第9章 分式（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版七年级下册

第9章 分式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是分式；、、是整式； 故选：C． 2．当时，下列分式中，值为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.当时，分式无意义，不符合题意； B.当时，，不符合题意； C.当时，，不符合题意； D.当时，，符合题意； 故选：D． 3．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意； B、，原式计算错误，符合题意； C、，原式计算正确，不符合题意； D、，原式计算正确，不符合题意； 故选：B． 4．若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【详解】解：∵代数式中的a与b都扩大2倍， ∴， ∴这个代数式的值扩大2倍． 故选：B． 5．（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 故选：D． 6．若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合同同类型，得， 将系数化为1，得， 分式有增根， ， ． 故选A． 7．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺， 根据题意可得： 故选：B． 8．关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：， 方程两边都乘以，得：， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：C． 9．以下四个说法：分式是最简分式；将分式中的，都扩大到原来的倍，分式的值不变；若分式的值为，则；若关于的方程无解，则的值是．正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：∵分式的分子和分母在实数范围内无公因式，无法约分， ∴是最简分式， ∴说法正确， ∵将、扩大到原来的倍，分式变为， ∴分式的值扩大为原来的倍， ∴说法不正确， ∵分式的值为时，分子 解得，， ∵分母， ∴， ∴说法正确， ∵方程无解，或， ∴说法不正确， ∴说法正确的有个， 故选：． 10．若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（  ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：解不等式组 ， 解得 该不等式组有且只有个整数解，即三个整数解为，，1， 解得． 解分式方程 得． ，且， ，，解得且． 综上，且． 为整数， 或，即满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为． 12．已知，则分式的值为：_____． 【答案】7 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：7 13．已知关于的分式方程的解为2，则_____． 【答案】5 【详解】解：把代入分式方程，得：， 化简得：， 解得：； 故答案为：5． 14．使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；根据上述材料，则： （1）使等式成立的的值为______． （2）使等式成立的的值为______． 【答案】 或； 或． 【详解】（1）解：根据题目所列举等式的规律可得， 使等式成立的的值为或， 故答案为：或； （2）解：根据题目所列举等式的规律可得， ， 即， 使等式成立的的值为或， 故答案为：或． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．解方程： 【详解】解：， 两边同乘得：， 展开：， 化简：， 解得， 检验：时，，故是增根， 所以原方程无解． 16．先化简，其中且a为整数，请你从中选取一个合适的数代入求值． 【详解】解：原式， 由题意得：， 故当时，原式． 17．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学 乙同学 第一步 第二步 第三步 第一步 第二步 第三步 (1)老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第______步开始出现错误，乙同学的解答从第_____步开始出现错误； (2)请重新写出此题的正确解答过程． 【详解】（1）解：经过观察，甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误； 故答案为：一；二； （2）解： ． 18．2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元． (1)求，两种客房的单价分别是多少； (2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少? 【详解】（1）解：设客房每间客房的租金为元，则客房每间客房的租金为元．根据题意， 得：， 解得：， 检验：时，， 是原分式方程的解． 答：A，B两种客房的单价分别是元，元． （2）解：设租住客房间，则租住客房间，根据题意， 得：， 解得：， 为整数，即或或， 故有3种方案，分别为： 方案1：租住客房间，则租住客房间 费用是（元）； 方案2：租住客房间，则租住客房间； 费用是（元）； 方案3：租住客房间，则租住客房间． 费用是（元）； ∵ ∴最省钱方案的费用为元 19．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）． 故答案为：． 证明：左边 右边， 所以等式成立． 20．请阅读下列材料，并回答问题： 在解分式方程时，小统的解法如下： 解：方程两边同乘以，得：① 去括号，得：② 解得． 检验：当时，③ 所以，原方程的解是． (1)出现错误的步骤是______（填序号）； (2)写出上述分式方程的正确解法． 【详解】（1）解：出现错误的步骤是， 故答案为：①②； （2）解：， 方程两边同乘以，得：， 去括号，得：， 解得， 检验：当时，， 所以，原方程的解是． 21．学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价是元，则羽毛球拍的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 当时，（元）， 答：乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元； （2）解：设乒乓球拍有m副，则羽毛球拍有副， 根据题意，得： 当时， 解得 ， 又∵， ∴，即； 当时，， 解得 ， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴； ∴（种）， 答：共有种方案． 22．著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）①； ② （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或或． 23．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 分式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．当时，下列分式中，值为的是（  ） A． B． C． D． 3．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 5．（ ） A． B． C． D． 6．若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 7．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 8．关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 9．以下四个说法：分式是最简分式；将分式中的，都扩大到原来的倍，分式的值不变；若分式的值为，则；若关于的方程无解，则的值是．正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．若整数a使关于x的不等式组有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（  ） A．6 B．7 C．8 D．10 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若分式有意义，则的取值范围是______． 12．已知，则分式的值为：_____． 13．已知关于的分式方程的解为2，则_____． 14．使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；根据上述材料，则： （1）使等式成立的的值为______． （2）使等式成立的的值为______． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．解方程： 16．先化简，其中且a为整数，请你从中选取一个合适的数代入求值． 17．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学 乙同学 第一步 第二步 第三步 第一步 第二步 第三步 (1)老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第______步开始出现错误，乙同学的解答从第_____步开始出现错误； (2)请重新写出此题的正确解答过程． 18．2025年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区、两种客房一天下面是有关信息：用6000元租到客房的数量与用4400元租到客房的数量相等．已知每间客房的单价比每间客房的单价多80元． (1)求，两种客房的单价分别是多少； (2)若某旅行团现需要租住，两种客房共30间，客房的数量不低于客房数量的，且所花总费用不高于7600元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少? 19．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明． 20．请阅读下列材料，并回答问题： 在解分式方程时，小统的解法如下： 解：方程两边同乘以，得：① 去括号，得：② 解得． 检验：当时，③ 所以，原方程的解是． (1)出现错误的步骤是______（填序号）； (2)写出上述分式方程的正确解法． 21．学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 22．著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 23．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $