浙江温州市乐清市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 浙江省温州市乐清市2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷，覆盖一元二次方程、数据统计、二次根式等核心知识，以春日经济、传统文化为情境，凸显数学应用与文化传承。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、众数、二次根式意义|结合箱线图分析方差（第7题），体现数据意识| |填空题|6/18|二次根式计算、中位数、方差|融入赵爽几何解法解一元二次方程（第15题），渗透数学文化| |解答题|7/52|方程求解、统计分析、几何作图|以春日经济为背景设计利润问题（第22题），强化模型观念与应用意识|

浙江省温州市乐清市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B．x+3＝2 C．3xy﹣6＝0 D．x2+2x﹣3＝0 2．（3分）数据2，3，5，5，6这组数据的众数是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 3．（3分）若二次根式有意义，则x的取值可能是（　　） A．﹣3 B．0 C．2 D．4 4．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的根是（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣2，x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2 6．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 8．（3分）某城市2024年轨道交通客流量为6000万人次，到2026年客流量增长至7260万人次．设这两年客流量的年平均增长率为x，则可列方程（　　） A．6000（1+x）2＝7260 B．6000（1+x2）＝7260 C．6000（1+2x）＝7260 D．6000（1+x）＝7260 9．（3分）某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．（3分）已知P＝x2﹣4x+k2，M＝2x2﹣x+k2﹣4，N＝﹣x2+3x+2k2+5，下列结论正确的是（　　） A．若M﹣P＝0，则x＝﹣1或x＝4 B．当x＝1时，M+P的值为2，则或 C．M+N有最大值 D．若P﹣N＝0，则关于x的方程有两个不相等的实数根 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算：　 　 ． 12．（3分）当a＝2时，二次根式的值是　 　 ． 13．（3分）某射击运动员射击10次的成绩统计如下： 成绩（环） 5 6 7 8 9 10 次数（次） 2 3 2 1 1 1 从表中数据可得出该运动员这10次射击成绩的中位数为　 　 环． 14．（3分）已知一组数据的离差平方和计算式为，则这组数据的方差是　 　 ． 15．（3分）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　 　 ． 16．（3分）有一长方形木板如图1切割，将其中4块重新拼接成新长方形如图2，多出一个图形⑤，若AB＝AC＝m，GF＝FE＝n，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根（m＞n），则图形⑤的面积为　 　 ． 三、解答题（本题有7小题，共52分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）选择适当的方法解下列方程： （1）2x2﹣3x＝0； （2）x2﹣4x+3＝0． 19．（6分）如图，4×4的正方形网格的每个小正方形的边长都是1． （1）在图中画出△ABC，使得AB＝1，，； （2）求△ABC的面积． 20．（7分）为进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，并在赛后随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下： 七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83； 八年级10名学生竞赛成绩中分布在80＜x≤90的成绩如下：84，85，85，85，86． 【整理数据】： 年级 0＜x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 七年级 2 m 4 1 八年级 1 3 5 1 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 ▲ a 81 71.6 八年级 80 85 b 59.8 根据以上提供的信息，回答下列问题： （1）填空：m＝　 　 ，a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）求七年级10名学生竞赛成绩的平均分． （3）根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级中哪个年级成绩更优秀． 21．（6分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）若x＝3是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且b﹣ac＝﹣1，求b的值． 22．（8分） 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． 任务2 根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． 任务3 根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 23．（9分）如图，已知一次函数交x轴于点B，交y轴于点A，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线AO方向运动；同时点Q从点O出发以每秒1个单位的速度沿射线OB方向运动，过点Q作CQ⊥OB交直线AB于点C，连结CP、PQ，设运动时间为t秒． （1）求OA和OB的长． （2）若，求点C的坐标． （3）当△APC的面积等于△PQC与△QBC的面积之和时，求t的值． 浙江省温州市乐清市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 1、 选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B D B C A B D 1．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B．x+3＝2 C．3xy﹣6＝0 D．x2+2x﹣3＝0 【分析】含有一个未知数，含有未知数的项的次数的最高次数是2，这样的整式方程是一元二次方程，利用概念逐一判断即可． 【解答】解：A．该方程是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．x+3＝2，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C．xy＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D．x2+2x﹣3＝0，是一元二次方，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键． 2．（3分）数据2，3，5，5，6这组数据的众数是（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【分析】众数就是一组数据中出现次数最多的数据，根据定义即可确定． 【解答】解：数据2，3，5，5，6中5出现2次，出现的次数最多，因而众数是5． 故选：C． 【点评】本题考查了众数的定义，理解定义是关键．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量． 3．（3分）若二次根式有意义，则x的取值可能是（　　） A．﹣3 B．0 C．2 D．4 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围即可得出答案． 【解答】解：∵x﹣3≥0， ∴x≥3， ∴x的取值可以是4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 4．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键． 5．（3分）一元二次方程x2﹣4＝0的根是（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣2，x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2 【分析】利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：由题知， x2﹣4＝0， x2＝4， x＝±2， 所以x1＝2，x2＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 6．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法，减法，除法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、2，故B符合题意； C、3，故C不符合题意； D、2，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（3分）如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【解答】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了箱线图，熟练掌握定义是解题的关键． 8．（3分）某城市2024年轨道交通客流量为6000万人次，到2026年客流量增长至7260万人次．设这两年客流量的年平均增长率为x，则可列方程（　　） A．6000（1+x）2＝7260 B．6000（1+x2）＝7260 C．6000（1+2x）＝7260 D．6000（1+x）＝7260 【分析】根据某城市2024年轨道交通客流量为6000万人次，到2026年客流量增长至7260万人次，列出方程即可． 【解答】解：由题意得：6000（1+x）2＝7260， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键． 9．（3分）某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】本题是一元二次方程配方法的正误辨析题，需逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【解答】解：班长：3x2﹣6x﹣9＝0， 甲：两边同除以3，得x2﹣2x＝3，正确， 乙：配方，两边加1，得x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，但乙写成了（x﹣1）2＝3，错误， 丙：若（x﹣1）2 ＝4，则x﹣1±2，但丙写的是x﹣1＝±，这里是沿用了乙的错误结果，本身推导逻辑是对的， 丁：根据丙的结果，x﹣1＝±，应得到x1＝1，x2＝1，但丁写成了两个相同的解，正确， 因此，错误的步骤是乙和丁，对应选项为B． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的配方法求解，熟练掌握配方时“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”的规则，是解题的关键 10．（3分）已知P＝x2﹣4x+k2，M＝2x2﹣x+k2﹣4，N＝﹣x2+3x+2k2+5，下列结论正确的是（　　） A．若M﹣P＝0，则x＝﹣1或x＝4 B．当x＝1时，M+P的值为2，则或 C．M+N有最大值 D．若P﹣N＝0，则关于x的方程有两个不相等的实数根 【分析】A选项：令M﹣P＝0，代入表达式化简得x2+3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或x＝1，与选项结论不符，错误； B选项：当x＝1时，代入M+P＝2，化简得2k2＝8，解得k＝2或k＝﹣2，与选项结论不符，错误； C选项：计算M+N得（x+1）2+3k2，因平方项非负，表达式无最大值，错误； D选项：令P﹣N＝0，化简得2x2﹣7x﹣k2﹣5＝0，判别式Δ＝8k2+89＞0，方程有两个不相等实根，正确． 【解答】解：A选项： 若M﹣P＝0， 则M＝P， 将P＝x2﹣4x+k2，M＝2x2﹣x+k2﹣4代入得： 2x2﹣x+k2﹣4＝x2﹣4x+k2， 化简：2x2﹣x+k2﹣4﹣x2+4x﹣k2＝0， 即x2+3x﹣4＝0， （x+4）（x﹣1）＝0， 解得x＝﹣4或x＝1， 并非x＝﹣1或x＝4，故A选项错误； B选项： 当x＝1时，M+P＝2， M+P ＝（2x2﹣x+k2﹣4）+（x2﹣4x+k2） ＝3x2﹣5x+2k2﹣4， 代入x＝1：3×12﹣5×1+2k2﹣4＝2， 化简：3﹣5+2k2﹣4＝2， 2k2﹣6＝2， 2k2＝8， k2＝4， 解得k＝2或k＝﹣2， 并非或，故B选项错误； C选项， M+N ＝（2x2﹣x+k2﹣4）+（﹣x2+3x+2k2+5） ＝x2+2x+3k2+1 ＝（x+1）2+3k2， 因为（x+1）2≥0，3k2≥0， 所以（x+1）2+3k2≥0，无最大值，故C选项错误； D选项，若P﹣N＝0，则P＝N， 将P＝x2﹣4x+k2，N＝﹣x2+3x+2k2+5代入得： x2﹣4x+k2＝﹣x2+3x+2k2+5， 化简：2x2﹣7x﹣k2﹣5＝0， 判别式Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣k2﹣5） ＝49+8k2+40 ＝8k2+89， 因为8k2≥0， 所以Δ＝8k2+89＞0， 方程有两个不相等的实数根， 故D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了整式的加减，根的判别式，解决本题的关键在于通过整式运算化简表达式，结合方程求解、判别式分析及配方法，逐一验证选项得出正确结论． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算：　2　 ． 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：根据算术平方根的定义可得： 原式， 故答案为：2． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是关键． 12．（3分）当a＝2时，二次根式的值是　　 ． 【分析】把a的值代入计算即可． 【解答】解：当a＝2时，， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 13．（3分）某射击运动员射击10次的成绩统计如下： 成绩（环） 5 6 7 8 9 10 次数（次） 2 3 2 1 1 1 从表中数据可得出该运动员这10次射击成绩的中位数为　6.5　 环． 【分析】利用中位数的定义解答． 【解答】解：把射击运动员的10次射击训练成绩从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7，8，9，10， ∴10次成绩的中位数为：6.5（环）， 故答案为：6.5． 【点评】本题考查中位数，关键掌握中位数的定义． 14．（3分）已知一组数据的离差平方和计算式为，则这组数据的方差是　4.8　 ． 【分析】根据方差是离差平方和的平均值，数据个数为10，离差平方和为48，代入公式计算即可． 【解答】解：∵S2D24.8， 即这组数据的方差是4.8． 故答案为：4.8． 【点评】本题考查方差与离差平方和，熟练掌握该知识点是关键． 15．（3分）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　5　 ． 【分析】设矩形的宽为x，长为x+a，根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，列出一元二次方程，求解即可． 【解答】解：设矩形的宽为x，长为x+a， ∵大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴（2x+a）2＝144，（x+a﹣x）2＝4， ∴2x+a＝12（负值已舍去），a＝2（负值已舍去）， ∴x＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（3分）有一长方形木板如图1切割，将其中4块重新拼接成新长方形如图2，多出一个图形⑤，若AB＝AC＝m，GF＝FE＝n，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根（m＞n），则图形⑤的面积为　29　 ． 【分析】由m，n是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根（m＞n），利用根与系数的关系得出m+n＝7，mn＝5，从图中可以看出，图形⑤是一个小正方形，它的边长为m﹣n，则图形⑤的面积为（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，代入m+n＝7，mn＝5即可求解． 【解答】解：从图中可以看出，图形⑤是一个小正方形，它的边长为m﹣n， ∴图形⑤的面积为：（m﹣n）2， ∵m，n是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根（m＞n）， ∴m+n＝7，mn＝5， ∴（m﹣n）2 ＝（m+n）2﹣4mn ＝72﹣4×5 ＝29． 故答案为：29． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，明确图形⑤是一个小正方形，它的边长为m﹣n是解题的关键． 三、解答题（本题有7小题，共52分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘法，再算加减，即可解答； （2）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1） ＝23 ； （2） ＝5﹣16 ＝﹣11． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（8分）选择适当的方法解下列方程： （1）2x2﹣3x＝0； （2）x2﹣4x+3＝0． 【分析】（1）先提公因式，然后即可求解； （2）利用十字相乘法分解因式，然后即可求解． 【解答】解：（1）2x2﹣3x＝0， x（2x﹣3）＝0， x＝0或2x﹣3＝0， x1＝0，； （2）x2﹣4x+3＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣3＝0， x1＝1，x2＝3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 19．（6分）如图，4×4的正方形网格的每个小正方形的边长都是1． （1）在图中画出△ABC，使得AB＝1，，； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）利用数形结合的思想画出三角形ABC即可； （2）利用三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求； （2）△ABC的面积1×2＝1． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 20．（7分）为进一步加强中小学生对于民族文化的认同感，某中学开展了形式多样的传统文化教育培训活动．为了解培训效果，该校组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，并在赛后随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下： 七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83； 八年级10名学生竞赛成绩中分布在80＜x≤90的成绩如下：84，85，85，85，86． 【整理数据】： 年级 0＜x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 七年级 2 m 4 1 八年级 1 3 5 1 【分析数据】： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 ▲ a 81 71.6 八年级 80 85 b 59.8 根据以上提供的信息，回答下列问题： （1）填空：m＝　3　 ，a＝　83　 ，b＝　84.5　 ． （2）求七年级10名学生竞赛成绩的平均分． （3）根据以上统计结果，从不同角度说明七年级与八年级中哪个年级成绩更优秀． 【分析】（1）根据中位数，众数定义可得a，b的值，由七年级学生总人数可求出m的值； （2）根据算术平均数公式计算即可； （3）根据平均分，中位数，众数可得答案． 【解答】解：（1）m＝10﹣2﹣4﹣1＝3， 在75，83，79，89，79，83，95，70，64，83中，出现次数最多的是83， ∴众数a＝83； m＝10﹣2﹣4﹣1＝3， 八年级成绩中处于中间的两个数据为84和85， ∴中位数b84.5； 故答案为：3，83；84.5； （2）（75+83+79+89+79+83+95+70+64+83）＝80（分）， 答：七年级10名学生竞赛成绩的平均分为80分； （3）我认为八年级成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数和众数均都大于七年级． 【点评】本题考查了中位数，众数，算术平均数和方差等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是关键． 21．（6分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）若x＝3是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且b﹣ac＝﹣1，求b的值． 【分析】（1）把x＝3代入ax2+bx+c＝0，化简即可得到答案； （2）由b﹣ac＝﹣1得到ac＝b+1，代入跟的判别式，化简得Δ＝b2﹣4b﹣4＝0，解关于b的方程即可证得结论． 【解答】解：（1）∵若x＝3是方程的一个根， ∴9a+3b+c＝0， ∴3b+c＝﹣9a， ∵a≠0， ∴3； （2）∵b﹣ac＝﹣1， ∴ac＝b+1， ∵方程有两个相同的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4（b+1）＝b2﹣4b﹣4＝0， 解得b＝2， ∴b的值为2+2或2﹣2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根的判别式，掌握：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键． 22．（8分） 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． 任务2 根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． 任务3 根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【分析】任务1、设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据正月初一的客运收入为5万元，正月初三的客运收入达到7.2万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2、设降价m元，则下调后定价为（50﹣m）元，销售量为（40+8）份，根据使平均每天的销售利润达到1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3、设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为（50﹣y）元，销售量为（40+8）份，根据平均每天能否获利1600元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【解答】解：任务1、设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x， 由题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为20%； 任务2、设降价m元，则下调后定价为（50﹣m）元，销售量为（40+8）份， 由题意得：（50﹣m﹣20）（40+8）＝1200， 整理得：m2﹣20m＝0， 解得：m1＝20，m2＝0（不符合题意，舍去）， ∴50﹣m＝30， 答：下调后每份套餐的售价是30元； 任务3、该店平均每天能获利1600元， 设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为（50﹣y）元，销售量为（40+8）份， 由题意得：（50﹣y﹣20）（40+8）＝1600， 整理得：y2﹣20y+100＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×100＝0， ∴原方程有两个相等的实数根， 解得：y＝10， ∴50﹣m＝30， ∴该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（9分）如图，已知一次函数交x轴于点B，交y轴于点A，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线AO方向运动；同时点Q从点O出发以每秒1个单位的速度沿射线OB方向运动，过点Q作CQ⊥OB交直线AB于点C，连结CP、PQ，设运动时间为t秒． （1）求OA和OB的长． （2）若，求点C的坐标． （3）当△APC的面积等于△PQC与△QBC的面积之和时，求t的值． 【分析】（1）根据一次函数的图象特点求A、B点坐标即可； （2）由题可知P（0，8﹣2t），Q（t，0），C（t，t+8），再由CP，求出t的值即可求P点坐标； （3）当0＜t＜6时，根据题意得t2t2+4tt2﹣8t+24，解得t＝﹣2+2或t＝﹣2﹣2（舍）；当t＞6时，根据题意得t2t2﹣4tt2﹣8t+24，解得t＝18+6或t＝18﹣6（舍）． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝8， ∴A（0，8）， ∴OA＝8， 当y＝0时，x＝6， ∴B（6，0）， ∴OB＝6； （2）由题可知P（0，8﹣2t），Q（t，0）， ∵CQ⊥x轴， ∴C（t，t+8）， ∵， ∴， 解得t＝±， ∵t＞0， ∴t， ∴C（，6）； （3）∵AP＝2t，CQ＝|t+8|，BQ＝|6﹣t|， 当0＜t＜6时，△APC的面积t2，△PQC的面积t（t+8）t2+4t，△QBC的面积（t+8）（6﹣t）t2﹣8t+24， ∴t2t2+4tt2﹣8t+24， 解得t＝﹣2+2或t＝﹣2﹣2（舍）； 当t＞6时，△APC的面积t2，△PQC的面积t（t﹣8）t2﹣4t，△QBC的面积（t﹣8）（t﹣6）t2﹣8t+24， ∴t2t2﹣4tt2﹣8t+24， 解得t＝18+6或t＝18﹣6（舍）； 综上所述：t的值为﹣2+2或18+6． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形面积的求法，分类讨论是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $