单元巩固练2 相交线与平行线-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册名师划重点+单元巩固练(北师大版·新教材 郑州专版)

河洛芸熙·期末考试必刷卷 和将艺侧 过教材 单元巩固练2 相交线与平行线 满分：60分得分： 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏.如图，游戏时宾主依次将箭矢投入一个特制的壶中， 投中多者为胜.若四位投壶者分别站在直线1上的点A,B,C,D处往点P处的壶内投箭矢， 小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ( A.两点之间线段最短 ABC D B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2.[广州市]下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是 3.[兰州中考改编]如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.芒种日 郑州市正午太阳光线与水平面的夹角B约为63°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹 角a的度数是 ( A.27° B.37° C.43° D.63° B O 集热板 太阳光线 1 支 白球。 架 一水平面 mbuulwbumlL R 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.如图，木条a,b,c通过如图方式钉在一起，∠1=75°，∠2=43°，要使木条a与b平行，木条a 需要按箭头所示的方向旋转的度数是 () A.32° B.33° C.43° D.75 5.将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数 为 A.100° B.105° C.115° D.120° 6.⑨真实情境台球运动轨迹如图是一张台球桌面的示意图，选择适当的角度击打白球， 可以使白球经过两次与台球桌边缘碰撞反弹后将黑球直接撞入袋中，开始时白球的滚动路 径为AB,第二次反弹后滚动的路径为CD,己知PQ∥SR,若AB∥CD,CD与桌面边缘的夹角 ∠2=40°，则∠1的度数为 () A.35° B.40° C.45° D.50° 10 北师版·七年级·数学·下册 而粥艺侧 7.[北京市]如图，在4×4的方格纸上，记∠ABD=ax,∠DEF=B,∠CGH=Y,则 () A.a<B<y B.B<a<y C.B<y<a D.a<y<B 天花板 GELLLL2242L424424222422 镜面 水平桌面 第7题图 第8题图 8.可跨学科物理如图，在“光的反射”科学活动课中，同学将支架平面镜固定放置在水平桌面 MN上，镜面AB与桌面MN的角度（∠ABM)可调节，若激光笔与水平天花板（直线EF)的夹角 ∠EPC=30°，激光笔发出的光束DC射到平面镜AB上，EF∥MN,则当反射光束CH与天花板的夹 角∠EHC=80时（由平面镜的反射定律可知∠ACH=∠DCB),∠ABM的度数为 () A.20° B.25° C.30° D.35° 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.如果一个角的余角是6224'，那么这个角的补角度数是 10.图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角（∠DAB)与高空俯角（∠CDA)相 等，即可确保上下层平台互相平行.该方法背后的数学原理是 B D' Q -D 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图是一张长方形纸片，其中AB∥CD,将纸片沿EF折叠，A,D两点分别与A',D'对应.若 ∠1=∠2，则∠D'FC的度数为 12.可数学思想分类讨论已知直线AB∥CD,点P,Q分别在AB,CD上，如图所示，射线PB 绕着点P按顺时针方向以每秒3°的速度旋转至PA后便立即逆时针回转，并不断往返旋 转：射线QC绕着点Q按顺时针方向以每秒1的速度旋转至QD停止，此时射线PB也停止 转动.若射线QC先旋转20s,射线PB才开始转动，当射线PB旋转 s时，PB'∥QC. 三、解答题（共24分） 13.(8分)如图，已知直线AB,以及直线AB外一点P. (1)尺规作图：过点P作直线CD,使得CD∥AB;(保留作图痕迹，不写作法) (2)为了寻找画平行线的其他方法，小明同学作了以下折纸的操作： ①如图1，将直线AB翻折，使折痕1经过点P,折痕L1与直线AB交于点O,射线OA与射线 OB互相重合； ②如图2，将①中的折痕l1在点P处翻折，使射线PW与射线PO重合，得到第二条折痕2 小明说第二条折痕l,就是(1)中所要求作的直线CD. 请你判断：小明的说法正确吗？请说明理由。 N:L P P P D 0, B AO B 图1 图2 ● 11 河洛芸熙·期末考试必刷卷 和艺侧 14.[教材P54第9题改编](8分)如图是小明在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A 地出发沿北偏东55°方向到补给地B,从补给地B沿北偏西35°方向到C地与伙伴会合，小 明通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一 致，到达目的地D,并且距离最短.小明解释如下，请你填空： D 解：因为CD⊥BC(已知)， 所以∠C=90°( ),且CD最短( 北 C 因为AE∥BF(已知)，所以∠A+ =180°( 因为∠A=55°，所以∠ABF=180°-∠A=125° 因为∠CBF=35°（已知），所以∠ABC=∠ABF-∠CBF=90°. E B 所以∠C= ( 所以CD∥ A△ 15.(8分)【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题：如图1，AB∥CD,点E,F分别在 AB,CD上，点P为直线AB上方一点，连接PE,PF,探究∠DFP,∠BEP与∠EPF之间的数 量关系 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法：如图2，通过作PQ∥AB,发现∠FPQ=∠DFP, ∠EPQ=∠BEP,由此可求出∠DFP,∠BEP与∠EPF之间的数量关系 【解决问题】(1)请你根据勤奋小组的思路，可知∠DFP,∠BEP与∠EPF之间的数量关系 为 【迁移探究】(2)听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点P在直线CD的下 方，且在点F的右侧时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由 【拓展探究】(3)如图4，AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，点P是直线AB,CD之间一点， ∠EPF=8O°，EG平分∠BEP,FH平分∠DFP,EG与FH交于点M,请直接写出∠EMF的度数. B 图1 图2 图3 图4 12河洛芸熙·期末考试必刷卷 答案 精讲解百忧 单元巩固练1整式的乘除 一、选择题 题号12345678 答案CDDACBAB 8.B解析设正方形纸片A和B的边长分别为a,b.由题图 1可知，阴影部分面积为a2-b2=5.由题图2可知，阴影部 分面积为(a+b)2-a2-2=12,所以ab=6.由题图3可 知，阴影部分面积为(2a+b)2-3a2-2b=a2-b2+4ab= 5+4×6=29.故选B. 二、填空题 9.b<c<a10.±811.-27a3+15a2-6a 12.10解析》第1个图形是一个小正方形： 第2个图形由9=(2×2-1)2个小正方形拼成： 第3个图形由25=(2×3-1)2个小正方形拼成； 拼成第n-1个图形需要(2n-3)2个正方形； 拼成第n个图形需要(2n-1)2个正方形. 由题意，得(2n-1)2-(2n-3)2=72, 解得n=10. 三、解答题 13.解：(1)平方差公式（或完全平方公式） (2分) (2)一 (4分) (3)原式=(4x2-y2-4x2+12y-9y2)÷(-y) =(12y-10y2)÷(-y）=-12x+10y (6分) 当x=1,y=2时，原式=-12×1+10×2=8. (8分) 14.解：(1)452=(4×5)×100+25 (2分) (10n+5)2=100n(n+1)+25 (4分) (2)20245 (6分) (3)由5与100n的差为4925，得100m(n+1)+25- 100n=4925. 解得n=7(负值已舍去).故n的值为7. (8分) 15.解：(1)②③① (3分) (2)如图所示.（答案不唯一） (5分) -0- b (3)因为AD=a+b,AK=a-b, 所以S长方形ND=AD·AK=(a+b)(a-b), 因为S长方形ac=AC·AK=a(a-b)=a2-ab,S长方形ma= CL·CD=(a-b)b=ab-b2,所以S长方形wD=S长方形Kc+ 河派苍四 解析 助你学无忧！ S长方形a.所以(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2, (8分) 单元巩固练2相交线与平行线 一、选择题 题号12345678 答案CDAABBCD 8.D解析》如图，过点C作 天花板 CQ∥MN.因为MN∥EF,所 H p 以MN∥EF∥CQ.所以 D 镜面 LPCQ=LEPC=30°，Mmm9rV ∠BCQ=∠ABM,∠HCQ= 水平桌面 ∠EHC=80°.所以∠HCP=∠HCQ-∠PCQ=80°-30°= 50.因为∠ACH=LDCB,所以LDCB=)(180°-LHCP)P 180°-50°=65°.所以∠ABM=∠BCQ=∠DCB-∠PCQ= 2 35°.故选D. 二、填空题 9.15224'10.内错角相等，两直线平行11.60° 12.10或85解析》设射线PB旋转的时间为ts.因为 AB∥CD,所以当∠CQC'=∠BPB'时，PB'∥QC',分三种情 况：①当0<t≤60时，∠CQC=(t+20)°，∠BPB'= 3t°，所以t+20=3t.解得t=10.②当60<t≤120时， ∠CQC=(t+20)°，∠BPB'=180°-3(t-60)°=(360- 3t)°，所以t+20=360-3t.解得t=85.③当120<t≤160 时，∠CQC'=(t+20)°，∠BPB'=3(t-120)o=(3t- 360)°，所以t+20=3t-360.解得t=190(不符合题意，舍 去).综上所述，当射线PB旋转10s或85s时，PB∥QC'. 三、解答题 13.解：(1)如图，直线CD即为所求 (3分) D B (2)小明的说法正确。 (5分) 理由如下：由折纸操作可知∠NPD=∠NOB=90°，所以 CD∥AB. (8分) 14.解：垂直的定义垂线段最短∠ABF两直线平行，同 旁内角互补∠ABC等量代换AB内错角相等，两直 线平行 (每空1分，共8分) 15.解：(1)∠DFP=∠BEP+∠EPF (2分) (2)不成立 (3分) 理由如下：如图，作PQ∥AB, 河派言侧 C Q 因为PQ∥AB,AB∥CD,所以PQ∥CD. 所以∠BEP=∠QPE,∠DFP=∠FPQ. 所以∠BEP=∠QPE=∠DFP+∠EPF,即∠DFP=∠BEP- ∠EPF.所以(1)中的结论不成立. (5分) (3)∠EMF的度数为140° (8分) 解析》如图，过点P作PW∥CD, A -B 因为PN∥CD,AB∥CD,所以PN∥ CD∥AB.所以∠PEB+∠PFD= D 180°-∠EPWN+180°-∠NPF= 180°+180°-（∠EPN+∠NPF)=360°-∠EPF=360°- 80°=280°.因为EG平分∠BEP,FH平分∠DFP,所以 ∠PEG+∠PFH=之(LPEB+∠PFD)=140在四边形 EPFM中，∠EMF=360°-（∠PEG+∠PFH+∠EPF)= 140°. 单元巩固练3概率初步 一、选择题 题号123456 答案CDC C BB 4.C解析》该车是向西行驶，在第一个路口有向西、向南、 向北三种可能.如果第一个路口向西，则第二个路口就没有 向东的可能；如果第一个路口向南，则第二个路口就没有向 北的可能；如果第一个路口向北，则第二个路口就没有向南 的可能.但是这三种情况下，都有向西的可能，所以它一直 向西行驶的概率较大.故选C. 二、填空题 75879.510子 三、解答题 11.解：选择①的猜想，猜“不是3的倍数” (2分) 理由如下：①共有10种等可能出现的结果数，其中“是3 的倍数”的有3种，“不是3的倍数”的有7种，因此“是3 的倍数的概率是，“不是3的倍数“的概率是品(6分) ②共有10种等可能出现的结果数，其中“是大于6的数” 的有4种，“不是大于6的数”的有6种，因此“是大于6的 数”的概率是品-子，“不是大于6的数"的概率是品 子因此，猜数者应选择①的猜数规则，且猜“不是3的倍 数”，这样获胜的概率为品，获胜的概率最大.(10分) 北师版·七年级·数学·下册 12.解：(1)①B (2分) ②0.95 (4分) (2)四个小组石子落在草地内的次数占石子落在长方形 内的次数比如下： 0:8=8:=组774079 112 三组：774500：四组：2309 177 所以石子落在草地内的概率约为0.8. 故草地的面积大约是0.8×4×5=16(m2). (8分) 3)6 (10分) 单元巩固练4三角形 一、选择题 题号12345678 答案DD CCBB AA 8.A解析》如图，连接AC.由作图 可得AB=AP=PC,AC=PB.所以 △ABP≌△PAC(SSS).所以∠PAB= B ∠APC.所以PC∥U.因为∠PBA= 72°，所以∠BP℃=180°-∠PBA=108°.故选A 二、填空题 9.AE=BF(答案不唯一)10.60°11.90° 12.②③④解析》①当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆 心，PQ的长度为半径画弧，与射线AM有两个交点如图. 作出△PAQ,发现两个位置的Q都符合题意，故△PAQ不 唯一，①错误； M ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半 径画弧，与射线AM有一个交点，故△PAQ唯一，②正确； ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为 半径画弧，与射线AM有一个交点，故△PAQ唯一，③正确； ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为 半径画弧，与射线AM有一个交点，故△PAQ唯一，④正确 综上所述，结论正确的是②③④. 三、解答题 13.解：【数学建模】∠ABC=∠ABD (3分) 【问题解决】理由如下：因为AB⊥CD,所以LBAC=∠BAD= 90°.因为∠ABC=∠ABD,AB=AB,所以△ABC≌△ABD (ASA).所以AC=AD. (8分) 14.解：(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ (2分) 理由如下：因为AC⊥AB,BD⊥AB, 所以∠A=∠B=90°. ● 2