提升练2 分类讨论&提升练3 转化思想-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

而范爬 解得a=12.经检验，a=12是原方程的根，且符合题意 故a的值为12. 3.解：(1)(a+b)(a+2b) (2)由图2，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2,即 (a+b+c)2=a2+b+c2+2(ab+bc+ac).a2+b2+c2=45, ab+bc+ac=38,.(a+b+c)2=45+2×38=121.a>0, b>0,c>0,.a+b+c>0..a+b+c=11. (3)b2(a-b)a2(a-b)(a-b)(a2+ab+b2) (4)由(3)可知，a3+b3=a3-(-b)3=[a-(-b)][a2+a (-b)+(-b)2]=(a+b)(a2-ab+b). (5)xy+8xy4=y(x3+8y2)=y[x2+(2y)3]=xy(x+ 2y)(x2-2xy+4y2)=xy(x+2y)[(x+2y)2-6xy],x+2y =3,y=2,.xy+8xy4=2×3×(32-6×2)=-18. 提升练2分类讨论 1.解：(1).AB=AC,∴.∠C=∠B=30°.∴.∠BAC=180-30°- 30°=120°.AD⊥BC,.=∠BAM= 2∠BAC=609 (2)证明：由旋转的性质，得AC=AE,∠BAC=∠DAE,∠C= ∠E. '.∠BAC-∠MAN=∠DAE-∠MAN,即∠BAM=∠EAN AB=AC,∴.∠B=∠C..∠B=∠E.AB=AE. 在△ABM和△AEN中，：∠B=∠E,AB=AE,∠BAM=∠EAN, ∴.△ABM≌△AEN(ASA)..AM=AN. (3)旋转角α的度数为30°或75°. 解析》由旋转的性质可知，∠D=∠B=30°.分三种情况： ①如图1，当MD=MO时，则∠MOD=∠D=30°.∠B= ∠D,∠AMB=∠OMD,∴.a=∠BAD=∠MOD=30°. E B M D D 图1 图2 图3 ②如图2，当MD=D0时，则∠DM0=∠DOM= 2(180 ∠D)=75°.·.a=∠DOM=75 ③如图3.当OD=OM时.则∠OMD=∠D=30°...∠DOM= 180°-∠0MD-∠D=120°.∴.a=∠DOM=120°..0°<a< 100°，.这种情形不存在. 综上所述，旋转角α的度数为30°或75°， 2.解：(1)AE=AC (2)①AB=2BD+BE 证明：如图，过点D作FD⊥BC,交AB于点F ∴.∠BDF=90°. .·AB=AC,∠BAC=90° .∴.∠ABC=45 ..△BDF是等腰直角三角形 BD=FD,∴.BF=√BD+FD= B 2BD. .∠ADE=∠BDF=90°，∴.∠BDE=∠FDA. 由旋转的性质，得DE=DA.∴.△BDE≌△FDA(SAS) .'BE=FA..AB BF FA..'.AB =2 BD BE ②△ABE的面积为18或182-18.解析》分三种情况： (i)当AD=AC时，此时点D与点B重合，如图①， AB=6DE=AB=6,∠ADE=90PS6s=2×6X6=18 (i)当AC=CD时，如图② .AB=AC CD=6,..BC=AB2 +AC2 =62. ∴.BD=BC-CD=62-6. 由①可知，AB=2BD+BE,∠ABC=∠BFD=45°，·.BE= AB-2BD=6-2×(62-6)=62-6,∠DFA=180°- ∠BFD=135 由①可得，△BDE≌△FDA..∠DBE=∠DFA=135°. ∴.∠ABE=∠DBE-∠ABC=135-45°=90. 5am=28E:AB=7×(6万-6)×6=18万-18 北师版·八年级·数学·下册 (i)当AD=CD时，如图③，点B与点E重合，此时△ABE 不存在，不符合题意 综上所述，△ABE的面积为18或18√2-18. B(D) C B(E) 图① 图② 图③ 3.解：(1)AE=CF.证明如下：如图①，连接AO. F B 0 C 图① :AB=AC,0为BC的中点，∠BAC=90° .∴.A0⊥BC,∠EA0=∠CA0=∠C=45°，∴.A0=OC :∠EOF=∠EOA+∠AOF=90°，∠FOC+∠AOF=90° .·.∠EOA=∠FOC..△EOA≌△FOC(ASA)..AE=CF (2)△OEF能成为等腰三角形，BE的长为1或2或2. 解析》分三种情况：①当OE=EF时，如图②，E为AB的中 点，点F与点A重合，BE=AE=)AB=1. ②当OE=OF时，如图③，由对称性，得LB0E=∠COF .·∠B=∠E0F=45° ∠BE0=180°-∠B-∠B0E=135°-∠B0E ∠BOE=180°-∠EOF-∠C0F=135°-∠C0F .∠BEO=∠COF=∠BOE,∴.BE=BO. AB=AC=2,∠BAC=90°，BC=√AB2+AC=22 0为BC的中点BE=B0=之BC=万 ③当EF=OF时，如图④，F为AC的中点，点E与点A重 合，BE=AB=2. 综上所述，△OEF为等腰三角形时，BE的长为1或2或2 A(F E(A E 0 B 0 0 图② 图③ 图④ 4.解：(1).四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,∠B= ∠D,∴.∠DPC=∠PCB.CP平分∠BCD,.∠PCD= ∠PCB,.∠DPC=∠PCD,.DP=CD.CD=CP,∴.CP= CD=DP,∴.△PDC是等边三角形，∴.∠D=60°，∴.∠B= 60°. (2):四边形ABCD是平行四边形，.CD=AB=4cm. :△PDC是等边三角形，∴.△PCD三边上的高相等，等于 25cm,Sam=7×25×4=45(cm2). (3).·四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC.·.PD∥BQ. 若以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形，则PD= BO.设运动时间为ts, ①当0<t≤3时，PD=6-0.5t,BQ=6-2t,.6-0.5t=6- 2t.解得t=0(不合题意，舍去)； ②当3<t≤6时，PD=6-0.5t,BQ=2t-6,.6-0.5t=2t- 6.解得t=4.8; ③当6<t≤9时，PD=6-0.5t,BQ=18-2t,∴.6-0.5t=18 2t.解得t=8; ④当9<t≤12时，PD=6-0.5t,BQ=2t-18,.6-0.5t= 2t-18.解得t=9.6. 综上所述，当运动时间为4.8s或8s或9.6s时，以P,D Q,B为顶点的四边形是平行四边形 5.解：(1)③④ (2)证明：.·四边形ABCD是平行四边形， ●● 8 河洛芸熙·期未考试必刷卷 .OA=OC,AD//BC,SAABC=SADCD ∴.∠OAE=∠OCF.又.∠AOE=∠COF .△OAE≌△OCF(ASA).∴.S△E=S△oCF: ∴.S四边形BFE=S四边形ABF0+S△OAE=S四边形ABFn+S△OCF=S△Bc= 即过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形的面积等分 (3)2或3或4 解析·平行四边形的对角线分得的四个小三角形面积相等， S -12.vMm3 :E是边AD的三等分点，G是边AB的三等分点， Sac=3S△0s=1或S△= 3 SAAOR =2, 1 2 Samr=3S△B0c=1或SamF=S△B0c=2. 3可分 ②当S△BOc=1,S△0F=2时，S四边形BmF=3, ③肖S△B0G=2,S△mF=1时，S四边形BG0F=3. (④当S B0c=2,SAoF=2时，S 四边形BCOF 4 综上所述，四边形BGOF的面积是2或3或4. 6.解：(1)60 (2)(1)中的结论仍然成立. 理由如下：在□ABCD中，.AB∥CD,·.∠BAC=∠ACD= ∠ACB=60°...∠ABC=60°..△ABC是等边三角形..AC= BC.由旋转的性质，得CQ=CP,∠PCQ=60°，∴.∠ACQ= ∠BCP. 在△ACQ和△BCP中，.·AC=BC,∠ACQ=∠BCP,CQ= CP..△ACO≌△BCP(SAS)...∠CAO=∠CBP .·∠CBP+∠AMB=∠CAQ+∠ACB,.∠AMB=∠ACB= 60°，即(1)中的结论仍然成立. (3)当△POM为直角三角形时，C0的长为12或6. 解析》由(2)可知，△ABC是等边三角形，∴.AC=BC=AB= 6.分三种情况：①如图①，当点P在CA的延长线上且 ∠MPQ=90时.CQ=CP,∠PCQ=60°，∴.△CPQ是等边 三角形...∠CPQ=60°=∠ACB...∠CPB=90°-60°= 30°. ∴.∠PBC=180°-∠CPB-∠PCB=180°-30°-60°=90° ∴.在Rt△PBC中，CP=2BC=2AB=12..CO=CP=12. M B B 图① 图② 图③ ②如图②，当点P在AC的延长线上且∠MQP=90°时. ∠QCP=60°，CP=CQ,.△CPQ是等边三角形. .∴.∠C0P=∠CPQ=60°..∴.∠PAQ=90°-60°=30°. .·∠AQC=∠MQP-∠CQP=90°-60°=30°，.∴.∠PAQ= ∠AOC,.∴.CQ=AC=AB=6 ③如图③，当点P在线段AC上时，由(1)知∠AMB=60° ∠PMQ=180°-60°=120°..△PQM是钝角三角形，不 符合题意 综上所述，当△PQM为直角三角形时，CQ的长为12或6. 提升练3转化思想 1.解：(1)四边形对应的各个外角的大小不会发生变化.将四 边形不断缩小下去，这些外角的顶点会重合为一点，所画的 图形如图所示. (2)由题意，可知小明第一次回到O点时所走过的路线构 成一个正多边形，由于多边形的每一个外角是30°，所以这 个正多边形的边数为360°÷30°=12（条），因此所走的路 程为10×12=120(m). 因此小明第一次回到O点时所走过的路程是120m 9 ● 而据言侧 (3)18解析》由题意，可得这个正多边形的边数为320÷ 16=20(条)，即这个正多边形是正二十边形，正二十边形 的外角为8 =18°，即x=18 1 2.解：(1)①S边形cn=2Sca ②S四边形ABcD=2 SoEFa (2)①能.如图，连接对角线AC,BD交于点O,过点D,B分 别作AC的平行线HG,EF,过点A,C分别作BD的平行线 EH,GF.四边形EFGH即为所求. H .D ②12√5解析》如图，过点H作HM上EF于点M. :∠A0B=60°，.∠AEM=60°..∠EHM=30°. .AC=8 m,BD =6 m,.'.EH=6 m,EM =3 m,EF=8 m. .HM=√EH-EM=33(m). 1 .SaEF=EF·HM=245(m2)..S四边形BD=2SoFm= 123(m2). 3.解：(1)如图①，在直线a上任取一点C,过点C作CD⊥b 于点D,画AA'∥CD,且AM'=CD,连接A'B交直线b于点 N,作NM⊥a于点M,点M,N即为所求. B B 图① 图② 如图②，在直线a上任取一点C,过点C作CD⊥b于点D, 作AA'∥CD,且AA'=CD,在直线c上任取一点E,过点E作 EF⊥d于点F,作BB'∥EF,且BB=EF,连接A'B'交直线b 于点N,交直线c于点P,作NM⊥a于点M,作PQ⊥d于点 Q,点M、NP、Q即为所求. (2)证明：由对称的性质，知DQ'=DQ,MQ'=MQ,.PM+ MQ=PM+MQ'=PQ'.:两点之间，线段最短，.此时MP +MQ的值最小.：△ABC是等边三角形，D为BC中点， .AB=AC=BC=2CD,∠C=60°，AD⊥BC..·CQ=2,DQ= 1,BD=CD=CQ+DQ=3.∴.AB=AC=BC=6.点Q关 于直线AD的对称点为Q',.DQ=DQ'=1.∴.BQ'=CQ= AP=BD-DO'=2...CP=CO'=AC-AP BC-BO'=4. ∠C=60°，.△CPQ是等边三角形..PQ'=CP=4,.MP +MQ的最小值为4. (3)(0,2)解析》如图③，作点P关于0D 的对称点N..·OD平分∠AOB,.点N在 B OA上.连接MN,由两点之间线段最短及垂 线段最短得当C,M,N三点共线，且CW⊥OA 时，PM+MC最小..∴.MP⊥OB...∠OPM= D M八D ∠ONM=90°，PM=MN.由题，可得OA⊥ OB..·OD平分∠AOB,.∠POM=∠MON= 45°.∴.△MPO和△MNO都是等腰直角三角 O N A 形..OP=PM=MN=ON..·CN⊥OA.OB⊥ 图③ OA,∴.OB∥CN..∠ACN=∠AB0=30. :点A坐标为(4,0)，.A0=4..AB=20A=8.C是AB 的中点AC=7AB=4AW=分4C=20P=0N= OA-AN=2..P(0,2). 拓展练1综合与实践 1.解：(1)③43BS·八年级·数学 政专题 数学思想提升练 提升练2 分类讨论 率 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.如图1，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°.将△ABC从图1的位 9 女但 字的 置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE(点D,E分别是点B,C 的对应点)，旋转角为a(0°<a<100°)，设线段AD与BC相交 的製 于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N. 敏 (1)如图1，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角a的度数： (2)如图2，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组 的同学发现线段AM始终等于线段AW,请你证明这一结论； (3)直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角a的度数. E D 图1 图2 内 2.已知△ABC是等腰三角形，其中AB=AC,∠BAC=a,D为BC 边上的任意一点，连接AD,将线段AD绕点D逆时针旋转a, 不 使点A落在点E处，连接AE,BE. (1)当a=120°时，如图1，此时AD恰好平分∠EAC,则AE和 AC的数量关系是 茶 (2)当=90时， ①请判断线段AB,BD,BE的数量关系，并根据图2进行证明： 得 (提示：过点D作FD⊥BC,交AB于点F) ②若AB=6,在点D的移动过程中，当△ADC是等腰三角形 时，直接写出此时△ABE的面积. B 图1 图2 备用图 题 1 3.在Rt△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=90°.取一块含45°角的直 角三角尺，将直角顶点放在斜边BC的中点O处，一条直角边 数学八年级下册北师第1页共3页 过点A(如图1).三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使两直角 边与Rt△ABC的两边AB,AC分别相交于点E,F(如图2). (1)探究：在图2中，线段AE与CF之间有怎样的数量关系？ 试证明你的结论； (2)若将直角三角尺45°角的顶点放在斜边BC的中点0处 (如图3)，三角尺绕点0按顺时针方向旋转，使45°角的两边 与Rt△ABC的两边AB,AC分别相交于点E,F,连接EF(如图 4).在三角尺绕点O旋转的过程中，△OEF是否能成为等腰三 角形？若能，直接写出△OEF为等腰三角形时BE的长，若不 能，请说明理由 AF) 图 图2 图3 4.在口ABCD中，动点P在AD边上以0.5cm/s的速度从点A向 点D运动. (1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD,且CD=CP,求 ∠B的度数； (2)在(1)的条件下，若AB=4cm,求△PCD的面积. (3)如图2，另一动点Q在BC边上，以2cm/s的速度从点C 出发，在BC上往返运动，P,Q两点同时出发，当点P到达点D 时停止运动（同时Q点也停止运动）.若AD=6cm,求当运动 时间为多少时，以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形 4 D D A→P B 0<C 图1 图2 5.在口ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，过点O的直线与边 AD,BC分别相交于点E,F.某数学学习小组组员对直线EF有 以下发现： 甲同学：如图1，当直线EF⊥AD时，△AOE≌△COF,所以四边 数学八年级下册北师第2页共3页 形ABFE的面积=SAAOE+SAAOB+S△BOF=S△C0F+S△AOB+S△BOF= SSCIO 乙同学：如图2，当E为边AD的中点时，F也为边BC的中点， △AOE≌△COF,所以四边形ABFE的面积=S△AOE+S AAOB+ 1 SANOrSACOFOB+SANOF-SAAN 图1 图2 图3 图4 猜想：过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形的面积 等分 (1)甲同学证明△AOE≌△COF的判定方法可以是 ；(填 序号) ①SSS ②SAS③ASA ④AAS ⑤HL (2)请就图3证明上述猜想是否正确； (3)如图4，口ABCD的面积为12，直线EF和GH均过对角线 AC,BD的交点O,E是边AD的三等分点，G是边AB的三等分 点，则四边形BGOF的面积是 6.已知四边形ABCD是平行四边形，∠ACB=∠ACD=60°，AB= 6,点P是对角线AC所在直线上的一个动点，将线段CP绕点 C顺时针旋转60°得到CQ,点P的对应点为点Q,连接BP和 AQ,直线BP和直线AQ相交于点M. (1)如图1，当点P是对角线AC的中点时，直线BP和直线AQ 所夹的锐角为 (2)如图2，当点P在AC的延长线上时，（1)中的结论是否仍 然成立？请写出你的判断并说明理由； (3)点P在直线AC上运动的过程中，当△PQM为直角三角形 时，请直接写出CQ的长. 图1 图2 备用图 数学八年级下册北师第3页共3页 提升练2 间将岩四 BS·八年级·数学 政专题一数学思想提升练 提升练3转化思想 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.[教材P12第14题改编]课本再现：如图1、图2、图3，下列四 边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果 (1)在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生 了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的 形状，并画出来 类比迁移： (2)如图④，若小明从0点向西走10m,左转30°，再向前走10m, 左转30°，如此重复，求小明第一次回到0点时所走过的路程. (3)若小明从0点向西走16m,左转x°，再向前走16m,左转 x°，如此重复，已知小明第一次回到0点时所走过的路程为 320m,则x= D 图1 图2 图3 图4 2.几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，我们已经掌 握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不 易求得，那么能否转化为平行四边形来求呢？ (1)下面是两种转化方法： 方法1：如图1，连接四边形ABCD的对角线AC,BD,分别过四 边形ABCD的四个顶，点作对角线的平行线，所作四条线相交形 成四边形EFGH,易证四边形EFGH是平行四边形 提升练3二数学八年级下册北师第1页共3页 ①请直接写出S四边形cD和SOEFGHT之间的数量关系： 方法2：如图2，取四边形ABCD四边的中点E,F,G,H,连接 EF,FG,GH,HE. ②请直接写出S四边形BcD和SFGH之间的数量关系： (2)如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A,B,C,D 处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积 扩大一倍，又想保持大树不动，还要求扩建后的池塘成平行四 边形的形状， ①请问能否实现这一设想？若能，请画出你设计的图形；若不 能，请说明理由； ②已知在四边形池塘ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若 AC=8m,BD=6m,∠AOB=60°，则四边形池塘ABCD的面积 为 m2. D 图2 图3 3.【课题回顾】在学习《问题解决活动：最短距离》时，根据“两点 之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥 选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段最小值的数学 问题. 【问题探究】(1)如图1，A,B两地在一条河的两岸，现在要在 河上造一座桥MN,桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最 短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直) 将这个实际问题抽象出来，如图2，直线α∥b,点A,B分别位 于直线a,b的两侧，请你在直线a上找到点M,使得MN垂直 于直线b,垂足为N,且AM+MN+NB的长度最小.在图2中 画出点M,N,并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要 求证明)，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座 桥分别建在何处才能使得从A地到达B地的路程最短呢？在 数学八年级下册北师第2页共3页 图3中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何 找到的（不要求证明）. 1 b C d 公88 B B 图1 图2 图3 【拓展探究】(2)如图4，在等边三角形ABC中，D为BC中点， 点P,Q分别为AC,BC上的点，AP=CQ=2,DQ=1,M是线段 AD上的动点，连接MP,MQ,求MP+MQ的最小值 小明提出的探究思路如下：如图5，作点Q关于直线AD的对 称点Q',连接PQ'交AD于点M,连接MQ,根据“两点之间，线 段最短”，可知此时MP+MQ的值最小，请你运用小明的探究 线 思路，证明此时MP+MQ的值最小，并求出MP+MQ的最小值 【类比探究】(3)如图6，在平面直角坐标系中，点A坐标为(4， 0),点B为y轴正半轴上一点，连接AB,∠AB0=30°，C为AB 中点，OD平分∠AOB交边AB于点D,P为边OB上的一个动 点，若点M在线段OD上，连接MC,MP,当MC+MP的值最小 时，则点P的坐标为 M B C D O Ax 图4 图5 图6 数学八年级下册北师第3页共3页