江西宜春中学等校高三年级5月高考大练兵数学试题

绝密★启用前 高三年级5月高考大练兵 数学 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： L.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.已知向量a=(3,-1).b=(-2,k),且a1b,则k= A.6 B.-6 c号 2.若集合A={2,a,a2,B={2,4,且BCA,则a的值为 A.4 B.2或4 C.-2或4 D.±2或4 3函数)=2 sin lsin的值蚊为 引 B3引 c引 引 4.已知等比数列an的公比为q,且.a2a;=a,a1+a2=4,则q= A.3 B.2 C.1 D时 5.某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面 积x(单位：亩)依次为8,10,13,16,20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年 利润y(单位：万元)与x满足线性回归方程y=2.5x+,则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润 的预测值为 A.60万元 B.65万元 C.70万元 D.75万元 高三数学第1页（共4页） 6.已知偶函数fx)满足当x>0时，x)=x+sin(x-1),则fx)的图象在x=-1处的切线方程为 A.2x+y+3=0 B.2x-y+1=0 C.2x-y-1=0 D.2x+y+1=0 7.若球O,与球02的体积之比为2a,表面积之比为a,且棱长为1的正方体的所有顶点都在球O,的 表面上，则球O2的表面积为 A.3m 3 C.π D. 4 &已知面积为4的正方形ABCD的顶点都在双曲线E:(Q>0,6>0)上，点P是E上与点A,一 B,C,D都不重合的动点.记PA,PB,PC,PD的斜率分别为k1,k2,k,k4,若E的虚轴长的取值范围 为(2,4)，则kk,kk4的取值范围是 A.(2,5) B.(4,25) C.(25,289) D.(5,17) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 5i 9.已知复数z= 2则 A.z=1 B.z在复平面内对应的点位于第二象限 C.z=-2-i D.(z+2)7=i 10者8-1o3.01 >0,则a的值可能是 5 03 A.logo.32 B.8 5π C.sin Ig 2 11.已知圆C1:x2+(y-2)2=4与曲线C2:x+ay-y3=0,则 A.C1,C2恒有公共点 B.当ae(0,1)时，C,C,恰有2个公共点 3 C.当u=2时，C,C,在ye(0,+0)时的公共点有3个 D.当a=3时，直线x=t与C,有3个公共点的充要条件是直线x=t与圆C,相交 高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(2x-√)°展开式中的第5项的系数为 13.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,若点P为C在第一象限内的一点，且|PF|=6,则直线PF的斜 率为 14.已知数列an}中，a。为正整数，且a1-a,=n,a1=3,an<12,则当a5的值最大时，满足 (-1)·i=立a,的k的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15(13分)记A8c的内角A,8C的对边分别为a6c.已知6sG=,且上=2m (1)求sinB; (2)若点D为BC的中点，且b=2,求AD 16.(15分)已知函数x)=+x (1)讨论几x)的单调性； (2)若当0时.1+hx1+。a,求a的取值范围 17.（15分)如图，四棱柱ABCD-A,B,C,D,的所有棱长都为2√3，三棱锥C,-ABC是正三棱锥 （1)证明：平面BC,D⊥平面ACC,A: (2)求直线CA,与平面ABC,所成角的正弦值 B 高三数学第3页（共4页） 18.(17分)某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知， 单次发射成功的概率为号失败的概率为了，发射结果相互独立，计划发射多次 (1)若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次.记发射的次数 为X,求X的分布列与期望： (2)若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概 率为子（即修复后，系统恢复到正常发射状态）.修复失败的概率为子考虑一个简化的连续 发射模型，从第【次发射开始.若发射成功，则继续进行下一·次发射：若发射失败但成功修 复.则继续进行下一次发射：若发射失败且修复失败，则试验终止：此外，若连续2次发射失 败，试验也终止 ()求至少发射3次的概率： (i)定义P,为第n次发射成功的概率，是否存在实数t使得数列{P1-P.为等比数列？若 存在，求出t的值：若不存在，请说明理由. 9(7分已知点4，分到是骑圆C号若100的左，有顶点.A=4且C的高心车 (1)求C的方程； (2)若点P是C上与A,A2不重合的点，直线A,P,A,P与直线x=4分别交于点G,H.求|GH的 最小值； (3)若不过点A,且斜率为)的直线与C交于M,N两点，证明：△A,MN的外心恒在定直线上. 高三数学第4页（共4页）高三年级5月高考大练兵 数学参考答案 1.【答案】B 【解析】因为a1b,所以a·b=3×(-2)-1·k=0,所以k=-6.故选B. 2.【答案】C 【解析】当a=4时A=2,4,16,满足B二A;当a2=4时，因为a≠2，所以a=-2,此时A={-2,2,4},满足B二A. 故选C. 3.【答案】D 【解当血e0时=弓ne,引当ne-1.0时=子e所以)的值 越为引放选D 4.【答案】A 【解析1由a:0,=a4得a9·a1=a19,因为41≠0，q≠0，所以a,=1,a,=4-a1=3,g=0=3.故选A a 5.【答案】C 【解析1由已知得=8+10+13+16+20=13.4，j=1425=28.5,因为点(，列在回归直线上，所以285=2.5× 5 5 13.4+à，a=-5,所以当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为2.5×30-5=70万元.故选C. 6.【答案】D 【解析】当x>0时x)=x+si(x-1),∫'(x)=1+cos(x-1),因为x)为偶函数，所以f(-x)=f代x),当x≠0时两边 求导得∫'(-x)=-∫'(x),所以-1)=1)=1，∫'(-1)=-∫'(1)=-2，所以(x)的图象在x=-1处的切线方程为 y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.故选D. 7.【答案】B 【解析】设球0，与球0，的半径分别为，则 =2a,三=a,所以=2.因为棱长为1的正方体的所有顶点都 r2 在球0，的表面上，所以=5，=5 号。=，所以球0，的表面积为4平故选B 8.【答案】B 【解析】因为面积为4的正方形ABCD的顶点都在双曲线E上，由对称性，不妨令A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1), D(-1,1),则 京1，即=1+b2,由已知得2b∈(2,4)，则be(1,2),∈(2,5).设P(m,),则m” 11 061， 11 2=分，所以.-12 a2户=1，相减得21 1m=1=又km-名大， m所以6=k=后，所以 b h,k,-7∈(4,25).故选B. 9.【答案】BC(每选对1个得3分) 解折对于A山2手5，放A带误：对于B,- 5i_5i(1+21=-2+i,:在复平面内对应的点为 5 (-2,1),位于第二象限，故B正确；对于C,z=-2-i,故C正确；对于D,z+2=i,(z+2)7=i=-i,故D错误故选BC. 高三数学第1页（共6页） 10.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解折1因为0010线，所以2g01k3,所以由喝0得a<减心0L由g2<0.故 5 03 A正确：由- 6251 640 81 <80 =g<2,故B精误：由sm号<0，故C正确：由2g,0>3.故D正确故 选ACD. 11.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解析】点(0,0)是圆x2+(y-2)2=4与曲线x+y-y3=0的公共点，故A正确；对于B,当y≠0时，把x=y3-a心y代 入x2+(y-2)2=4,得y6-2ay+(a2+1)y2-4y=0,因为y≠0，所以y5-2ay3+(a2+1)y-4=0,对于满足该方程的每 一个y,代入x=y3-ay求得的x只有1个.设爪y)=y-2y3+(a2+1)y-4,则0不是y)的零点f'(y)=5y-6ay2+ a2+1,当0<a<1时，(-6a)2-4×5(a2+1)=16a2-20<0,f'(y)>0,y)单调递增，且f0)=-4<0,/(2)=30-16a+ 2a2>0,f(y)有1个零点，C,C2共有2个公共点，故B正确；对于C,当a= 2时，"0=5y-9y2+ 4 2(5,2-心)在区间0.写上单调遥增，在区间 √/130 2 10 上单调递减，在区间130 10 +∞上单调 递塔，且00份=-4<0.所以 21 <0,又2)= >0,所以八)在区间(0，+∞)上有唯一零点，故 C错误；对于D,直线x=t与C1相交的充要条件是-2<t<2,设g(y)=y-3y,则g'(y）=3(y2-1),g(y)在区间 (-0,-1)上单调递增，在区间(-1,1)上单调递减，在区间(1，+0)上单调递增，且g(-1)=2,g(1)=-2,所以直 线x=t与曲线C2有3个公共点的充要条件是-2<1<2，故D正确.故选ABD. 12.【答案】240 【解析】(2x-2)°展开式中的第5项的系数为C22×(-√2)4=240. 13.【答案】22 【解析】由已知得F2.0,设P,)(m0,a>0.则P=m+2=6,m=4,n=45.所以直线PF的斜率为m二2 22. 14.【答案】66 【解析】由题意得a1,a2,a3,a4,a,的可能取值如图所示.由图可知a5最大为11，由a6-11=5,则a6=6或16，因 为16>12，所以a6=6,所以a.=3+2+4+7+11+6=33,当k=2m(meN)时，(-1)i=m=33,k=66,当k=2m-1 (meN)时，宫(-)i=-1+分×-)=m<0,满足条件的上不存在.所以k=6 3 高三数学第2页（共6页） 15解：(1)由余弦定理得么=2osA=+c-a ,(1分) be 整理得a=c,(3分) 所以A=C,(4分) 2 因为osC=3,所以simC= 2源.5分) 所以nB=sn(m-20=in2C=2 iCooC=2x25×45.(6分) 339 (2)由(1)知A=C,所以=2sA=2csC=子，(7分) 2 因为b=2,所以c=a=3,(9分) 在△ACD中由余弦定理得 1 ）-2b·2a·osC(10分) 31 ）-2x2×2×3(11分) =17 2 (13分) 16.解：(1)因为x)=二+x,所以∫'(x)= e 分 设g(x)=e'+1-x,则g'(x)=e-1,(2分) 所以当x∈(-0,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(0，+o∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，(3分) 所以g()≥g(0)=2>0,即f()=到0，(5分) e 所以代x)在R上单调递增.(6分) (2)1+)nx<1+ x axx,导mx+nx父 即fnx)<ax),(8分) 因为f(x)在R上单调递增， 所以n<x,即ahx,(9分) 设国兰则中，(0分 所以当xe(0,e)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，当xe(e,+oo)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，(11分) 1 所以h(x)≤h(e)=,(13分) 所以a>,即a的取值范围是（二，+，(15分） e 高三数学第3页（共6页） 17.(1)证明：由已知可知四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD,(1分) 设AC∩BD=E,则E为AC的中点，连接C,E, 因为三棱锥C,-ABC是正三棱锥，C,A=CC1,(2分) 所以C,E⊥AC,(3分) 因为BDnC,E=E,所以AC⊥平面BC,D,(4分) 因为ACC平面ACC,A,所以平面BC,D⊥平面ACCA·(6分】 1r女 (2)解：由已知可得三棱锥C,-ABC是所有棱长均为25的正三棱锥， 过点C,作C,0⊥BD于点O,则0C1⊥平面ABCD,且OC,=22,OB=2,OE=1,(7分) 以0为原点，在平面ABC内过点0与OB垂直的直线为x轴，直线OB,OC,分别为y,z轴，建立如图所示的空 间直角坐标系0-2，(8分) 则A(3,-1,0),B(0,2,0),C(-5,-1.0),C(0,0,22),(9分） 所以A店=(-5,3,0)，AC=(-5,1,22),C=(25,0,0),CC=(5,1,22),(10分) 所以CA=CC+CA=(35,1,22).(11分) n·AB=0,「-3x+3y=0, 设平面ABC,的法向量n=(x,y,),则 即 (12分) n.AC=0,-3x+y+22z=0, 取x=25,则y=2,z=2,得n=(25,2,2),(13分) 设直线CA,与平面ABC,所成的角为0， 则sin0= n·CM124-22 In CA 3/2x6 3 所以直线C4,与平面BC,所成角的正孩值为(15分) 18.解：(1)由题知，X的所有可能取值分别为1,2,3,4，(1分) 11 则Px=0-×1,2).2分) 所以X的分布列为 1 3 4分) 2 4 8 3 9 27 27 2727(5分) 高三数学第4页（共6页）》 (2)()记第i次发射成功为事件A,第i次发射失败后修复成功为事件B:, 期4-号P不号B)-子，6分) 记至少发射3次为事件C,则C=A42+A,A2B2+AB42,(7分) 所以P(C)=P(A)P(A2)+P(A)P(A2)P(B2)+P(A)P(B)P(A2)(8分) =2x2+2x1x31327 =*兮+亏*3*43×*5g(10分) -X- (ii)第n+2次发射成功有2种情形：第n+1次、第n+2次发射成功，或第n次发射成功，第n+1次发射失败且发 射失败后修复成功，第n+2次发射成功，(11分) 所以P2=P· .x2x2…+合.3分 +P.·3433 设Pn2-tP1=s(Pn1-tP),则P42=(st)P1sPn,(14分) 2 [.2+/10 [2-/10 s+l= E- 3’ 61 6 所以 解得 或 (15分) 1 =- 2-√10 2+/10 6 6, S=- 6 2 =2×2+×2x2-,所以=2生时P,-P,≠0，PP,是等比数列，(16分) 因为P=行P=3×3+3×4*行18 6 所以1=2生10 6(17分) 19.(1)解：因为A,A2=2a=4,所以a=2,(1分) 因为c的心率为时所受矿号解特=38分剂 a 所以C的方E为子号 =1.(4分) (2)解：设直线AP的方程为y=k(x+2),令x=4,得G(4.6k),(5分) 设点P(,其中≠±2，则疗=3，(6分) 3x2 则k=2·,=4=3 43 3 所以y=4(7分) 所以直线4P的方程为y=品(-2》. 所以4，动别(8分) 1=62616,9分 3 当且仅当k=2时等号成立. 故|GH的最小值是6.(10分) 高三数学第5页（共6页） 1 (3)证明：设M(xy),Mx2),直线MN的方程为y=2+m(m≠1)， y=2+m, 联立 得x2+mx+m2-3=0, 43 所以△=12-3m2>0,-2<m<2,且x1+x2=-m,x1x2=m2-3,(11分) 1+=2(x+x)+2m=2m, 位n分树ma.(2分) 4 设△A,MN的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 把点A,(-2,0)代入圆的方程得F=2D-4,(13分) 因为点M,N在圆上，所以x+y+Dx,+Ey,+2D-4=0①，x号+y2+Dx2+Ey2+2D-4=0②， ①+②得(x+x)+(y+y)+D(x,+x2)+E(y1+y2)+4D-8=0, 其中x7+x号=(x1+x2)2-2x1x2=(-m)2-2(m2-3)=-m2+6, 7+3=0g）2-2-(2m 13123(m2-1)_3(m2+2) 2 4 所以-m2+6+3(m+2) 3m 4 -mD+2E+4D-8=0, 取m-0D:4分列 2 ①-②得(x子-x)+(y斤-y)+D(x1x2)+E(y1y2)=0 易得x0,且1 x1-x32 上式两边同时除以，得+)+D+之=0， 3 整理得-m+4m+D+ 8=0.即m=4042E.(15分) 代Ae-0受5=得=4-0rn 2 所以E=2D- 2,或E 20(16分) 当= -2D时，m=4D+2E=1,不满足题意， 1 所以E=2D-2,即-4D+2E+1=0, 即点（号）在定直线84+1=0上. 所以△A,MN的外心恒在定直线8x-4y+1=0上.(17分) 高三数学第6页（共6页）》