突破练4 几何作图&提升练1 数形结合-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

河浴艺奥 BS·八年级·数学 政专题 核心题型突破练 突破练4 几何作图 紧扣课程标准根据最新教材编写 1 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 9 类型1网格作图 字地 1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的 M 封 顶点叫作格点，点A,M,N均为格点，请 按下列要求画图（尺规作图或三角尺作 e 图均可，不要求写作法)： (1)在格点上找一点B,使得AM为 ∠NMB的平分线； (2)在线段AM上找一点P,使得PM=PW 2.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3),B(0,0),C(4,0). (1)∠ABC的度数为 (2)在图中画出△ABC向上平移 2个单位长度后得到的△ABC, 此时点B,的坐标为 咖 (3)连接AB,则线段AB,可以看 54321B0)12345 作是线段AC绕点A顺时针旋转 o得到的，四边形BB,AC 的面积为 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(-3,4),B(-5,2),C(-2,1),且△AB1C1与△ABC关于 原点O成中心对称. 液 (1)画出△A1BC1,此时点A1的 6 得 坐标为 (2)P(a,b)是△ABC的AC边上 一点，△ABC经平移后，点P的 2 对应点为P'(a+5,b+1),请画 6-543-29 23456x 出平移后的△AB2C2; (3)在平面直角坐标系内找 254 救 点D,使得以A,B,C,D为顶点 的四边形为平行四边形，则点D 9 的坐标为 4.在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，△AOB是等腰直角三 题 角形，∠AOB=90°，顶点A的坐标是(4,4).M是线段AB上的 动点，连接OM,将△AOM向左平移5个单位长度得到△CDN; 将△AOM绕，点O按顺时针方向旋转90°得到△B0E.(其中点 C与点A对应，点D与点O对应，点E与点M对应) 数学八年级下册北师第1页共3页 (1)如图，当点M的坐标为(4,1)时，画出相应的△CDN和 △BOE: (2)直接写出，点M运动过程中，对应点E到点C距离的最小值 5.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， △ABC与△A,B,C1关于点O成中心对称，△ABC与△AB,C 的顶点均在格点上.请按照要求完成下列各题.（注：保留作图 痕迹，不写作法) (1)在图中画出点0的位置； (2)利用方格纸的特点并结合尺规作图，在方格纸上找一点 P,使点P满足条件：①PA=PA1;②点P到∠CAB两边的距离 相等； (3)连接PA,PA1,求△PAA,的周长 B 类型2尺规作图 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC<60°，线段BD,AF是 △ABC的高，能否在△ABC外部找到一个角等于∠BAC的一 半？小智分别以点C,点D为圆心，BD,BC的长为半径画弧， 两弧交于点E,连接CE,DE,则∠E=∠BAC,请你证明这种 做法的正确性. 7.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，延长BC到点E, 使CE=CD. (1)求∠E的度数； (2)用尺规作图的方法，过点D作DM LBE,垂足为M;(不写 作法，保留作图痕迹) 数学八年级下册北师第2页共3页 (3)求证：BM=EM. B 8.如图，在△ABC中，∠ACB=54°，请根据要求完成以下任务： (1)利用直尺与圆规，作线段BC的垂直平分线交AB,BC于点 D,E,连接CD; (2)利用直尺与圆规，作∠ABC的平分线交CD于点F; (3)若BD=AC,求∠DFB的度数. 4 9.如图，在△ABC中，D是AB边上的一点. (1)尺规作图：过点D作AB的垂线，交BC于点E,在AC边上 取点F,使AF=AD,连接DF;(保留作图痕迹，不写作法) (2)根据(1)中作图，直接回答：当△ABC满足什么条件时，四 边形DECF是平行四边形？ D. B 10.下面是某数学兴趣小组探索三角形的一条中位线和第三边 上的中线关系的过程.在图中，运用尺规作△ABC三边的垂 直平分线，分别与边AB,AC,BC交于点D,E,F(此三点均为 垂足)，连接DE,AF.请你一起完成探索过程. (1)使用直尺和圆规完成作图；（保留作图痕迹） (2)通过观察图形，猜想DE和AF互相平分，请你写出证明 过程； (3)通过证明，可以得到结论： ·（用文字表述) 数学八年级下册北师第3页共3页一突破练4 间将岩四 BS·八年级·数学 政专题 数学思想提升练 提升练1数形结合 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.[石家庄市]如图所示，骐骥中学劳动实践基地有两块边长分 别为m,n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部 分)不能使用，其面积为S,左边正方形能使用部分的面积为 S左，右边正方形能使用部分的面积为S· (1)用含m,n,S的代数式表示图中能使用部分的面积之和为 ； (2)设两个正方形能使用部分的面积差为S差=S左-S右· ①求S的值（用含m,n的代数式表示），并对S分解因式： ②若S差=56，且m+n=14,求m,n的值 m 2.如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方 形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收 2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验田 的小麦都收获了500kg (1)①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为 kg/m; “丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为 kg/m2; 小麦试验田的单位面积产量高； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ (2)如图2，在试验田四周（图2虚线部分）修建隔离网，“丰收 1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为 提升练1怎二数学八年级下册北师第1页共3页 1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米 造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求α 的值 (a-1)m (a-1)m a m 图1 图2 3.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时， 我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解， 运用到了“数形结合”的数学思想.下面让我们一起来探索其 中的规律。 A类B类C类 图1 图2 【实践操作】如图，有足够多的边长为α的小正方形纸片(A 类)、长为a宽为b的长方形纸片(B类)以及边长为b的大正 方形纸片(C类).我们知道对于一个图形，通过不同的方法计 算图形的面积可以得到一个数学等式 (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据 图形，a2+2b2+3ab可以因式分解得 数学八年级下册北师第2页共3页 (2)根据图2，若a2+b2+c2=45,ab+bc+ac=38,求a+b+c 的值； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行 变换来得到一些代数恒等式. (3)如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的 正方体，再把剩余立体图形切割（如图4），得到三个长方体①、 ②、③（如图5）.易得长方体①的体积为ab(a-b).则长方体 ②的体积为 ,长方体③的体积为 (结果不需要化简).则因式分解a3-b3= 封 ML D0 线 图3 图4 图5 【拓展延伸】(4)因式分解：a3+b3; (5)应用：已知x+2y=3,xy=2,求出x4y+8xy的值. 数学八年级下册北师第3页共3页而派言爬 根据题意，得 .7m+1.1（20-m)≥22.8，解得4≤m≤5. 1.7m+1.1(20-m)≤25. ·1.7>1.1,即甲种农机具的单价高于乙种农机具的单价 .购进甲种农机具越少，该基地投入总资金越少.又.m为 整数，∴.当m=2时，该基地投入总资金最少，最少资金为 1.7×2+1.1×(20-2)=23.2(万元). 答：该基地投入总资金的最小值为23.2万元. 5.解：(1)设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型 新能源公交车每辆需y万元 据题意.得十，0解得{5如 y=80. 答：购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买B型新能 源公交车每辆需80万元 (2)设购买m辆A型新能源公交车，则购买(10-m)辆B 型新能源公交车. 15 根据题意，得60m+80(10-m)≤650.解得m≥ 2 设该条线路上的A型和B型新能源公交车的年均载客总 量为w万人次，则w=70m+100(10-m),即o=-30m+ 1000. .·-30<0,..w随m的增大而减小 又：m≥15 ,且m为正整数， ∴当m=8时，w取得最大值，最大值为-30×8+1000= 760.此时10-m=10-8=2. 答：当购买8辆A型新能源公交车、2辆B型新能源公交车 时，年均载客总量最大，最大为760万人次。 6.解：(1)设第一次购进甲种布料x件，乙种布料y件 60rt40y=3700.解得=25， 根据题意，得厂x+y=80, y=55 答：第一次购进甲种布料25件，乙种布料55件 (2)·第二次购进甲种布料m件，则乙种布料为(100-m)件 根据题意，得m≤1.5(100-m).解得m≤60. ∴.m的取值范围为0≤m≤60（且m为整数） w=(100-60)m+(70-40)(100-m)=10m+3000. .10>0,∴.0随m的增大而增大. 高0器00+300360， 答：第二次购进甲种布料60件、乙种布料40件时，利润最 大，最大利润为3600元. 突破练3分式与分式方程的应用 1.解：(1)设大巴车的速度为xkm/h,则中巴车速度为 1.25xkm/h. 根据题意，得240 24036 1.25x60 解得x=80. 经检验，x=80是原方程的根，且符合题意 答：大巴车的速度是80km/h (2)设参加本次活动的学生人数是y人，则成人人数为 200-y)人 根据题意，得10y+30(200-y)=2200,解得y=190, 答：参加本次活动的学生人数是190人 2.解：(1)设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙 操控B型号收割机每小时收割(1-40%)x亩水稻. 根据题意，得 6 =0.4.解得x=10 (1-40%)x 经检验，x=10是原方程的根，且符合题意 ·.(1-40%)x=(1-40%)×10=6. 答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B 型号收割机每小时收割6亩水稻. (2)设安排甲收割y小时. 根据题意，得3%×10y+2%×(100-10y)≤2.4%×100 解得y≤4 答：最多安排甲收割4小时 3.解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单 价为(x+0.3)万元. 根据图意，得50g解得=Q9 20 经检验，x=0.9是原方程的根，且符合题意 .x+0.3=1.2 答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为 北师版·八年级·数学·下册 1.2万元. (2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25-m)个. r0.9m+1.2(25-m)≤26， 根据题意，得25-m≥2m. 解得0 .50 3≤m 3 .m为整数，.m=14,15,16. ·.该停车场有3种购买方案. 方案一：购买14个A型充电桩，11个B型充电桩 方案二：购买15个A型充电桩，10个B型充电桩 方案三：购买16个A型充电桩，9个B型充电桩 ··A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，∴.方案三所需购 买总费用最少，最少总费用为16×0.9+9×1.2=25.2（万元）. 4.解：(1)设加工竖式纸箱x个，横式纸箱y个. 限据题定得之解得： 1y=40. 答：加工竖式纸箱20个，横式纸箱40个 (2)设原计划每天加工纸箱a个 根据题意，得200_200+40=2. 1.5a 解得a=20. 经检验，α=20是原方程的根，且符合题意 答：原计划每天加工纸箱20个 5.解：(1)设A型机器人模型的单价是x元，则B型机器人模 型的单价是(x-200)元. 根据题意，得2000=x-200解得x=500. 经检验，x=500是原方程的根，且符合题意 ∴.x-200=300. 答：A型机器人模型的单价是500元，B型机器人模型的单 价是300元. (2)设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型 (40-m)台，购买A型和B型机器人模型共花费w元. 根据题意，得40-m≤3m.解得m≥10. 0=500×0.8m+300×0.8(40-m)=160m+9600. :160>0,∴.w随m的增大而增大 ∴.当m=10时，w取得最小值，最小值为160×10+9600= 11200.此时40-m=30. 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时 花费最少，最少花费是11200元. 6.解：(1)根据题意，得1800=1200 x+300 解得x=600. 经检验，x=600是原方程的根，且符合题意 .∴.x的值为600. (2)设甲工程队单独施工m天，则乙工程队单独施工(22- m)天. 根据题意，得(600+300)m+600(22-m)≥15000.解得 m≥6. 设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w= 3600m+2200(22-m)=1400m+48400. .1400>0,∴.w随m的增大而增大. .当m=6时，w取得最小值，最小值为1400×6+48400= 56800. 答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用. 突破练4几何作图 1.解：(1)如图所示，点B即为所求.（作图方法不唯一） 或 B (2)如图所示，点P即为所求.（作图方法不唯一） 2.解：(1)45° (2)如图，△ABC即为所求 6 河洛芸照·期末考试必刷卷 (0,2) 54321B0月2 .2 3 4 (3)909 3.解：(1)如图，△ABC,即为所求. (3,-4) 6 5 4 Pa:63 2 64323436立 2 +3 +5 上6计 (2)如图，△A,B,C,即为所求. (3)(0,3)或(-6,5)或(-4，-1) 4.解：(1)如图，△CDN和△BOE即为所求. (2)观察图象可知，点E在直线y=-4上运动， 根据垂线段最短可知，点E到点C的最短距离为8. y=-4 5.解：(1)如图，点0即为所求. (2)如图，点P即为所求 (3)如图，连接PA,PA1·在Rt△POA中，∠POA=90°，OA= 3,OP=1,.PA=/0A2+OP2=/10,.PA,=PA=10 A41=6,.△PAA的周长为210+6. 6.证明：由作图可知BD=CE,BC=DE.∴.四边形BCED为平 行四边形..∠E=∠CBD. :线段BD,AF是△ABC的高，AB=AC,∴.∠AFC=∠BDC= 90°，LCMF=3∠BAC.∠CBD=∠C4F=90°-∠ACB, .∠CBD= LBMC.∠E= 1 2∠BAC 7.解：(1).·△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°. ∠ACB为△DCE的外角，∴.∠ACB=∠E+∠CDE. 又CE=CD∠E=∠CDE=7LACB=7×60°=300 和程言侧 (2)如图，DM即为所求. B (3)证明：：△ABC是等边三角形，D是AC的中点， ·∠DBC=∠ABD=30°.由(1)可得，∠E=30°.∴.∠DBC= ∠E.∴BD=ED.又：DM⊥BE,.BM=EM. 8.解：(1)如图，直线DE,线段CD即为所求. (2)如图.射线BF即为所求 (3).·DE垂直平分BC,..BD=CD.∴.∠DBC=∠DCB .AC=BD,.AC=CD..∠A=∠CDA设∠DBC=∠DCB=x, 则∠A=∠CDA=∠DBC+∠DCB=2x..∠A+∠DBC+ ∠ACB=3x+54°=180°.∴.x=42°.∴.∠DBC=∠DCB= 42°.BF平分∠ABC,∴.∠FBC=2∠DBC=21°. ∴.∠DFB=∠FBC+∠DCB=21°+42°=63°. 9.解：(1)如图，直线DE,线段DF即为所求. A BX E (2)当△ABC是等腰直角三角形时，四边形DECF是平行四 边形. 解析》：四边形DECF是平行四边形，.DF∥BC,DE∥ AC..∴.∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB..:AD=AF, ∠ADF=∠AFD..∠ABC=∠ACB.AB=AC.由(I)得 DE⊥AB,∠BDE=90°.DE∥AC,.∠A=∠BDE=90°. .△ABC是等腰直角三角形. 10.解：(1)如图，线段DE,AF即为所求 B F (2)证明：连接DF,EF.D是AB的中点，F是BC的中点， ∴.DF是△ABC的中位线..DF∥AC .·E是AC的中点，F是BC的中点 .EF是△ABC的中位线..EF∥AB. .四边形ADFE是平行四边形..DE和AF互相平分. (3)三角形的中位线和第三边上的中线互相平分 提升练1数形结合 1.解：(1)m2+n2-2S (2)①S左=m2-S,S右=n2-S,.S差=S左-S右=m2-S -(n2-S)=m2-S-n2+S=(m+n)(m-n). ②：S若=(m+n)(m-n)=56,m+n=14,m-n=4.解 方程组±A4解得三} m-n=4, 2.解：(1)①500500 ②500 a-1(a-1)丰收2号 500 500.a2-1=(a+1)(a-12= (a-1)÷a2-1(a-1)·500 (a-1)2 a+1 a-1' (2)由题图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的周 K分别为a,4。-1)n由题直得=2x巴 而范爬 解得a=12.经检验，a=12是原方程的根，且符合题意 故a的值为12. 3.解：(1)(a+b)(a+2b) (2)由图2，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2,即 (a+b+c)2=a2+b+c2+2(ab+bc+ac).a2+b2+c2=45, ab+bc+ac=38,.(a+b+c)2=45+2×38=121.a>0, b>0,c>0,.a+b+c>0..a+b+c=11. (3)b2(a-b)a2(a-b)(a-b)(a2+ab+b2) (4)由(3)可知，a3+b3=a3-(-b)3=[a-(-b)][a2+a (-b)+(-b)2]=(a+b)(a2-ab+b). (5)xy+8xy4=y(x3+8y2)=y[x2+(2y)3]=xy(x+ 2y)(x2-2xy+4y2)=xy(x+2y)[(x+2y)2-6xy],x+2y =3,y=2,.xy+8xy4=2×3×(32-6×2)=-18. 提升练2分类讨论 1.解：(1).AB=AC,∴.∠C=∠B=30°.∴.∠BAC=180-30°- 30°=120°.AD⊥BC,.=∠BAM= 2∠BAC=609 (2)证明：由旋转的性质，得AC=AE,∠BAC=∠DAE,∠C= ∠E. '.∠BAC-∠MAN=∠DAE-∠MAN,即∠BAM=∠EAN AB=AC,∴.∠B=∠C..∠B=∠E.AB=AE. 在△ABM和△AEN中，：∠B=∠E,AB=AE,∠BAM=∠EAN, ∴.△ABM≌△AEN(ASA)..AM=AN. (3)旋转角α的度数为30°或75°. 解析》由旋转的性质可知，∠D=∠B=30°.分三种情况： ①如图1，当MD=MO时，则∠MOD=∠D=30°.∠B= ∠D,∠AMB=∠OMD,∴.a=∠BAD=∠MOD=30°. E B M D D 图1 图2 图3 ②如图2，当MD=D0时，则∠DM0=∠DOM= 2(180 ∠D)=75°.·.a=∠DOM=75 ③如图3.当OD=OM时.则∠OMD=∠D=30°...∠DOM= 180°-∠0MD-∠D=120°.∴.a=∠DOM=120°..0°<a< 100°，.这种情形不存在. 综上所述，旋转角α的度数为30°或75°， 2.解：(1)AE=AC (2)①AB=2BD+BE 证明：如图，过点D作FD⊥BC,交AB于点F ∴.∠BDF=90°. .·AB=AC,∠BAC=90° .∴.∠ABC=45 ..△BDF是等腰直角三角形 BD=FD,∴.BF=√BD+FD= B 2BD. .∠ADE=∠BDF=90°，∴.∠BDE=∠FDA. 由旋转的性质，得DE=DA.∴.△BDE≌△FDA(SAS) .'BE=FA..AB BF FA..'.AB =2 BD BE ②△ABE的面积为18或182-18.解析》分三种情况： (i)当AD=AC时，此时点D与点B重合，如图①， AB=6DE=AB=6,∠ADE=90PS6s=2×6X6=18 (i)当AC=CD时，如图② .AB=AC CD=6,..BC=AB2 +AC2 =62. ∴.BD=BC-CD=62-6. 由①可知，AB=2BD+BE,∠ABC=∠BFD=45°，·.BE= AB-2BD=6-2×(62-6)=62-6,∠DFA=180°- ∠BFD=135 由①可得，△BDE≌△FDA..∠DBE=∠DFA=135°. ∴.∠ABE=∠DBE-∠ABC=135-45°=90. 5am=28E:AB=7×(6万-6)×6=18万-18 北师版·八年级·数学·下册 (i)当AD=CD时，如图③，点B与点E重合，此时△ABE 不存在，不符合题意 综上所述，△ABE的面积为18或18√2-18. B(D) C B(E) 图① 图② 图③ 3.解：(1)AE=CF.证明如下：如图①，连接AO. F B 0 C 图① :AB=AC,0为BC的中点，∠BAC=90° .∴.A0⊥BC,∠EA0=∠CA0=∠C=45°，∴.A0=OC :∠EOF=∠EOA+∠AOF=90°，∠FOC+∠AOF=90° .·.∠EOA=∠FOC..△EOA≌△FOC(ASA)..AE=CF (2)△OEF能成为等腰三角形，BE的长为1或2或2. 解析》分三种情况：①当OE=EF时，如图②，E为AB的中 点，点F与点A重合，BE=AE=)AB=1. ②当OE=OF时，如图③，由对称性，得LB0E=∠COF .·∠B=∠E0F=45° ∠BE0=180°-∠B-∠B0E=135°-∠B0E ∠BOE=180°-∠EOF-∠C0F=135°-∠C0F .∠BEO=∠COF=∠BOE,∴.BE=BO. AB=AC=2,∠BAC=90°，BC=√AB2+AC=22 0为BC的中点BE=B0=之BC=万 ③当EF=OF时，如图④，F为AC的中点，点E与点A重 合，BE=AB=2. 综上所述，△OEF为等腰三角形时，BE的长为1或2或2 A(F E(A E 0 B 0 0 图② 图③ 图④ 4.解：(1).四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,∠B= ∠D,∴.∠DPC=∠PCB.CP平分∠BCD,.∠PCD= ∠PCB,.∠DPC=∠PCD,.DP=CD.CD=CP,∴.CP= CD=DP,∴.△PDC是等边三角形，∴.∠D=60°，∴.∠B= 60°. (2):四边形ABCD是平行四边形，.CD=AB=4cm. :△PDC是等边三角形，∴.△PCD三边上的高相等，等于 25cm,Sam=7×25×4=45(cm2). (3).·四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC.·.PD∥BQ. 若以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形，则PD= BO.设运动时间为ts, ①当0<t≤3时，PD=6-0.5t,BQ=6-2t,.6-0.5t=6- 2t.解得t=0(不合题意，舍去)； ②当3<t≤6时，PD=6-0.5t,BQ=2t-6,.6-0.5t=2t- 6.解得t=4.8; ③当6<t≤9时，PD=6-0.5t,BQ=18-2t,∴.6-0.5t=18 2t.解得t=8; ④当9<t≤12时，PD=6-0.5t,BQ=2t-18,.6-0.5t= 2t-18.解得t=9.6. 综上所述，当运动时间为4.8s或8s或9.6s时，以P,D Q,B为顶点的四边形是平行四边形 5.解：(1)③④ (2)证明：.·四边形ABCD是平行四边形， ●● 8