单元巩固练4 因式分解-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册名师划重点+单元巩固练(北师大版·新教材 郑州专版)

河洛芸熙·期末考试必刷卷 和将艺侧 过教材 单元巩固练4 因式分解 满分：70分得分： 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.下列各式由左到右的变形中，是因式分解的是 A.x2+2x-1=x(x+2)-1 B.x2-2xy=x(x-2y） C.6xy2=3x·2y2 D.2x+1=x2+） 2.在多项式15a46-6a2bc中，各项的公因式是 A.3a26 B.6a'b5 C.15a2 D.3a2 bc 3.下列多项式，能用公式法分解因式的有 ①x2+y2;②-x2+y;③x2+4xy-4y2;④-x2+4xy-4y2;⑤-x2-y2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.若多项式x2+mx-28可因式分解为(x+4)(x-7),则m的值为 A.-3 B.3 C.-11 D.11 5.如图，邻边长为a,b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab+2a2b2的值为() A.70 B.140 C.256 D.490 6.若m为自然数，则(3m+2)2-5m2的值总能 A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 7.已知△ABC的三边长a,b,c满足条件a4-b4=a2c2-b2c2,则△ABC的形状是 () A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 8.在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便 原理如下：如对于多项式x4-y,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2).若取x=9,y= 9,则各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位 数的密码.对于多项式x-2,取x=30,y=20,用上述方法产生的密码不可能是 () A.301050 B.103020 C.305010 D.501030 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.可新考法开放性试题多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那 么加上的单项式可以是 16 北师版·八年级·数学·下册 而溶营四 10.⊙跨学科物理如图，把R1,R2,R三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I,电压为 U,则U=IR1+IR2+IR3.当R1=20,R2=32,R3=48,I=2.2时，U的值为 b.. 1元R。 a 图1 图2 第10题图 第11题图 11.[教材P113第3题改编]我们在学习乘法公式时，可以用几何图形来推理论证.受此启发， 在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长为a的正方形纸片剪去1个长为a、宽为b 的长方形和2个边长为b的正方形之后，再将图1的阴影部分沿虚线剪开，拼成了如图2 所示的长方形.观察图1和图2的阴影部分的面积，请从因式分解的角度，用一个含有α，b 的等式表示从图1到图2的变化过程： 12.⑨新考法代数推理如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整 数为“和谐数”，如8=32-12,16=52-32,24=72-52，即8,16,24均为“和谐数”.若将这一列 和谐数8,16,24…由小到大依次记为a1,a2,3,…,0n,则a1+a2+a3+…+a10= 三、解答题（共34分）】 13.(12分)因式分解： (1)6a2m-3am; (2)2a3-12a2b+18ab2; (3)x2(x+y)-y2(y+x); (4)9(m+n)2-(m-n)2. 14.(6分)利用因式分解进行简便计算： (1)25×1012-992×25; (2)242-24×50+252. °17 河洛芸熙·期末考试必刷卷 和将艺侧 15.可新考法阅读理解题(8分)阅读下面的材料，解答下面的问题， ①将3n-mn-6+2m因式分解 解：原式=(3n-mn)-(6-2m)=n(3-m)-2(3-m)=(3-m)(n-2) ②将m2-6mn+9n2-16因式分解. 獬：原式=(m2-6mn+9n2）-16=(m-3n)2-16=(m-3n+4)(m-3n-4). 小明发现：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，可以将多项式分为若干组，如 四项中每两项为一组，或者三项为一组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的. (1)请用分组分解法将下列代数式因式分解： ①-a3+2a2+4a-8;②a2-10ab+25b2-2a+10b+1. (2)如图是边长为a,b的两个正方形组成的图形(a>b),若两个正方形的面积之和为194， 阴影部分的面积为72.根据以上信息，先将a4-b4-12a2+4b2+32因式分解，再求值， 16.[教材P121素材改编](8分)定义：若一个大于1的正整数能表示为两个正整数的平方 差，则称这个正整数为“智慧数”，例如7=42-32,7就是一个智慧数 (1)小明通过求相邻的两个正整数的平方差发现：大于1的奇数都是智慧数，请利用因式 分解的方法证明； (2)小明通过求相隔2的两个正整数的平方差深入研究发现：大于4且能被4整除的数都 是智慧数，请利用因式分解的方法证明； (3)在一次科技展览活动中，展品编号从100到200（包含100和200），其中智慧数对应的 展品会有特殊的互动环节，求有特殊互动环节的展品数量， 18而艺爬 单元巩固练3图形的平移与旋转 一、选择题 题号123456 78 答案C CBD BBDB 7.D解析》每次旋转45°，旋转一周是360°，故8次一循环. 201÷8=25…1,点A0与点A都落在x轴上0A=1 0A2=2×1=2,0A=2×2=22,…,0A01=220..点A01 的坐标为(22”，0).故选D. 8.B解析如图，将BF沿着FE方向 B 平移100m到B,F,,则BB,=FF,= CD=100m,B,F,=BF=200m,EF1= A EF-FF,=400m-100m=300m,延 长AE到A,,使A,E=AE=100m,连 E 接AB,交EF于C,则C即为所求作 A 的点.延长BB,交A,A延长线于点 HA H=A E+EH =100 m+200 m=300 m,B H=EF 300m,∠H=90°，.△AHB,是等腰直角三角形，.∠HA,B,= 45°.∠A1EC=90°，.∠A1CE=45°..EC=A1E=100m ·.步道入口C的位置距离E处的长度为100m.故选B. 二、填空题 9.(-3,1)10.4 11.(4,23)解析》如图，过点A作AD上y4 A OB于点D,.·△OAB是等边三角形，点B 0 的坐标是(2,0)，AD⊥OB.∴.OB=OA= 2,0D=1..AD=√22-1=5.点A 的坐标是(1，√3).设直线OA的函数表达 OD B 式为y=x.把(1,5)代入，得k=5.. 直线OA的函数表达式为y=√3x.点A'的横坐标为3，且 点A'在直线OA上，.点A'的纵坐标为35..点A'的坐 标为(3,33)..点A向右平移2个单位长度向上平移2 5个单位长度可得到点A'.∴.点B的坐标为(4,25). 12.W5或√13解析》连接CD.∠ACB=90°，AC=BC=22 △4BC是等腰直角三角形：D为AB的中点，CD1AB, ∠ADQ=90°..点C,Q,D在一条直线上.分两种情况 讨论：①如图1，当点Q在线段CD上时，由旋转的性质，得 CQ=CP=1.AB=AC+BC=4..AD=BD=AB= 2..CD AC2 AD2 =2...DQ CD CQ=1...AQ= √AD2+DQ=5.②如图2，当点Q在线段DC的延长线 上时，同①，得CD=AD=2,CQ=CP=1..DQ=3..AQ= /D0+AD=J13.综上所述，AQ的长为5或/13. 4 图1 图2 三、解答题 13.解：(1)如图，△AB,C1即为所求点B(0,0),C1(-1,-2). (3分) (2)如图，△AB2C2即为所求 (6分) 456 北师版·八年级·数学·下册 (3)S边形28=7×5-2×2×1×2-2×2×6×3= 35-2-18=15. (10分) 14.解：(1)①45②90 (4分) (2)选图2. ①设∠CPD=a.PD=PC=PF=PE,.∴.∠PDC= 1802-=0-号∠PDC=∠B4C+LAPD,∠BMC= 2 45°，.L4PD=90°-受-45°=45°-受由轴对称的性 质，可知∠APF=∠APD=45°-&..∠CPF=∠APF+ ∠APD+LCPD=45°-号+45°-号+a=90°. 2 (8分) ②EF=AC-AD. (10分) 理由如下：：∠APE=∠APC,∠APF=∠APD,.∠EPF= ∠DPC.:PE=PC=PD=PF,∴.△EPF≌△CPD(SAS). .EF =CD =AC-AD. (12分) (或选图3. ①设∠APF=a.由轴对称的性质，可知∠APD=∠APF= a.∠BAC=∠APD+∠PDA,∠BAC=45°，.∠PDA= 45°-.PD=PC,.∠PDA=∠PCD=45°-.∠DPC= 180°-2×(45°-a）=90°+2a.∴.∠CPF=∠DPC- ∠APD-∠APF=90 (8分) ②EF=AC+AD. (10分) 理由如下：：∠APE=∠APC,∠APF=∠APD,∴.∠EPF= ∠DPC.·PE=PC=PD=PF,∴.△EPF≌△CPD(SAS) ∴.EF=CD=AC+AD. (12分)) (3)线段CD的长为6-25或6+25. (14分)】 解析》由(2)可得PD=PE,∠DPE=∠CPF=90°. ∴△PDE为等腰直角三角形.∴DE=√PD+PE=2PD .DE=2DF,.DF=PD=PF,即△PDF为等边三角形 ∴.∠PDF=60°.分两种情况讨论：①如图1，当点D在线 段AC上时，连接AE,AF,EC..·点E,C关于直线AB对 称，∴.AE=AC=6.∠EAP=∠CAP=45°..∠EAD=90° 即△EAC是等腰直角三角形.同理，△FAD也是等腰直角 三角形..∠ADF=45°，∠PDF=60°，∠PDE=45° .∠FDE=15°..∠ADE=60°.∠AED=30°.∴.DE= 2AD...AE=DE2 AD2 =3AD =6...AD =23...CD= AC-AD=6-23. ②如图2，当点D在线段CA的延长线上时，连接AE,AF EC.同①，可得AE=AC=6,∠ADF=45°，.∴.∠PDA=15. ∴.∠ADE=60°..∠AED=30°.∴.DE=2AD..AE= DE2-AD=√5AD=6.AD=23.∴.CD=AC+AD= 6+2√3.综上所述，线段CD的长为6-25或6+25. 图1 图2 单元巩固练4因式分解 一、选择题 题号12345678 答案BA BADBDB 二、填空题 9.4x(答案不唯一）10.220 11.a2-ab-2b2=(a+b)(a-2b)12.440 三、解答题 13.解：(1)原式=3am(2a-1). (3分) (2)原式=2a(a2-6ab+962)=2a(a-3b)2. (3分)》 (3)原式=(x+y)(x2-y2)=(x+y)2(x-y. (3分) (4)原式=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]= (3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+ 4n)=4(2m+n)(m+2n). (3分) ● 2 河洛芸熙·期未考试必刷卷 14.解：(1)原式=25×(1012-99)=25×(101+99)×(101- 99)=25×200×2=10000. (3分) (2)原式=242-2×24×25+252=(24-25)2=1.(3分) 15.解：(1)①原式=(-a3+2a2)+(4a-8)=-a2(a-2)+ 4(a-2)=(-a2+4)(a-2)=-(a2-4)(a-2)=-(a+ 2)(a-2)(a-2)=-(a+2)(a-2)2 (2分) ②原式=(a2-10ab+25b2)-(2a-106)+1=(a-5b)2- 2(a-5b)+1=(a-5b-1)2 (4分) (2)原式=(a-12a2+36)-(b-462+4)=(a2-6)2- (b2-2)2=(a2-6+b2-2)(a2-6-b2+2)=(a2+b2- 8)(a2-b2-4). (6分)》 由题意可知，a2+}=194,阴影部分的面积为(a-b)·a+ 2(a-)b=2(a+b)(a-6)=2(d-)=72,即 a2-62=144. ∴.原式=(194-8)×(144-4)=26040. (8分) 16.解：(1)证明：设相邻的两个正整数分别为n和n+1,则 (n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1,即2n+1=(n+ 1)2-n .大于1的奇数都是智慧数 (2分) (2)证明：设相隔2的两个正整数分别为n和n+2,则 (n+2)2-n2=n2+4n+4-n2=4n+4=4(n+1),即 4(n+1)=(n+2)2-n2 n是正整数，.4(n+1)>4 ∴.大于4且能被4整除的数都是智慧数， (5分) (3)奇数：从101到199，奇数有(199-101)÷2+1=50（个）. ·奇数都是智慧数，∴.有50个智慧数.大于4且能被4整 除的数：从100到200中，100=4×25,200=4×50，这样 的数有50-25+1=26（个）..·大于4且能被4整除的数 都是智慧数，∴.智慧数一共有50+26=76（个），即有特殊 互动环节的展品数量为76. (8分) 单元巩固练5分式与分式方程 一、选择题 题号12345678 答案BBBB CC DD 3得∫s2, 8.D解析)解不等式组x-1≥“， 5x-1<a x<+1“不等 5 式组/x-1≥红-1 3的解集为x≤-2，a1>-2a>-11 5x-1<a 5 程，42得y=y是负整数且 解分式方程y-! a 3 y≠-10兮是负整数且号≠-1.a=-8或-5. ·所有满足条件的整数a的值之和-8-5=-13.故选D. 二、填空题 4 9+答案不唯一）10.-1 11.-2或1解析》方程两边同乘x(x-1),得x(x-a)- 3(x-1)=x(x-1),整理得(a+2)x=3.分两种情况讨 论：①当a+2=0时，该整式方程无解，此时a=-2.②当 a+2≠0时，要使原分式方程无解，则x(x-1)=0.解得 x=0或x=1.把x=0代入整式方程，a的值不存在把x=1 代入整式方程，得a=1.综上所述，a的值为-2或1. 12.1 三、解答题 13.解：(1)方程两边都乘2x-2,得2x+2x-2=3. 解得x= 5 (2分) 4 检验：把x=代人2-2，得2×子-2= 4 20 ∴.原分式方程的解为x= 5 (4分) 4 (2)方程两边都乘x-3,得x-2-1=2(x-3). 解得x=3. (2分) 3 而派范侧 检验：把x=3代人x-3,得3-3=0. ∴.x=3是原分式方程的增根.∴.原分式方程无解.(4分) 14.解：任务一：①因式分解分式的基本性质 (2分) ②三去括号时，数字1前面的符号没有改变 (4分) ③-1 (5分) a+1 任务二：要使分式有意义，则a≠±3且a≠-1. .-1≤a≤3的整数解有-1,0,1,2,3，.a可取0,1,2. (7分) 当a=0时，原式=0- =-1. (8分) 0+1 (或当a=1时，原式==0 =0. (8分) 或当a=之时，原武行 (8分)) 15.解：(1)设每个乙产品进价为x元，则每个甲产品进价为 (x+40)元. 根据题意，得40=4800解得x=120. x+40- 经检验，x=120是原方程的根...x+40=120+40=160. 答：甲，乙两种产品的进价分别为160元，120元.(3分) (2)根据题意，得x≤2(150-x).解得x≤100. .y=(210-160)x+(150-120)(150-x)=20x+4500. .20x+4500≥5700.解得x≥60.∴.60≤x≤100. 合理的方案共有100-60+1=41（种）. 当x=100时，y有最大值.y最大=20×100+4500=6500. 答：合理的方案共有41种，其中购进甲产品100个，乙产 品50个，获利最大，最大利润为6500元： (6分) (3).m=6+n,∴.n=m-6. 根据题意，得y=(210-m-160)x+(150+n-120)(150- x)=(50-m)x+(30+n)(150-x)=(50-m)x+(24+ m)(150-x)=(26-2m)x+150(24+m). :销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响， .26-2m=0.解得m=13. (8分) 单元巩固练6平行四边形 一、选择题 题号12345678 答案DADCCDBC 7.B解析)如图.由题意可知，BC= AF=BG=2,∠AFD=∠BGD=90°. ∠ADF=∠BDG,.△ADF≌ △BDG(AAS)..AD=BD.同理可 得，AE=CE..DE是△ABC的中 位线.DE=BC=1.故选B. C 8.C解析.：四边形ABCD是平行四边 形..OD=OB.AD∥BC..∠EDO= ∠FBO..·∠EOD=∠FOB..∴.△EOD≌ △FOB(ASA).,SAEn=SFOB·如图， 过点A作AG⊥BC于点G.∠ABC=BGF 60∠B4G=30∴BG=7AB=2AG=√B-BC= √4-22=25..SBARCD=BC·AG=6×23=125..Sw= S△s0n+SacF=S△FmB+S△cF=S△Bx=4SaBn=3,B.故选 C 二、填空题 9.0B=0D(答案不唯一)10.3 11.2解析》由作图过程可知，BE平分∠ABC,.∠ABE= ∠CBE.:四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC,BC= AD=3,AB=CD..∠AEB=∠CBE..∠ABE=∠AEB. ∴.AB=AE.在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE= √BE2-BC2=√(25)2-32=√3.设AB=x,则CD=AE x,DE=3-x.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD2=CE2+ DE,即x2=(5)2+(3-x)2.解得x=2,即AB的长为2. 12.3或19 解析》.·CG=3cm,CD=AB=8cm,.DG=CD-