱台的体积公式：上下上下V=13h(S上+S下+S上S下)。 2.方法归纳： （1）转化思想：线面垂直与线线平行的转化、空间距离与点到面距离的转化； （2）反证法：证明立体几何中“唯一性” “平行性”等命题的常用方法； （3）数形结合：借助几何体模型或图形分析线面、面面关系，简化问题。 3.常见误区： （1）忽略直线与平面垂直的性质定理的条件，误将“垂直于同一平面”改为“垂直于同一直线”； （2）理解直线到平面的距离时，未注意“直线与平面平行”的前提条件； （3）运用反证法时，逻辑推理不严谨，矛盾点找不准。 教材第 155 页练习第 2,3 题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $