第1章 三角形的证明及其应用&第2章 不等式与不等式组-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册名师划重点+单元巩固练(北师大版·新教材 郑州专版)

北师版·八年级·数学·下册 而粥艺爬 过教材 名师划重点 紧扣课程标准根据最新教材编写 编者按：根据教材和期末考情系统梳理考点，快速掌握基础知识！ 第一章 三角形的证明及其应用 章节知识导图 内容：三角形三个内角的和等于180° 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形内角 和定理 内角和公式(n-2)·180° 多边形的内角和与外角和 外角和多边形的外角和是360° 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 全等三角形 判定： SSS、SAS、ASA、AAS HL(仅限于直角三角形全等的判定) 等边对等角 性质 “三线合一” B#D 等腰三角形 有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法） 判定 等角对等边 三条边相等 性质 三个内角相等，并且每个角都等于60° “三线合一” 等边三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形（定义法) 判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 三角形的证明 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 及其应用 直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90° 勾股定理，即a2+b2=c2 性质 30°角所对的直角边等于斜边的，一半， 即在Rt△ABC中，∠B=30°，则b=2c 直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形 A 判定 勾股定理的逆定理 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端，点的距离相等 判定 到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上 B 线段的垂直平分线 不D 作线段AB的垂直平分线 尺规作图 过直线外一点，作直线AB的垂线 性质角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在 角平分线 这个角的平分线上 尺规作图：作∠AOB的平分线 0 B 河洛芸熙·期末考试必刷卷 和粥艺侧 常考方法模型 角平分线与添加的辅助线构建相关模型 A E A A P-C C 图示 P 0 0 OC平分∠AOB,分别在 OC平分∠AOB, OC平分∠AOB, OC平分∠AOB, 条件 OA,OB上取点E,F, PE⊥OA,PF⊥OB EF⊥OC于点P PE∥OB 使OF=OE PE =PF, △OEP≌△OFP(ASA), 结论 △EOP为等腰三角形 △OEP≌△OFP(SAS) △OEP兰△OFP(HL) △OEF为等腰三角形 第二章 不等式与不等式组 章节知识导图 基本性质1如果a>b,那么a±c>b士c b 不等式及其 基本性质2知如果a>b,c>0,那么ac>bc(或8> 注意改变不 基本性质 等号的方向 基本性质3如果a>h,c<0,那么ac<bc(或&<& 不等式的基 元一次不等式本性质2或3 去分母 去括号 解一元一 不等式的基 次不等式 系数化为1 本性质2或3 合并同类项 移项 一元一次不等式 用数轴表 x>a x≥a x<a x≤d 示解集 a a Yy=kx+b y y=kx+b y=kzx+b2 不等式与不等式组 y=kx+b .Y= 图示 /c0元 m元 一元一次不等式 与一次函数 kx+b>0的解集 kx+b>a的解集 k1x+b1>k2x+b2的解集 结论 为x>c;kx+b<0 为x>m;kx+b<a 为x>n;k1x+b1<h2x+b2 的解集为x<c 的解集为x<m 的解集为x<n 解一元一次 ①分别求出各不等式的解集 不等式组 ②将各不等式的解集在数轴上表示出来 ③在数轴上找出公共部分并表示出来 类型 元一次不等式组 在数轴上 的表示 口诀 解集 (a>b) x≥a x>b b a 同大取大 x≥a 解集的确定 x≤u x<b b a 同小取小 x<b x≤ x>b 大小小大取中间 b a b<x≤d {28 b a 大大小小取不了 无解 2河洛芸熙·期未考试必刷卷 答案 精讲解百忧， 单元巩固练1三角形的证明及其应用 一、选择 题号12345678 答案BCBAACBD 7.B解析)设等边三角形ABC的边长为2a,即AB=BC=2a. 方案一：△ABC是等边三角形，D为BC的中点，.BD= CD=a,∠ADB=90°.∴.AD=√AB2-BD2=4a2-aZ= /3a..∴.BC+AD=2a+3a. 方案二：·O为等边三角形ABC三边的垂直平分线的交 点…0A=0B=0C,L0BD=7LABC=30..0D=20B, 在Rt△BD0中，BD=√OB-OD=5OB=↓ 2 20A+0B+0c=3x25。=25a=月a+ ·0B=23 3a.2a+a>a+a,BC +AD>0A +0B +OC. .方案二铺设光缆长较短.故选B. 8.D解析如图，在CD的下方作等边三角 形CDT,作射线TQ,则DC=DT=CT ∠CDT=∠CTD=60°.：△PDQ为等边三 角形，.DP=DQ,∠QDP=0..∠CDT= ∠ODP..∴.∠CDP=∠TDO. 在△CDP和△TDO中，DP=DO,∠CDP= ∠TDQ,DC=DT..∴.△CDP≌△TDQ (SAS)..∠DTQ=∠DCP=90.∴.∠CTQ=∠DTQ- ∠CTD=30°..点Q在射线TQ上运动.∴.当CQ1TQ时， CQ取得最小值.：BC=4,D是BC的中点…CT=CD=2 BC=2.在△C0r中，∠C70=3000=2T=1,即 CQ的最小值是1.故选D. 二、填空题 9.a≤b10.60°11.5 12.2解析》.四边形ABCD是正方形，.AD=AB,∠D= ∠B=90°.由折叠的性质，得AD=AF,DE=EF,∠D= ∠AFE=90°，∴.AB=AF,∠B=∠AFG=90°.在Rt△ABG 和Rt△AFG中，：AG=AG,AB=AF,.Rt△ABG Rt△AFG(HL)...BG=FG.设BG=FG=x,则GC=6-x. .E为CD的中，点，.CE=DE=EF=3.∴.EG=EF+GF= 3+x.在Rt△CEG中，CE2+GC2=EG,即32+(6-x)2= (3+x)2.解得x=2,即BG=2. 三、解答题 13.解：选择方法一：AB=AC (3分) 证明：·AD平分∠BAC,..∠BAD=∠CAD 又AB=AC,AD=AD,.△BAD≌△CAD(SAS).(7分) ∴.BD=CD,∠ADB=∠ADC..·∠ADB+∠ADC=180°， ∴.∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC (10分) (或选择方法二：D为BC的中点 (3分)》 证明：.D为BC的中点，.BD=CD 又.·AB=AC,AD=AD,·.△BAD△CAD(SSS). (7分) .∴.∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC .·∠ADB+∠ADC=180°，.∠ADB=∠ADC=90° 即AD⊥BC. (10分) 或选择方法三：BD=CD (3分) 证明：.·AD⊥BC,..∠ADB=∠ADC=90° .AB=AC,AD=AD,∴.Rt△BAD≌Rt△CAD(HL).(7分) .∴.BD=CD,∠BAD=∠CAD. (10分))》 14.解：(1)证明：如图，连接AD. (2分) ·AB=AC,D为BC的中点， .AD平分∠BAC. (5分) .DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF ..△DEF为等腰三角形. (8分) (2)①30° (11分) ②45o (14分) 河派苍四 解析 助你学无忧！ 单元巩固练2不等式与不等式组 一、选择题 题号12345678 答案CBBAACAD 8.D解析》当2m+1=-1,即m=-1时，此时m+2=-1+ 2=1这时不等式组为[>山：其解集为>1，不符合题 意.当m+2=-1,即m=-3时.此时2m+1=2×(-3)+ 1=-5这时不等式组为任>二：其解集为x>-1,符合 题意.所以m=-3.故选D. 二、填空题 9.1-x<0(答案不唯一)10.G>5011.2<x≤4 12.5或7解析》解二元一次方程组5x+3y=23, x+y=p, x=23-3p 23-32>0, y=5卫23”x,y为正数， 得 2 2 5p-23>0. 解得43 2 2 p<7子p是整数p=5或6或7。 把p=5,P=6,p=7分别代人原方程组的解中可知，只有 当p=5或7时，方程组的解是正整数，∴.p=5或7. 三、解答题 13.解：任务一：①乘法分配律 (1分) ②戊不等式两边都除以一7时，不等号的方向没有改变 (4分) 任务二：x<0 (6分) 任务三：解不等式去分母时，注意不要漏乘没有分母的项 (或去括号时，括号前面是“一”号，去掉括号和它前面的 一”号后，原括号里各项的符号都要改变.答案不唯一） 8分) 14.解：(1)450×0.8=360（元），450-80=370（元）， ·.选择活动一更合算 2分) (2)设一件这种健身器材的原价为x元 若x<300,则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时 付款金额不可能相等，.300≤x<500..0.8x=x-80.解 得x=400. ·.一件这种健身器材的原价是400元 (5分) (3)当300≤a<600时，a-80<0.8a.解得a<400. ..300≤a<400: (6分) 当600≤a<900时，a-160<0.8a.解得a<800. ∴.600≤a<800. 综上所述，300≤a<400或600≤a<800. (8分) 15.解：(1)设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型 号的电风扇的销售单价为y元， 则3x+4=1300,解得{x=200, 5x+6y=1900. y=150. 答：A种型号的电风扇的销售单价为200元，B种型号的 电风扇的销售单价为150元. (2分) (2)设A种型号的电风扇采购a台，则B种型号的电风扇 采购(50-a)台. 根据题意，得160+120(50-)≤750.解得a≤372 a是整数，a的最大值为37. 答：A种型号的电风扇最多能采购37台。 (4分) (3)能. (5分) 依题意，得(200-160)a+(150-120)(50-a)>1850. 解得a>35,则35<a≤37 .a是整数，.a=36或37. ∴.能实现利润超过1850元的目标，有以下两种采购方案： ①采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； ②采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台. (8分)