提升练2 分类讨论&提升练3 转化思想-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷(北师大版·新教材 郑州专版)

BS·七年级·数学 政专题 数学思想提升练 提升练2 分类讨论 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.[太原市]数学课上，老师提出问题：若两个角的两边分别平 正 行，则这两个角有怎样的数量关系？小颖认为角的两边是射 到 线，因此要分如下三种情况讨论.请按她的思路完成究： 1 问题 已知∠ABC与∠DEF,AB∥DE,EF∥BC,探究∠ABC与∠DEF 的数量关系。 料 ①两边方向均相 ②一边方向相同， ③两边方向均相反，点 1 情况 同，射线BA与 一边方向相反，射 E在∠ABC的外部，反 EF交于点O. 线EF与BA交于 向延长射线EF交射 点P 线BA于点Q. D D A 图示 F r0 B B 结论 ∠ABC=∠DEF ∠ABC+∠DEF=18O ∠ABC=∠DEE 因为AB∥DE, 所以∠E=∠1 因为AB∥DE, (依据). 所以∠DEF=∠2. 说理 因为EF∥BC, 因为EF∥BC, 所以∠2=∠B. 不 所以∠1=∠B. 所以∠DEF=∠B. 所以∠E=∠B. 即LABC=∠DEF 即∠ABC=∠DEF 结论 若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 常 (1)情况①说理过程中的“依据”是： 得 (2)请补全情况②的说理过程； (3)请补全小颖发现的结论 戡 2.如果两个角的差为30°，那么就称这两个角互为“伙伴角”，其 中一个角叫作另一个角的“伙伴角” 9 例如：=50°，B=20°，-B=30°，则α和B互为“伙伴角”，即 α是B的“伙伴角”，B也是α的“伙伴角”. (1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”，且∠1+∠2=90°，则∠1 的度数为 (2)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作AB的平行线 数学七年级下册北师第1页共3页 CM,∠ABC的平分线BD分别交AC,CM于D,E两点. ①若∠A>∠BEC,且∠A和∠BEC互为“伙伴角”，求∠A的度数； ②如图2，∠ACM的平分线CF交BE于点F,当∠A和∠BFC 互为“伙伴角”时，直接写出∠A的度数 图1 图2 3.如图，将一副三角尺中的两个直角顶，点叠放在一起，其中∠A= 30°，∠B=60°，∠D=∠E=45° 【观察猜想】(1)∠BCD与∠ACE的数量关系是 ∠BCE与∠ACD的数量关系是 【类比探究】(2)若保持三角尺ABC不动，绕直角顶点C顺时 针转动三角尺DCE,试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB? 画出图形并简要说明理由； 【拓展应用】(3)若∠BCE=3∠ACD,求∠ACD的度数，并直接 写出此时DE与AC的位置关系. 4.[厦门市改编]问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形和平 行线为背景展开探究.如图1，在△ABC中，AB=AC,AD是BC 边上的中线，过点A作BC的平行线1. 独立思考：(1)在图1中的直线l上取点E(点E在点A左侧)， 使AE=BD,连接DE交AB于点F,得到图2.试判断EF与DF 的数量关系，并说明理由； (2)在图1中的直线1上取点G,H(点G,H分别在点A的两 侧)，使AG=AH,连接DG交AB于点M,连接DH交AC于点 N,得到图3.小宇发现GM=HN,请你帮他说明理由； 数学七年级下册北师第2页共3页 合作交流：(3)同学们在图3的基础上展开了更深入的探究. 若∠BAC=40°，当△AGM是等腰三角形时，直接写出∠GDH 的度数. B BL D D 图1 图2 图3 5.下图是小方同学学习轴对称的相关知识时遇到的一个问题并 引发的思考，请帮助小方完成以下学习任务： (1)如图1，M,N分别是∠AOB边OA和OB上的点，OM=ON P是射线OC上一点，测得PM=PN.请说明OP平分∠AOB; (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD+BC,P为DC的中点， 将四边形ABCD沿着AP翻折，点D刚好与AB上的点E重合， 请判断AD与BC的位置关系，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若PB=6,PA=8,AB=10,PE=a,当 △PBC其中一条边上的高为5时，请直接写出△PAD的面积. (可用含a的式子表示) 图1 图2 数学七年级下册北师第3页共3页提升练2 女河将岩四 BS·七年级·数学 政专题一 数学思想提升练 提升练3 转化思想 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本 P113的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1 的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心 重合.在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠 部分的面积是多少？ D( 图1 图2 图3 【初步思考】如图2，先考虑特殊情况，当正方形EFGH旋转到 边EF与AB垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为 【深入探究】当正方形EFGH旋转到如图1所示位置后，请你 求出此时两个正方形重叠部分的面积； 【拓展应用】将n个边长都为1cm的正方形按如图3所示的 方式摆放，A1,A2,A3,A4分别是正方形的中心，请你直接写出 个这样的正方形重叠部分的面积之和. 提升练3二数学七年级下册北师第1页共3页 2.[北京市]【阅读与理解】连接三角形的顶点和它所对的边的中 点所得的线段称为三角形的中线。 由三角形的中线得出结论：三角形的中线等分三角形的面积， 即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，则S△ABD=S△ACD= 理由：因为BD=CD,所以Sam=2BD·AH=2CD·AH= S。0=乃S。,即等底同高的三角形面积相等 【操作与探索】在图2至图4中，△ABC的面积为a. (1)如图2，延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA, 若△ACD的面积为S,则S,=;(用含a的代数式表 示) (2)如图3，延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到，点E,使 CD=BC,AE=CA,连接DE,若△DEC的面积为S2,则S2= ;(用含a的代数式表示) (3)在图3基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得 到△DEF(如图4)，若阴影部分的面积为S3,则S3= ； (用含a的代数式表示) 【拓展与应用】(4)如图5，已知四边形ABCD的面积是m,E,F, G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，求图中阴影部分的面积 H 图1 图2 图3 图4 图5 数学七年级下册北师第2页共3页 3.[郑州市改编]【问题呈现】如图1，某工厂计划在一条笔直的 道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到 储物点取物品，然后再到车间.你认为该储物点应建在什么地 方，才能使工作人员所走的路程最短？ 大门 ● 车间 ● A。 ·B 道路 -1 图1 图2 【数学理解】如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点， 把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问 题，如图2。 【回顾思考】(1)你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”， 你已有的认识是 (2)如图3，直线1的两侧分别有A,B两点，在直线1上确定一 个点C,使AC+BC最短.请在图3中标注点C,并尝试利用图 2解决上述【问题呈现】，保留作图痕迹； 【能力迁移】(3)如图4，在等边三角形ABC中，E是AB上的 点，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的点.若AD=5,则PE+ PB的最小值为 A。 。B 图3 图4 数学七年级下册北师第3页共3页河粥言侧 提升练2分类讨论 1.解：(1)两直线平行，同位角相等 (2)因为EF∥BC,所以∠B=∠APE.因为AB∥DE,所以 ∠APE+∠DEF=18O°.所以∠B+∠DEF=180°，即∠ABC+ ∠DEF=180°. (3)相等或互补 2.解：(1)60°或30° 解析》分两种情况：①当∠1>∠2时，∠2=∠1-30°，所 以∠1+∠2=∠1+∠1-30°=90°，所以∠1=60°.②当∠1< ∠2时，∠2=∠1+30°，所以∠1+∠2=∠1+∠1+30°=90°， 所以∠1=30°.综上所述，∠1的度数为60°或30°， (2)①设LA的度数为x.因为∠ACB=90°，则∠ABC= 90°-x. 因为BD平分∠ABC,所以∠ABE=90°-x 2 因为AB∥CM,所以∠BEC=∠ABE=90°-x 2 因为∠A>∠BEC,所以∠A-∠BEC=30°，即x-909-x=309 2 解得x=50°，所以∠A=50° ②∠A的度数为75或15°. 解析设∠A的度数为y.因为AB∥CM,所以∠ACE=∠A= y.因为CF平分LACE,所以∠ACF=’.由①可得LCBF= 02,所以LBFC=180°-∠CBF-LACF-90°=45°，分 两种情况：①当∠A>∠BFC时，可得∠A=75°.②当∠A< ∠BFC时，可得∠A=15°.综上所述，∠A的度数为75°或15°. 3.解：(1)∠BCD=∠ACE∠BCE+∠ACD=180 (2)分两种情况： ①如图1，当∠ACE=∠A=30°时，CE∥AB 所以∠ACD=∠DCE-∠ACE=90°-30°=60° 图1 图2 ②如图2，当∠BCE=∠B=60°时，CE∥AB, 所以∠ACD=360°-∠ACB-∠BCE-∠DCE=360°-90°- 60°-90°=120. 综上所述，当∠ACD等于60°或120时，CE∥AB. 北师版·七年级·数学·下册 (3)设∠ACD=a,则∠BCE=3a. 由(1)可知，∠BCE+∠ACD=180°， 所以3a+a=180°. 所以=45°，即∠ACD=45°. 此时DE⊥AC或DE∥AC. 4.解：(1)EF=DF理由如下：因为直线l∥BC,所以∠AEF= ∠BDF,∠FAE=∠FBD.因为AE=BD,所以△AEF≌△BDF (ASA).所以EF=DF. (2)理由如下：因为AB=AC,AD是BC边上的中线，所以 AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.因为直线I∥BC,所以AD⊥直线L. 所以∠DAG=∠DAH=90°.所以∠DAG-∠BAD=∠DAH- ∠CAD,即∠BAG=∠CAH.因为AG=AH,所以AD垂直平分 GH.所以DG=DH.所以∠AGD=∠AHD.所以△AGM≌ △AHN(ASA).所以GM=HN. (3)∠GDH的度数为100°或70°或40°. 解析》因为∠BAC=40,所以∠B4D=∠CAD= 2LBAC= 20°.所以∠GAM=∠GAD-∠BAD=90°-20°=70°.当△AGM 是等腰三角形时，分三种情况： ①若AG=GM,则∠AMG=∠GAM=70°，所以∠AGM=180°- ∠AMG-∠GAM=40°.所以∠AHN=∠AGM=40°.所以 ∠GDH=180°-∠AGM-∠AHN=100°. ②若AG=AM,则∠AGM=∠AMG=(180°-∠4W)= 55°.所以∠AHN=∠AGM=55°.所以∠GDH=180°-∠AGM- ∠AHN=70°. ③若AM=GM,则∠AGM=∠GAM=70°.所以∠AHN= ∠AGM=70°.所以∠GDH=180°-∠AGM-∠AHN=40°. 综上所述，∠GDH的度数为100°或70°或40°. 5.解：(1)因为OM=OW,PM=PW,OP=OP, 所以△OPM≌△OPN(SSS). 所以∠MOP=∠NOP. 所以OP平分∠AOB. (2)AD∥BC.理由如下： 由翻折的性质可得PD=PE,∠PDA=∠PEA,AD=AE. 因为AB=AD+BC,即AE+BE=AD+BC, 所以BE=BC 因为P为DC的中点，所以PD=PC. 因为PD=PE.所以PE=PC. 因为PE=PC,BE=BC,PB=PB 所以△PEB≌△PCB(SSS).所以∠PEB=∠PCB. 因为∠PDA=∠PEA, 所以∠PDA+∠PCB=∠PEA+∠PEB=180°. 所以AD∥BC. 8 河洛芸熙·期末考试必刷卷 (3)△PAD的面积为9或24-5a 2 解析》由翻折的性质 可知∠APE=∠DPA,S△PHD=S△PHE,由(2）知△PEB≌ △PCB,所以∠EPB=∠BPC.所以2∠APE+2∠EPB= 180°，即∠APE+∠EPB=∠APB=90°.所以△ABP是直角 三角形所以△ABP的面积为2PB·PA=方×6x8=24 当△PBC其中一条边上的高为5时，分三种情况：①如图 ①，若PB边上的高为5时，即CF=5,则△PBC的面积为 PB·CF=子×6×5=15.因为△PEB≌△PCB,所以 △PBE的面积为15.所以△PAE的面积为24-15=9.所以 △PAD的面积为9.②如图②，若P℃边上的高为5时，即BG= 5,所以PC=PE=a所以△PBc的面积为C·Bc=a× 5=a因为△PEB≌△PCB,所以△PB5的面积为受所 以△PAE的面积为24-受所以△PHD的面积为24-受 ③如图③，若BC边上的高为5时，即PH=5,过点P作PM1 MB交AB于点M所以分AB·PM=子PB·AP,即方× 10PM=方×6×8=24.所以PM=告因为△PEB≌△PCB, 所以两个三角形对应边上的高相等因为PM=4,PH=5. 5 所以PM≠PH.所以不存在此种情况.综上所述，△PAD的面 积为9或24-50 图① 图② 图③ 提升练3转化思想 1解：【初步思考) 解析》如图，连接AC,BD,设EF,AB交点为L 因为正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD 的中心重合，所以E为AC,BD的交点.所以 AE=BE. 因为EF⊥AB,所以∠AIE=∠BE=90° 因为∠FEH=90°，∠AEB=90°， 所以∠AEI+∠BEI=∠BEI+∠BEH=90°，即∠AEI= ∠BEH. 因为∠EIB+∠ABC=180°，所以EF∥BC.所以∠EMB=90° 所以∠EMB=∠AIE=90°. 因为AE=BE,所以△AEI≌△BEM(AAS).所以S△AB= 9 河派苍四 SABEM 所以S重叠部分=S△BW+S△服=S△AI+S△BH=S△4EB= 子aum 【深入探究】如图，过点E分别作EK⊥CD, ET⊥BC,垂足分别为K,T.设EH,CD交于 点N,EF,CB交于点M. 因为正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD 的中心重合， 所以点E到CD,BC的距离相等，即ET=EK 因为EK⊥CD,ET⊥BC,所以∠KET=90°，∠ETM=∠EKC= 90°. 因为∠FEH=90°， 所以∠TEM+∠TEH=∠KEN+∠TEH=90°，即∠TEM= ∠KEN. 所以△MET≌△NEK(ASA).所以S△wT=S△NK· 所以S五叠部阶=S△WET+S四边形EG=S△N队+S四边形TC= S四边形TKC 同理【初步思考】，得S重叠部盼=4 1 【拓展应用】n个这样的正方形重叠部分的面积之和为 子x(a--”m 4 解析》由【初步思考】和【深入探究】得A,A2重叠部分面 积为子cm;4,A重叠部分面积为子m;A,4重叠部 1 分面积为子cm…44,重叠部分面积为好m,则n 个这样的正方形重叠部分的面积之和为子×（口-）= n-1 cm'. 4 2.解：(1)a(2)2a(3)6a (4)如图，连接A0,B0,C0,D0, 则SaE=SaE=分O=Saw=分5ae, 1 Sao=Sam=5ama=5aw=5m 1 1 而派言爬 3.解：(1)两，点之间线段最短（答案合理即可） (2)如图①所示，点C即为所求. A。 A. B C·B 图① 图② 如图②所示，储物点C即为所求 (3)5解析》如图，因为AD是∠BAC的 平分线，所以可在AC上找到点E关于直 线AD的对称点E',作出点E,连接PE, 则PE'=PE,PE+PB=PE+PB,过点B B D 作BF⊥AC,垂足为点F.由垂线段最短可知，当点B,P,E 三点共线，且BE'⊥AC时，PE+PB有最小值，即PE+PB 的最小值是BF的长度.易知等边三角形每条边上的高都 相等，所以PE+PB的最小值为BF=AD=5. 拓展练1综合与实践 1.解：(1)①方法一：同位角相等，两直线平行∠POB ∠COP 方法二：PD SSS ②如图①，射线OP即为所求.（作法不唯一） A D B 图① 理由如下：由作图可知，OC=OD,CP=PD 因为OP=OP,所以△OPC≌△OPD(SSS).所以∠AOP= ∠BOP. (2)5解析》如图②中，一共形成5个物体Q的像. 图② 2.解：(1)如图，像P2即为所求 B 0 B 镜子1镜子 (2)会 (3)①∠AOB的大小观察到的图形数量 ②5 北师版·七年级·数学·下册 ③y=360 x 3.解：(1)①时间与AB边的距离②10③5 (2)①14②S=14y (3)学生在跑动过程中，注意摆臂幅度一定要小，固定步幅 和频率等.（合理即可） 拓展练2全国新趋势试题 一、选择题 题号12345 答案AB BBD 4.B解析》由题意，得a+1=b,c+1=d,c=5(n-1)+a. 因为bc-ad=2025,所以(a+1)c-a(c+1)=2025.所以 c-a=2025.因为c=5(n-1)+a,所以5(n-1)=2025, 解得n=406.故选B. 5.D解析》如图，连接AB,AM和BM,作 B 点B关于PQ的对称点B',连接B'M,AB'. P 由点的对称性可得，C△B=AB+AM+ MB=AB+AM+MB'.因为线段AB为定 A --B 长，C△AB随，点M的运动逐渐增大，所以 AM+MB'要逐渐增大.所以点M运动要逐渐远离线段AB' (此时△MAB周长最短)，只有D符合题意.故选D. 二、填空题 6.27.△ABC,△ADE8.59.4010.45011.56 12.三或3解析)因为四边形AGD是正方形，所以∠B4D ∠DCB=∠DCE=90°，AB=CD. 若使△ABP≌△CDQ,只需AP=CQ. 由题意可知，AP=tm,对于点Q的位置，分两种情况： ①当点Q在点C左侧时，如图1， P Q C 图1 此时CQ=6-3t,所以t=6-3t,解得t= 2 ②当点Q在点C右侧时，如图2， CO E 图2 此时CQ=3t-6,所以t=3t-6,解得t=3. 因为当一点到达终点时，另一点停止运动，点P从点A向 10