突破练3 全等三角形的应用&突破练4 变量之间的关系的应用-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

BS·七年级·数学 政专题 核心题型突破练 突破练3 全等三角形的应用 率 1 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.[西安市]如图是某社区生态景观区的平面示意图.景观区建 9 唱 字 有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在 观景台上安装了一盏广角灯（点D),BD,CD是两条通往观景 的裂 1 台的步行道.小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和 e 立体感，达到理想的光影效果，要求∠ABD=∠ACD.于是他利 用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如 表所示 雕塑 所测的量AEBE BD CD CF AF 长度/m15.0015.0017.3217.326.0024.00 小梧将示意图抽象成如图的几何图，并连接AD.请根据所测得 的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？ 器 2.过新考法 开放性试题某校七年级学生到野外活动，为测 量一池塘两端的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所 示的三种方案， B =83 D 图1 图2 图3 甲：如图1，先在平地上取一个可直接到达A,B的点C,再连接 AC,BC,并分别延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC,EC= BC,最后测出DE的长即为A,B间的距离 乙：如图2，先过点B作AB的垂线BF,再在BF上取C,D两 数学七年级下册北师第1页共3页 点，使 ,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线 于点E,则测出DE的长即为A,B间的距离 丙：如图3，过点B作BD⊥AB,在AB的延长线上取一点C,使 ,这时只要测出BC的长即为A,B间的距离. (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分； (2)请你选择其中一种方案进行说明. 3.可真实情境海盗船小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗 船，海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，它的主体是 由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成.游客坐在船内， 随着机械的运动，仿佛置身于一场海盗航海的冒险之中.当它 静止时，我们可以把它抽象成如图1所示的图形，中心转轴点 O位于铅垂线OC上，两条摆臂OA和OB均匀分布在铅垂线 两侧，它们的长度相同 0 图1 图2 图3 小明在乘坐过程中遇到了下列问题： (1)如图2，当海盗船右侧船头转到最高点B'时，从左侧船头 A'看最高点B'的仰角为23°，即∠B'A'D=23°，已知两摆臂之 间的夹角∠A'OB'=50°，求海盗船的最大摆角∠COB的度数. (2)如图3，已知转轴0到地面的距离0C=10m,在乘坐的过 程中，当海盗船右侧船头在位置P时，此时测得点P到地面的 距离PF=7m;当左侧船头摆动到点P'处时，P0⊥P'O.求点 P'到OC的距离. 数学七年级下册北师第2页共3页 4.【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解 决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考 虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分 散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而 运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方 法称为“倍长中线法”. 【初步感知】(1)如图1，在△ABC中，AB=6,AC=10,D是BC 的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合 作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD, 连接BE.可以判定△ADC≌△EDB,从而得到AC=EB=10.这 样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边 的关系，即可求出中线AD的取值范围是 【实践应用】(2)为了测量学校旗杆AB顶端和教学楼CE顶端 之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首 先取地面BC的中点D,用测角仪测得此时∠ADE=90°，测得 旗杆高度AB=10.8m,教学楼高度CE=20.2m,求AE的长. 学楼 旗杆 B 0 图1 图2 数学七年级下册北师第3页共3页 突破练3 BS·七年级·数学 政专题 核心题型突破练 突破练4变量之间的关系的应用 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.【问题情境】我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数 学兴趣小组决定趁着游玩之便对儿童公园内的摩天轮进行实 地调研.摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要 20 min. h/m 103 010203040t/minC 图1 图2 【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个 吊舱从最低点旋转到不同位置时距地面的高度h(m)和所用 的时间t(min)的数据，并绘制了图象如图1. 【问题研究】请根据图1中信息回答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是 ,因变量是 (2)摩天轮最高点距地面 m,摩天轮最低点距地面 m; 【问题解决】(3)如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需 5min,求这个吊舱从点A顺时针旋转到，点B所走的路径的长 度.（结果保留π） 2.可中华优秀传统文化漏刻漏刻是我国古代的一种计时工 具，根据等时性原理滴水计时.如图，一实验小组依据漏刻的 基本原理制作了一个底面积为2cm,容积为20cm3的圆柱形 漏刻模型（如图，浮子体积忽略不计），观测并记录了水位 (cm)与时间t(min)之间的数据如下： t/min 0 1 2 3 4 5 h/cm 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 (1)上表中的自变量是 ,因变量是 (2)当时间为7min时，水位是 cm; (3)当h=7cm时，求对应的时间t,并说明它的实际意义. 注水壶 标尺 浮子 受水壶 突破练41之 数学七年级下册北师第1页共3页 3.某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每 月燃气费：所用燃气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元 收费：如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费. 设小丽家每月用气量为x立方米，应缴燃气费y元 (1)若小丽家某月用气量为80立方米，则小丽家该月应缴燃 气费多少元？ (2)试写出y与x(x>50)之间的关系式. (3)若小丽家4月份的燃气费为88元，则她家4月份所用燃 气为多少立方米？ (4)已知小丽家6月份的燃气费平均每立方米0.95元，那么6 月份小丽家用了多少立方米的燃气？ 4.可跨学科物理小明在课余时间，找了几副度数不同的近 视镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光 斑最小.此时他测量了镜片到光斑的距离，得到如下数据： 镜片度数y/度 400 625 800 m 镜片到光斑 0.25 0.16 0.125 的距离xm 0.10 为了进一步研究镜片度数y与镜片到光斑的距离x间的关系， 小明借助计算机绘制了表示变量间关系的图象，并给出了它 们的关系式，如图 (1)m的值是 (2)小亮的近视眼镜是200度，用小亮的眼镜做实验的话，请 写出其镜片到光斑的距离，并解释你是怎样得出这一结论的； (3)根据图表中的信息，发现随着x的逐渐变大，y的变化趋势 是 (4)你来预测一下，如果是一副平光镜（近视度数为0），会不 会有光斑存在？（直接写结论，无需解释) 1000/度 800 600 100 400 200 00.10.20.30.40.50.6x/m 数学七年级下册北师第2页共3页 5.如图1，一条笔直的公路上有A,B,C三地，甲、乙两辆汽车分 别从A,B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B,A两 地，甲、乙两车到C地的距离y1,2(千米)与行驶时间x(时) 的关系如图2所示. (1)A,B两地之间的距离为 千米； (2)图中点M代表的实际意义是什么？ (3)分别求出甲、乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离C 地多少千米。 ↑y/千米 90 60 0 1M22.537时 图1 图2 6.[郑州市]在图1长方形ABCD中，AD=24cm,点P从点A出 发，沿A→B→C→D的路线以每秒3cm的速度匀速运动，到达 点D时停止运动.图2是点P出发x秒时，△APD的面积S (cm2)与时间x(s)的关系图象. (1)在上述变化过程中，自变量是 ,因变量是 ;根据题目提供的信息，可得a= .b= (2)点P在CD上运动时，PD的长度y(cm)与点P的运动时 间x(s)的关系式为 (3)点P出发几秒时，△AD的面积是长方形ABCD面积的 S/cm2 得 10b c x/s 图1 图2 数学七年级下册北师第3页共3页河洛芸熙·期末考试必刷卷 根据题意，得100(a+6)+10(a+1)+a=111a+610,100a+ 10(a+1)+(a+6)=111a+16, 所以111a+610-111a-16=594,差为三位数. 594变换为495，即594-495=99，差为两位数，即最终的结 果为99. 突破练2概率的应用 1.解：(1)a=40-8-6-8-7-7=4 将条形统计图补充完整如下： 次数 2 0 2 3 4 5 6朝上一面 的，点数 (2)圆圆的说法不对.理由如下：试验次数太少，不足以证 明.当试验次数足够多时，每个点数朝上的概率相等。 2.解：(1)360.52 (2)折线统计图如图所示. 0.801频章 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 04080120160200240280试验总次数 (3)随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率逐渐稳定在 0.55左右，利用频率估计概率得P(“兵"字面朝上)=0.55. 3.解：(1)黄球个数为10×0.4=4.设白球的个数为m.由题意 得3m-2=4,解得m=2.所以红球的个数为10-4-2=4. 所以袋中红、黄、白三种颜色的球的个数分别为4,4,2. (2)设再放入红球x个，则4+x=(10+x)×0.7,解得x= 10,即再向袋中放入10个红球 2 (3)(摸出一个球是白球)=10+10=1O,所以随机摸出 个球是白球的概率是。 4解：（随机(2）号 (3)从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上恰好印 有“净”角色的卡通人物的概率为子 5.解：(1)10 1 (2①月 ②这个约定对小亮有利.理由如下： 根据题意，可得P(小明获胜)=名=}，P(小亮获胜) 8 二；-号=弩因为<g,即P(小明获胜)<P(小亮 81-9=72=9 获胜)，所以这个约定对小亮有利. 5 河派苍四 6解：(D (2)因为转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形，①的概 率是石，②的概率是写，③的概率为，所以取6,34的最 小公倍数，设总份数为12份. 所以①对应的份数为卫×石=2（份）：2对应的份数为2× 号=4（价）：③对应的份数为12×4=3（份）. 所以④对应的份数为12-2-4-3=3（份）. 分配扇形内容如下：按照计算出的份数，①占2份，②占4 份，③占3份，④占3份.转盘如图所示： ①① ③ 3 突破练3全等三角形的应用 1.解：因为AC=AF+CF=24+6=30(m),AB=AE+BE=15+ 15=30(m),所以AC=AB. 因为BD=17.32m,CD=17.32m,所以BD=CD. 在△ABD和△ACD中，因为AB=AC,AD=AD,BD=CD,所 以△ABD≌△ACD(SSS). 所以∠ABD=∠ACD. 所以该广角灯的位置符合要求. 2.解：(I)CD=BCAD=CD(或∠BDC=∠BDA) (2)选择甲：在△ABC和△DEC中，因为AC=DC,∠ACB= ∠ECD,BC=EC,所以△ABC≌△DEC(SAS).所以AB=ED. (或选择乙：因为AB⊥BD,DE⊥BD,所以∠B=∠CDE= 90°.在△ABC和△EDC中，因为∠B=∠CDE,CB=CD, ∠ACB=∠ECD,所以△ABC兰△EDC(ASA).所以AB=ED. 或选择丙：①当AD=CD时，则∠A=∠C.因为BD⊥AC,所 以LABD=∠CBD=90°.在△ABD和△CBD中，因为∠ABD= ∠CBD,∠A=∠C,BD=BD,所以△ABD≌△CBD(AAS). 所以AB=BC.②当∠BDC=∠BDA时，因为BD=BD, ∠ABD=∠CBD,所以△ABD≌△CBD(ASA).所以AB=CB.) 3.解：(1)因为OA'=OB',∠A'OB'=50°，所以∠OA'B'= ∠0B'A=180°-50°=650 2 所以∠OA'D=∠B'A'D+∠OA'B'=23°+65°=88°. 因为OE∥A'D,所以∠A'0E=180°-∠0A'D=92°. 因为∠C0E=90°，所以∠A'0C=92°-90°=2°.所以 ∠C0B'=50°-2°=48. (2)如图，过点P'作P'M⊥OC于点M, 0 过点P作PW⊥OC于点N因为PO⊥ P'0,P'M⊥OC,PW⊥OC,所以∠PW0= ∠P'M0=∠POP'=90°. 河言腿 所以∠OP'M+∠P'OM=∠NOP+∠P'OM=90°.所以 ∠OP'M=∠NOP. 在△OP'M和△POW中，因为∠OP'M=∠PON,∠OMP'= ∠PNO,OP'=OP,所以△OP'M≌△PON(AAS).所以PM= ON,PF=7m所以NC=PF=7m.因为OC=10m,所以 ON=OC-CN=3m.所以P'M=3m. 答：点P'到OC的距离为3m 4.解：(1)2<AD<8 (2)如图，延长AD,EC交于点 F.因为BC的中点为D,所以 学 BD=CD.在△ADB和△FDC 中，因为∠B=∠DCF=90°， BD=CD,∠ADB=∠FDC,所 以△ADB≌△FDC(ASA).所以AD=DF,CF=AB=1O.8m 因为CE=20.2m,所以EF=CE+CF=31m在△ADE和 △FDE中，因为∠ADE=∠FDE=90°，AD=FD,DE=DE,所以 △ADE≌△FDE(SAS).所以AE=EF=31m. 突破练4变量之间的关系的应用 1.解：(1)时间高度(2)1033 (3)因为摩天轮最高点距地面103m,最低点距地面3m,所 以摩天轮的直径是100m. 100π÷20×5=25π(m). 答：所走的路径的长度是25πm. 2.解：(1)时间水位(2)2.75 (3)因为时间每增加1min,水位会增加0.25cm, 所以当h=7cm时，t=5+(7-2.25)÷0.25=24(mim). 它的实际意义：当漏刻水位高度为7cm时，计时时长为 24 min. 3.解：(1)50×0.8+(80-50)×1.2=40+36=76（元） 答：小丽家该月应缴燃气费76元 (2)由题意，得y=50×0.8+1.2(x-50)=1.2x-20. (3)因为50×0.8=40<88， 所以她家4月份所用燃气超过50立方米. 所以1.2x-20=88.解得x=90. 答：她家4月份所用燃气为90立方米 (4)由题意，得1.2x-20=0.95x.解得x=80 答：6月份小丽家用了80立方米的燃气. 4.解：(1)1000 (2)镜片到光斑的距离为0.5m.理由如下：根据题意，得y 与x之间的关系式为y=10将y=200代入y=10,得20= 10.解得x=0.5.所以其镜片到光斑的距离为0.5m (3)逐渐变小 (4)不会有光斑存在. 5.解：(1)150 (2)点M表示乙车到达C地的时间。 (3)由图象可知，年=60千米/时，2=60,90=75（千米/时）. 2 北师版·七年级·数学·下册 设1小时相遇，则(60+75)1=150，所以t=9,此时乙车行 驶了5×9-9（千米）.属B地距离C地0千米，故他 们的相遇点距离C地90-0-9（千米）。 3 6.解：(1)时间△APD的面积36018 (2)y=-3x+84 (3)从图中可知，AB=10×3=30(cm),所以S长方形wn=AD· AB=720am,所以子a=180am2.又因为点P在BC 上运动时，△APD的面积S保持不变，此时S△rm=360cm2,所 以当△APD的面积是长方形ABCD面积的子时，点P在AB 上运动或在CD上运动.分两种情况：①当点P在AB上运 动时，运动的路程AP=3xcm,其中0<x≤10，所以S△Pn= 号4P·A0=子×3x×24=36cm,根据题意，得36x 180.解得x=5.②当点P在CD上运动时，其中18≤x≤28， 且由(2)可得Sam=号P0·A0=宁(-3x+84)×24= -36x+1008.根据题意，得-36x+1008=180.解得x=23 综上所述，点P出发5秒或23秒时，△APD的面积是长方形 ABCD面积的4 突破练5几何作图 1.解：【操作】如图，AD,EF,BG 即为所求.(G点，F点的标注 不唯一) 【发现】EF∥BG 【概括】平行于同一条直线的 两条直线互相平行 2.解：(1)如图1，△AB,C即为所求 (2)如图2，点P即为所求 (3)如图3，点M即为所求， 图1 图2 图3 3.解：(1)如图，△A'B'C即为所求. (2)如图，线段BM即为所求. (3)如图，点P即为所求 D 6