突破练5 几何作图&提升练1 数形结合-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

河言腿 所以∠OP'M+∠P'OM=∠NOP+∠P'OM=90°.所以 ∠OP'M=∠NOP. 在△OP'M和△POW中，因为∠OP'M=∠PON,∠OMP'= ∠PNO,OP'=OP,所以△OP'M≌△PON(AAS).所以PM= ON,PF=7m所以NC=PF=7m.因为OC=10m,所以 ON=OC-CN=3m.所以P'M=3m. 答：点P'到OC的距离为3m 4.解：(1)2<AD<8 (2)如图，延长AD,EC交于点 F.因为BC的中点为D,所以 学 BD=CD.在△ADB和△FDC 中，因为∠B=∠DCF=90°， BD=CD,∠ADB=∠FDC,所 以△ADB≌△FDC(ASA).所以AD=DF,CF=AB=1O.8m 因为CE=20.2m,所以EF=CE+CF=31m在△ADE和 △FDE中，因为∠ADE=∠FDE=90°，AD=FD,DE=DE,所以 △ADE≌△FDE(SAS).所以AE=EF=31m. 突破练4变量之间的关系的应用 1.解：(1)时间高度(2)1033 (3)因为摩天轮最高点距地面103m,最低点距地面3m,所 以摩天轮的直径是100m. 100π÷20×5=25π(m). 答：所走的路径的长度是25πm. 2.解：(1)时间水位(2)2.75 (3)因为时间每增加1min,水位会增加0.25cm, 所以当h=7cm时，t=5+(7-2.25)÷0.25=24(mim). 它的实际意义：当漏刻水位高度为7cm时，计时时长为 24 min. 3.解：(1)50×0.8+(80-50)×1.2=40+36=76（元） 答：小丽家该月应缴燃气费76元 (2)由题意，得y=50×0.8+1.2(x-50)=1.2x-20. (3)因为50×0.8=40<88， 所以她家4月份所用燃气超过50立方米. 所以1.2x-20=88.解得x=90. 答：她家4月份所用燃气为90立方米 (4)由题意，得1.2x-20=0.95x.解得x=80 答：6月份小丽家用了80立方米的燃气. 4.解：(1)1000 (2)镜片到光斑的距离为0.5m.理由如下：根据题意，得y 与x之间的关系式为y=10将y=200代入y=10,得20= 10.解得x=0.5.所以其镜片到光斑的距离为0.5m (3)逐渐变小 (4)不会有光斑存在. 5.解：(1)150 (2)点M表示乙车到达C地的时间。 (3)由图象可知，年=60千米/时，2=60,90=75（千米/时）. 2 北师版·七年级·数学·下册 设1小时相遇，则(60+75)1=150，所以t=9,此时乙车行 驶了5×9-9（千米）.属B地距离C地0千米，故他 们的相遇点距离C地90-0-9（千米）。 3 6.解：(1)时间△APD的面积36018 (2)y=-3x+84 (3)从图中可知，AB=10×3=30(cm),所以S长方形wn=AD· AB=720am,所以子a=180am2.又因为点P在BC 上运动时，△APD的面积S保持不变，此时S△rm=360cm2,所 以当△APD的面积是长方形ABCD面积的子时，点P在AB 上运动或在CD上运动.分两种情况：①当点P在AB上运 动时，运动的路程AP=3xcm,其中0<x≤10，所以S△Pn= 号4P·A0=子×3x×24=36cm,根据题意，得36x 180.解得x=5.②当点P在CD上运动时，其中18≤x≤28， 且由(2)可得Sam=号P0·A0=宁(-3x+84)×24= -36x+1008.根据题意，得-36x+1008=180.解得x=23 综上所述，点P出发5秒或23秒时，△APD的面积是长方形 ABCD面积的4 突破练5几何作图 1.解：【操作】如图，AD,EF,BG 即为所求.(G点，F点的标注 不唯一) 【发现】EF∥BG 【概括】平行于同一条直线的 两条直线互相平行 2.解：(1)如图1，△AB,C即为所求 (2)如图2，点P即为所求 (3)如图3，点M即为所求， 图1 图2 图3 3.解：(1)如图，△A'B'C即为所求. (2)如图，线段BM即为所求. (3)如图，点P即为所求 D 6 河洛芸熙·期末考试必刷卷 4.解：(1)如图，△A,B,C,即为所求 (2)如图，点P即为所求 (3)如图，点Q即为所求 3 5.解：(1)如图，EF即为所求。 (2)因为DE⊥OC,所以∠DEC=90°.因为OA∥EF,所以 ∠FEC=∠AOC=55°.所以∠DEF=∠DEC-∠FEC=35°. 6.解：(1)如图，B0即为所求。 (2)因为∠BAC=70°，∠ACB=60°，所以∠ABC=180°- 70°-60°=50°.因为CD平分∠ACB,B0平分∠ABC,所以 ∠00B=7∠ACB=30,∠0BC=7∠ABC=25所以 ∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB=125°.因为∠B0D+ ∠BOC=180°，所以∠BOD=180°-∠BOC=55° 7.解：(1)如图，点P即为所求 (2)7 8.解：(1)只要从碎片中度量出边BC的长度、∠B和∠C的度 数，就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台 (△ABC)的形状和大小完全相同的△A'B'C'新展台.理由 如下：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等. (2)如图，△A'B'C即为所求. B4 9.解：(1)小东作的直线PO与L平行.理由如下： 由作图得MW垂直平分PA.所以OA=OP.又因为OB=OQ, ∠AOB=∠POQ,所以△AOB≌△POQ(SAS).所以∠ABO= ∠PQ0.所以PQ∥L. 7 而派言腿 (2)如图，直线PQ即为所求. P B 10.解：(1)SSS (2)如图①，直线PD即为所求 D 图① 图② (3)如图②，线段AD即为所求. 提升练1数形结合 1.解：(1)(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b (2)134 (3)拼图如下： b 解析》因为2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b),所以需要A 型卡片2张，B型卡片2张，C型卡片5张，即拼成的长为 2a+b,宽为a+2b的长方形. (4)a=2b.理由如下：由图5可知，EF=HG=a+2b,EH= x,则阴影部分的面积S,与S2的差为2b(x-a)-a(x-3b)= (2b-a)x+ab,由于阴影部分的面积S,与S2的差与EH无 关，即与x无关，所以2b-a=0,即a=2b. 2.解：(1)a2-b2=(a+b)(a-b) (2)(a+b)2=a2+2ab+b2 (3)8 (4)因为阴影部分的面积为15，所以分b+7b=15,即 ab=15. 因为a+b=8,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=64.所以a2+ 62=64-2ab=64-30=34.所以两正方形的面积和为34. 3.解：(1)①②③ (2)a2+b=c2.理由如下：因为图3中大正方形的面积为 (a+b)2,小正方形的面积为c2,4个直角三角形的面积和 为2ab,所以(a+b)2=c2+2ab,即a2+b2=c2. (3)D(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ②因为a+b+c=11,ab+bc+ac=38,所以a2+b2+c2= (a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=121-76=45. (4)如图所示.（画图不唯一） 根据拼图，可得关于a,b的等式为(a+b)2=a2+2ab+.BS·七年级·数学 政专题 核心题型突破练 突破练5 几何作图 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 类型1网格作图 9 字地 1.【操作】在如图的方格纸中（网格线的 数 交点叫格点)，按要求画图、填空， 1 (1)过点A作BC的垂线，垂足为D,该 料 垂线经过的一个格点记为，点E: (2)过点E作AC的平行线EF,该平行 线经过的任意一个格点记为点F;过点 B作AC的平行线BG,该平行线经过的任意一个格点记为点G 【发现】EF与BG的位置关系为 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论 的 2.如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中， △ABC的三个顶，点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保 留作图痕迹。 (1)在图1中，请以直线1为对称轴，画出与△ABC成轴对称的 图形△A,B,C: 不 (2)在图2中，请在直线1上找一点P,使得BP⊥AC: (3)在图3中，请在直线l上找一点M,使△MAB的周长最小 茶 B 图1 图2 图3 3.如图，在正方形网格中，A,B,C,D,E为网 格中的格点，仅用无刻度的直尺在给定网 格中利用格点连线画图，画图过程用虚线 救 表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下 列问题： 9 (1)请画出△ABC关于直线DE的对称 图形△A'B'C'(其中点A的对称点用A'表示，点B的对称点用 B'表示，点C的对称点用C表示)； (2)请作出△ABC的中线BM; (3)在直线DE上找出一点P,使得∠APD=∠CPE. 数学七年级下册北师第1页共3页 4.如图，方格图中每个小正方形的边长为1， 点A,B,C,M,N都在格点上. (1)画出△ABC关于直线MN对称的△AB,C,; (2)在直线MN上找一点P使PB+PC最 小，在图中画出点P的位置； (3)在直线MN上找一点Q使IQB-QAI 最大，直接写出这个最大值为 类型2尺规作图 5.如图，已知D是射线OA上一点，且DE⊥OC于点E. (1)利用尺规过点E作OA的平行线EF(不写作法，保留作图 痕迹)； (2)若∠AOC=55°，求∠DEF的度数. 6.如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ACB=60°，∠ACB的平分线 交AB于点D. (1)尺规作图：作∠ABC的平分线B0交CD于点O;(不写作 法，保留作图痕迹) (2)求∠BOD的度数. 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° (1)请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P,使得点P 到，点A和点B的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)的条件下，若AC=2,CB=5,则△CAP的周长是 C B 8.工作人员小张在某展览会上不慎打碎了一个如图所示的三角 形玻璃展台（△ABC). (1)小张只要从碎片中度量出哪些边、角，就可以到店铺加工 一块与原来三角形玻璃展台（△ABC)的形状和大小完全相同 的新展台（△A'B'C')?请简要说明理由； (2)按尺规作图的要求，作出△A'B'C'.(不写作法和证明，保 留作图痕迹) 数学七年级下册北师第2页共3页 9.如图1，已知直线l及直线外一点P,求作过点P与直线1平行 的直线 .P M B A 图1 图2 图3 (1)小东设计的尺规作图过程如下（作图痕迹如图2）： ①在直线I上取一点A,连接PA; ②分别以点P,A为圆心，以大于，PA的长为半径作弧，分别交 于M,N两点，作直线MN,交直线1于点B,交PA于点O; ③以点O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q, 作直线PQ.则PQ就是所求作的直线： 你认为小东作的直线PQ是否与1平行？请说明理由. (2)小明设计的尺规作图过程如下（部分作图痕迹如图3）： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线1于点A,B, 连接PA,PB,并延长AP至点C; ②作∠BPC的平分线PQ.则PQ所在的直线就是所求作的直线 请你在图3中将小明的尺规作图补充完整。 10.可新考法项目式学习阅读下面的“数学活动报告”，并 完成相应的学习任务 尺规作图一过一点作已知直线的垂线 【活动内容】已知点P在直线1上，过点P作直线l的垂线. 方案一：过点P作直线l的垂线步骤：如图1，以点P为圆心， 任意长为半径作弧，与直线1相交于点A和点B,作线段AB 的垂直平分线CD,则直线CD就是所求直线l的垂线 方案二：如图2，把直线l看作平角∠MPW,过点P作直线l的垂 线就是作平角∠MPN的平分线. B D个 NB C 图1 图2 图3 【学习任务】(1)按照方案一尺规作图步骤，判定△APC≌ △BPC的依据是 (2)请按照方案二的方法在图2中作出图形； 【活动应用】(3)如图3，在△ABC中，过点A作BC边上的高. 数学七年级下册北师第3页共3页 突破练5 间将巷四 BS·七年级·数学 政专题一数学思想提升练 提升练1数形结合 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.[深圳市]数形结合是一种重要的数学思想方法，借助图形的 直观性，可以对很多数学问题进行直观推导.在学习整式乘法 运算时，启航小组同学利用图1所示的正方形和长方形卡片拼 成了如图2所示的大正方形，发现这个图形可以直观解释完全 平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2. a bb E H bCBb aA Ca bCBBb bb a b a bb G 图1 图2 图3 图4 图5 【初步体验】(1)领航小组同学拼出了如图3所示的长方形，这 个图形可以解释的等式为 (2)护航小组同学要拼成一个长为(a+3b),宽为(a+b)的长 方形，那么需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡 片 张； 【实践操作】(3)从A,B,C三种卡片中选取几张，用它们拼成 一个面积为(2a2+5ab+2b2)的长方形，请在图4方框中画出 你的拼图； 【实践探究】(4)远航小组同学用5张C类卡片按图5所示方 式不重叠地放在长方形EFGH内，阴影部分的面积S,与S2的 差与EH的长度无关，设EH的长为x,请探究a与b的数量关 系，并说明理由。 提升练11二数学七年级下册北师第1页共3页 2.(1)如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小 正方形，将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，拼成如图2的长 方形.比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到等式： (用字母a,b表示)； (2)将边长分别为a,b的正方形各1个，以及长为a,宽为b的 长方形2个，拼接成正方形（如图3），则由图3可以得到等式： (用字母a,b表示)； →9 图1 图2 图3 小明将边长分别为a,b(a>b)的正方形ABCD,EFGH按适当 方式摆放，利用(1)(2)得到的等式很方便就能解决下面的问 题，请你也来试试 (3)将正方形ABCD,EFGH按图4所示的方法摆放，其中边 AB,GH在同一条直线上，且B点与H点重合，点M在AD上， 点I在FG上，若两正方形的面积之差是16，则阴影部分的面 积是 ； (4)将图4中的正方形EFGH沿AG向下翻折，得到如图5，已 知a+b=8,阴影部分的面积为15，求两正方形的面积和. D a C D a b F B(H) B(H)G E 6F 图4 图5 数学七年级下册北师第2页共3页 3.[佛山市]数形结合是数学学习中一种很重要的思维方法， “数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题 相互转化，例如，利用图1中图形面积的两种不同表示方式可 以得到等式(a-b)2=a2-2ab+b2. aa白b A型B型C型 图1 图2 图3 图4 图5 【解决问题】(1)如图2，用四个全等的长方形(x,y为两条邻边 长，且x>y)拼成一个大正方形，内含一个小正方形，若大正方 形的边长为m,小正方形的边长为n,则下列关系式中，正确的 是 ;(填序号) 1 ①-y=a2y-47,3-y=ma④x+yP=m+2 线 (2)用四个全等的直角三角形(a,b是直角边，c是斜边)和一 个边长为c的正方形拼接成一个大正方形如图3所示，根据此 图形，可以得到一个关于a,b,c的等式，请你写出这个等式，并 说明理由； (3)①如图4是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长 内 为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面 积，得到的等式为 ②已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,利用①中所得到的等 式，求代数式a2+b2+c2的值 【创新设计】(4)如图5，A型是边长为a的正方形，B型是长为 不 b、宽为a的长方形，C型是边长为b的正方形，其中A型、B 型、C型都有若干个，请你用A型、B型、C型拼出一个长方形 或正方形(A型、B型、C型至少使用一次，拼接时不可有重叠、 不可有缝隙)，并根据你的拼图写出一个关于α，b的等式. 数学七年级下册北师第3页共3页