微专题02 分式方程的含参问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题02分式方程的含参问题 题型01已知分式方程的解（或根的性质）求参数 题型02已知分式方程解的正负（或非正非负）求参数范围 分式方程的含参问题 题型03已知分式方程的增根求参数的值 题型04已知分式方程无解求参数的值 题型05已知分式方程有整数解（或正整数解等）求参数范围 100 德点至破 题型01已知分式方程的解（或根的性质) 求参数 嫦方法 考向本质：考查对“方程解”概念的逆用以及基本代数代入技能。 解题方法： 1.直接代入法：若已知方程的具体解，则直接将其代入原分式方程或去分母后的整式方程中，得到关于 参数的新方程，求解即可。 2. 整体代入法：若已知的是解的某种变形，则需将已知条件变形，构造出与分式方程相同的结构，整体 代入求解。 3 答题模板：明确已知解的值→代入原分式方程（或化简后的整式方程）→得到关于参数的方程→求 解并验算。 1. (25-26八年级下四川成都期中)若关于x的分式方程2，++m=2的解为x=2,则m的值是() x-3+3-x A.2 B.0 C.-2 D.3 2. (25.26八年级上湖南株洲期末)已知关于x的分式方程2+3=0的解是x=4,则常数4的值是() x x-a A.-4 B.4 C.-10 D.10 3.(2026四川成都一模)关于的分式方程”+士=1的解为x:-3,则m的值为 x-1x+1 4.(22-23八年级下吉林长春期中)若关于x的分式方程5-”=1的解为x=4,则m的值为 x-2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26八年级下山东济南月考)关于x的方程x+a=3的解为r=2,则a= x-1x-1 6.(25-26八年级下河南周口：期中)已知关于x的分式方程3x+ -=-1 x-2 (1)若该分式方程的解是x=1,求b的值： (2)若该分式方程的解是非负数，求b的取值范围. 题型02已知分式方程解的正负（或非正/非负)求参数范围 煤方法 考向本质：考查解含参整式方程的能力，以及对“增根”的敏锐排查意识。 解题方法： 1.用参数表示解：将参数视为常数，去分母化为整式方程，解出x=(含有参数的代数式)。 2. 列出不等式：根据解的正负列出关于参数的不等式。 3. 排除增根（关键步骤）：令最简公分母为0，求出可能的增根。将增根代入“用参数表示的解”中，求 出对应的参数临界值，并将其从不等式的解集中剔除。 4. 答题模板：化整求解（用参表解）→根据正负列不等式→求出参数初步范围→求出增根并代入，排 除使分母为0的参数值→综合得出最终结果。 (2026四川达州：一模)关于x的方程+长+4 x-22-x =3解为非负数，则k的取值范围是() A.k≤2 B.k≥2 C.k≤2且k 3 D.k22且k≠-2 2.(2026黑龙江佳木斯一模)关于x的分式方程L+9-2=1的解为正数，则a的取值范围是() x-22-x A.a>5且a≠3B.a<5且a≠3 C.a>5且a≠2 D.a<5且a≠2 3.(2026黑龙江齐齐哈尔一模)已知关于x的分式方程2-”-3=2x的解是非负数，则的取值范围是 x-2 2-x () A.n≤-1且n≠-5 B.n≥-1且n≠3 C.n≤8且n≠-2 D.n≤8且n≠6 4.(2526八年级下江苏宿迁期中)已知关于x的分式方程，m-1，=2的解是非负数，则m的取值范 2-xx-2 围是() A.m≤2 B.m≤3 C.m≤3且m≠-1D.m≤2且m≠-1 5.(2026西藏一模)若关于x的分式方程-2m+,】=2的解为正数，则m的取值范围是 x-11-x 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6。(2526八年级下四川内江期中)若关于x的分式方程-m-1=,2的解是正数，且一次函数 x-1-1-x y=(5-m)x+2-2m不经过第二象限，则满足所有条件的整数m的和为 题型03已知分式方程的增根求参数的值 啸方法 考向本质：考查对分式方程“增根产生机制”的逆向理解。 解题方法： 1. 确定增根：令原分式方程的最简公分母为0，直接求出使分母为0的未知数的值（即增根必定是这些值）。 2.去分母化整：将分式方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 3. 代入求参：将确定的增根代入整式方程中，此时方程左右两边相等，从而解出参数的值。 4. 答题模板：令分母为零求增根→·去分母得整式方程→增根代入整式方程→解关于参数的方程得出结 果。 1. (25-26八年级下河南南阳期中)关于x的分式方程m,,3=1有塔根，则m的值为《) x-22-x A.2 B.1 C.3 D.-3 2,25-26八年级下四乐山阶段检测)若方程三2+二4有增根，则a的值为 x-4 A.-4 B.4 C.3 D.2 3.(25.26人年级下四肉江期关于x的分式方程3+1网有增根，则m的值为 x-1 4.(25-26八年级下江苏泰州阶段检测)若关于x的分式方程-】2=，m有增根，则它的塔根是 x-2 2-x 5.25-26八年级下甘肃天水期申)若分式方程产4=2+x24有增根，则的雀为 6. (25-26八年级下山东济南期中)关于x的分式方程-】=2-，m有增根，则m= x-2 2-x 题型04已知分式方程无解求参数的值 啸方法 考向本质：考查分类讨论思想，综合了“整式方程无解”和“分式方程有增根”两种情况。 解题方法： 1.去分母化整：将分式方程化为整式方程（通常形式为Ax=B)。 (1)情况一（整式方程无解）：当A=0且B=0时，整式方程无解，从而导致原分式方程无解。据此 求出参数的值。 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2) 情况二（解为增根）：当4≠0时，整式方程有解x=B。令此解等于增根（即使最简公分母为0 的值)，求出参数的值。 2. 综合结论：综合以上两种情况，得出所有使方程无解的参数值。 3. 答题模板：化为整式方程r=B一讨论A=0且B=0的情况一讨论解x=B为增根的情况→汇总参数 A 的值。 1. 26八年级下河南鹤壁阶段检测)若关于的分式方程，。 二无解，则k的值为() A.-3 B.-3或-5 C.1或一3 D.1或-5 2.(25-26九年级上贵州毕节期中)若关于x的分式方程+m+,1 =3无解，则m的值为() x-22-x A.3 B.-3 C.1 D.-1 3.(四川南充市2026年春季九年级第二次诊断性考试数学试题)已知关于x的分式方程2，-1=m 无 x-1 x-11 解，则实数m的值为 4.(25-26八年级下江苏宿迁期中)若关于x的分式方程mx-+,5=1无解，则m的值为 x-33-x :(2026宁夏银一模)关于的方程，，=2+M 2+3无解，则m的值为 6 (25-26八年级上福建福州期中)若关于x的分式方程m-2=1无解，则m的值是 x-3 题型05已知分式方程有整数解（或正整数解等)求参数范围 妹方法 考向本质：考查因式分解、整除性质以及极端情况下的分类讨论能力。 解题方法： 1.化整并变形：去分母化为整式方程，通常整理为ax+b=cx+d的形式，进而得到x=(含有参数的代数 式)。 2. 分离常数（核心技巧）：将“用参数表示的解”通过多项式除法或配凑法化为“整数部分十真分式部分” 3. 利用整除求参：因为x是整数，所以余数部分（真分式）的分子必须能被分母整除。据此列出关于参 数的等式或不等式。 4. 排除增根：检验求出的参数是否会使原方程产生增根，若是，则舍去。 5. 答题模板：化整得x=(含有参数的代数式)→对含有参数的代数式进行分离常数→根据整除性质列 举参数可能值→排除增根→确定最终参数值/范围。 x+1、x-1 +1, 1.(24-25八年级上河南许昌·期末)若关于x的一元一次不等式组 26 有解且最多有3个整数 3x-a≤x+1 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解，关于y的分式方程+4+a+2=-3有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为《) y-11-y A.4 B.5 C.6 D.7 +1<(a+x+ 2.(2022云南昭通模拟预测)若关于x的不等式组 1 至少有4个整数解，且使关于y的 3.13 4-2x-252 分式方程3-少=5 y-11-y 有整数解，则符合条件的所有整数a的和为() A.4 B.7 C.6 D.5 1-x+x≤1 3 3.(25-26八年级下·重庆期中)关于x的不等式组 2 有解且至多有5个整数解，关于x的方程 m x22 2-m-2=1有整数解，则满足条件的所有整数m的和是 1-xx-1 4.(25-26八年级上·浙江宁波·自主招生)已知关于x的不等式 2(x+5)+3<4m-11 至少有一个整数解， -5-x≤6x 并且关于x的方程】。 )一3mX有不大于7的整数解，则整数m有个 2-x 5.(25-26八年级上山东烟台期末)若a≥-4，且关于x的分式方程a+3=-8 有正整数解，则所有 x-22-x 满足条件的整数a的值之和为 5x>3(x-2) 6.(25-26八年级下·重庆·月考)已知关于x的不等式组 4-8x+2≤a有且仅有3个整数解，且关于y的 3-6 分式方程四=，2-1的解为整数，则满足条件的整数4的和为 y-33-y / 微专题02 分式方程的含参问题 题型01 已知分式方程的解（或根的性质）求参数 考向本质：考查对“方程解”概念的逆用以及基本代数代入技能。 解题方法： 1. 直接代入法：若已知方程的具体解，则直接将其代入原分式方程或去分母后的整式方程中，得到关于参数的新方程，求解即可。 2. 整体代入法：若已知的是解的某种变形，则需将已知条件变形，构造出与分式方程相同的结构，整体代入求解。 3. 答题模板：明确已知解的值 →代入原分式方程（或化简后的整式方程） →得到关于参数的方程 →求解并验算。 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【答案】A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是分式方程的解 ∴将代入原方程，得 计算得 整理得 即 2．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知关于的分式方程的解是，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解后检验即可得到a的值． 【详解】∵ 分式方程的解是， ∴ 将代入原方程，得 ， 整理得 ， 交叉相乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，原方程分母，，符合分式方程要求， ∴ 的值为， 故选D． 3．（2026·四川成都·一模）关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 4．（22-23八年级下·吉林长春·期中）若关于的分式方程的解为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】已知分式方程的解，将解代入原分式方程，即可计算得到的值. 【详解】解：将代入分式方程， 得， 整理得， 解得， 经检验，满足题意． 5．（25-26八年级下·山东济南·月考）关于的方程的解为，则________． 【答案】 【分析】将代入分式方程，求出的值即可． 【详解】∵关于的方程的解为， ∴将代入方程，得， 即， 解得：． 6．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入原方程得到关于b的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得：． （2）解：， ， ， ， ． 分式方程的解是非负数， ，且，解得且． 题型02 已知分式方程解的正负（或非正/非负）求参数范围 考向本质：考查解含参整式方程的能力，以及对“增根”的敏锐排查意识。 解题方法： 1. 用参数表示解：将参数视为常数，去分母化为整式方程，解出x＝（含有参数的代数式）。 2. 列出不等式：根据解的正负列出关于参数的不等式。 3. 排除增根（关键步骤）：令最简公分母为0，求出可能的增根。将增根代入“用参数表示的解”中，求出对应的参数临界值，并将其从不等式的解集中剔除。 4. 答题模板：化整求解（用参表解） →根据正负列不等式 →求出参数初步范围 →求出增根并代入，排除使分母为0的参数值 →综合得出最终结果。 1．（2026·四川达州·一模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再根据解为非负数，且分式分母不为，列不等式求解得到的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为， 方程两边同乘去分母得：， 整理得，， 移项合并得，， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为， ∴， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴的取值范围是且． 2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解是非负数，且分母不为零，列出不等式求解的范围即可． 【详解】解：原方程为 ， ∵ ， ∴ 原方程可化为 ， 方程两边同乘 ，得 ， 展开整理得 ， 解得 ， ∵ 方程的解是非负数，且分母不能为零， ∴ ， 解得 且 ． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据题意列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， ∴且， 解得：且． 5．（2026·西藏·一模）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数且分母不为零，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程变形为 去分母，两边同乘得： 整理得： 解得： 由分式方程的解为正数，可得，且即 解得：且． 6．（25-26八年级下·四川内江·期中）若关于的分式方程的解是正数，且一次函数不经过第二象限，则满足所有条件的整数的和为______． 【答案】3 【分析】先求解分式方程，根据解为正数且分母不为0得到m的取值范围，一次函数的图象分布确定一个范围，综合确定解集，找出范围内所有整数，求和即可得到结果． 【详解】解：解分式方程 方程两边同乘 得 整理得 ， ∵分式方程的解为正数，且分母不能为0 ∴ 且 解得且 因为一次函数不经过第二象限， 所以 ，且， 故； 综上所述，且； 符合条件的整数为：， 故. 题型03 已知分式方程的增根求参数的值 考向本质：考查对分式方程“增根产生机制”的逆向理解。 解题方法： 1. 确定增根：令原分式方程的最简公分母为0，直接求出使分母为0的未知数的值（即增根必定是这些值）。 2. 去分母化整：将分式方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 3. 代入求参：将确定的增根代入整式方程中，此时方程左右两边相等，从而解出参数的值。 4. 答题模板：令分母为零求增根 →去分母得整式方程 →增根代入整式方程 →解关于参数的方程得出结果。 1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值. 【详解】解：∵ 原分式方程有增根， ∴ 最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘，得， 把代入整式方程，得， 解得. 2．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 3．（25-26八年级下·四川内江·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___________． 【答案】3 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 5．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）若分式方程有增根，则的值为_______． 【答案】4 【分析】在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫做分式方程的增根，解分式方程，可得，因为分式方程有增根，可得． 【详解】解：分式方程两边都乘，得 ． 解方程，得 ． 因为分式方程有增根，可得 ． 解方程，得 ． 所以． 解方程，得 ． 6．（25-26八年级下·山东济南·期中）关于的分式方程有增根，则__________． 【答案】 1 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， ∵分式方程有增根， ∴增根满足，解得， 原方程两边同乘去分母，得 ，即， 将增根代入整式方程，得 ，解得． 题型04 已知分式方程无解求参数的值 考向本质：考查分类讨论思想，综合了“整式方程无解”和“分式方程有增根”两种情况。 解题方法： 1. 去分母化整：将分式方程化为整式方程（通常形式为）。 (1) 情况一（整式方程无解）：当且时，整式方程无解，从而导致原分式方程无解。据此求出参数的值。 (2) 情况二（解为增根）：当时，整式方程有解。令此解等于增根（即使最简公分母为0的值），求出参数的值。 2. 综合结论：综合以上两种情况，得出所有使方程无解的参数值。 3. 答题模板：化为整式方程→讨论且的情况 →讨论解为增根的情况 →汇总参数的值。 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 2．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件就是分母等于0或化简后整式方程无解是解题的关键． 把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到x的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出x的值，两者相等得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得 ， 整理得 ， ∴， 解得 ． ∵关于的分式方程无解， ∴，即， 令， 解得． 故选：D． 3．（四川南充市2026年春季九年级第二次诊断性考试数学试题）已知关于x的分式方程无解，则实数m的值为______． 【答案】 【分析】先转化成整式方程，分式方程无解，根据增根即可求解． 【详解】解：， 方程两边都乘以，得， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是方程的增根， 则， 解得：． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【答案】1或2 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意分两种情况求得m的值即可． 【详解】解： 原方程去分母得：， 整理得：， 当时，该方程无解，符合题意， 解得：， 当时，原分式方程无解， 那么， 即， 则， 解得：， 综上，m的值为1或2． 5．（2026·宁夏银川·一模）关于的方程无解，则的值为___________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解确定整式方程的解为增根，代入增根即可求出参数的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 原分式方程无解， ∴是原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入得， 解得． 6．（25-26八年级上·福建福州·期中）若关于的分式方程无解，则的值是________． 【答案】 2 【分析】此题考查已知分式方程的解求参数，分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是解出的根使原方程的分母为零（增根），本题需通过化整式方程并讨论增根情况求解 【详解】原方程为 ， 两边同乘 ，得：， 即 ， 若方程无解，则需 为增根，即 ，解得 ； 当 时，原方程化为 ，即 ，矛盾，方程无解， 综上， 时方程无解， 故答案为 2 题型05 已知分式方程有整数解（或正整数解等）求参数范围 考向本质：考查因式分解、整除性质以及极端情况下的分类讨论能力。 解题方法： 1. 化整并变形：去分母化为整式方程，通常整理为的形式，进而得到x＝（含有参数的代数式）。 2. 分离常数（核心技巧）：将“用参数表示的解”通过多项式除法或配凑法化为“整数部分＋真分式部分”。 3. 利用整除求参：因为x是整数，所以余数部分（真分式）的分子必须能被分母整除。据此列出关于参数的等式或不等式。 4. 排除增根：检验求出的参数是否会使原方程产生增根，若是，则舍去。 5. 答题模板：化整得x＝（含有参数的代数式）→对含有参数的代数式进行分离常数 →根据整除性质列举参数可能值 →排除增根 →确定最终参数值/范围。 1．（24-25八年级上·河南许昌·期末）若关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解．关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法、分式方程的解法及整数解的应用，熟练掌握不等式组和分式方程的解法，以及检验分式方程的增根是解题的关键．先解一元一次不等式组，根据“有解且最多有3个整数解”确定整数的初步范围；再解分式方程，根据“解为整数且分母不为零”筛选出符合条件的；最后计算这些的和，从而确定选项． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， 解得， ∴整数为，，，，，． 解分式方程得， ∵分式方程有整数解且 ∴是整数且 ∴（时，舍去） ∴和为， 故选：C． 2．（2022·云南昭通·模拟预测）若关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A．4 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】先解不等式组，根据至少有4个整数解确定整数a的范围，再解分式方程，结合分式方程有整数解且无增根，筛选出符合条件的a，最后求和即可． 【详解】解：解不等式组 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∵不等式组至少有4个整数解，整数解为， ∴ ，即，且a为整数， 解分式方程，两边同乘得： ，整理得， 当时，，且（时分母为0，是增根）． ∵分式方程有整数解，a为整数， ∴是2的整数约数，即， 解得， 结合，排除，剩余， 当时，，是增根，舍去， ∴只有符合条件，符合条件的所有整数a的和为． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 【答案】0 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，先解一元一次不等式组，可得到该不等式组的解集为，结合不等式组有解且至多有个整数解，可得，将分式方程变形得到，结合，可得，结合分式方程有整数解，可得或． 【详解】解： 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 因为该不等式组有解且至多有个整数解， 所以． 解不等式组，得 ． 将变形，得 ． 当时， ． 根据题意可知 ，即，可得 ，即． 因为分式方程有整数解， 所以或． 所以或或或． 因为且， 所以或或． 所以满足条件的所有整数的和是． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有________个． 【答案】4 【分析】首先解不等式组，得到且，由于至少有一个整数解，因此，即，故（ 为整数）；然后解方程，化简得，且，方程有不大于的整数解，因此且为整数，故，即，同时必须被整除，结合和，满足条件的为，共个． 【详解】解：解不等式组，， ∵该不等式组至少有一个整数解，且的整数解为， ∴，解得，即（为整数）； 解方程，化简得，且， ∵方程有不大于的整数解， ∴且为整数，则， 解得，同时必须被整除， 在和范围内，满足题意的值为，共个，对于每个，不等式组均有整数解（如满足条件），故整数有个， 故答案为4． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期末）若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了解分式方程，先理解题意，由得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的整数，然后求和，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 化简得 ， ∴． 依题意，为正整数且， ∴为正整数且不等于2． 设，则，其中为正整数且．又因为， ∴， 解得， 即（为正整数）． 因此． 对应值：当 ，； 当，； 当，． ∴所有整数的和为 ． 故答案为 10． 6．（25-26八年级下·重庆·月考）已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的整数的和为______． 【答案】 【分析】先表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有个整数解，确定出的范围，将分式方程去分母转化为整式方程，表示出，由为整数以及分式有意义的情况确定出的值，再计算满足条件的整数的和即可． 【详解】解：不等式组， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解， ，解得， 整数可以为，，，，，，，， ， 去分母得，， 解得， ，即， ， ，即， ， 分式方程的解为整数，当时，，不满足题意， ， 整数可以为，，，，， 满足条件的整数的和为． / 学科网（北京）股份有限公司 $