北京市朝阳区日坛中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 北京市朝阳区日坛中学八年级期中数学试卷，以《九章算术》立木问题、亚运场馆设计等情境融合二次根式、勾股定理等知识，通过“二倍点”新概念探究题考查创新意识，体现数学眼光与思维的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题/24分|最简二次根式、函数图像、平行四边形判定|第6题网格弧长计算，考查几何直观| |填空题|8题/24分|二次根式意义、多边形内角和、动点最值|第14题《九章算术》问题，渗透文化传承| |解答题|8题/52分|二次根式运算、四边形证明、函数探究|第24题绿化改造计算，体现模型意识；第26题“二倍图”概念，发展创新思维|

北京市朝阳区日坛中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（共24分，每题3分） 1．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列各组数据中，能构成直角三角形的是（　　） A．，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．3，3， 3．（3分）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD 6．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交网格线于点D，则ED的长为（　　） A． B． C． D．3 7．（3分）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠ABC＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠AOE的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，△BEF和△DEF都是等边三角形，连接BD交EF于点O．有下列结论：①AE＝CF；②AB＝BO；③BD垂直平分EF；④．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共24分，每题3分） 9．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为　 　 ． 10．（3分）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝120°，则∠B＝　 　 ． 11．（3分）某2026年亚运场馆的外观采用了正多边形设计，经计算，其内角和比外角和大720°，则该正多边形的边数为　 　 ，它的每个外角的度数为　 　 °． 12．（3分）如图，l1∥l2，AB＝4，S△DAB＝4，则点C到AB的距离为　 　 ． 13．（3分）如图，D、E分别为AB、AC中点，点F在DE上，且∠AFC＝90°，若DF＝1，AC＝7，则BC的长为 　 　 ． 14．（3分）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱AB，在木柱的上端系有绳索AC，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索AC用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为x尺，根据题意列方程为 　 　 ． 15．（3分）如图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． （1）这一变化过程中，自变量是　 　 ； （2）晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为　 　 ℃，熔化过程持续了　 　 min． 16．（3分）如图：点A在线段BC上，AB＝4，AC＝6，△DAB是等边三角形，四边形ADEF是正方形，点P是BE上一个动点，连接PA，PC则PA+PC的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本题共52分，第17-24题，每小题5分，第25-26题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．（5分）． 18．（5分）已知，，求代数式m2+mn的值． 19．（5分）如图，将平行四边形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，连接BF，DF，BE，DE，且使CE＝AF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 20．（5分）如图，△ABC中，点D，E，F分别是△ABC各边中点，连接BD、DF、DE、CF，BD＝CD． （1）求证：四边形BEDF是矩形； （2）若BD＝4，∠A＝60°，求CF的长． 21．（5分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过B，C两点分别作AC、BD的平行线，两直线相交于点F． （1）求证：四边形BFCO是菱形； （2）若AB＝3，BC＝4，求四边形BFCO的面积． 22．（5分）有这样一个问题：探究函数y＝|x|﹣1的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣1的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： （1）函数y＝|x|﹣1的自变量x的取值范围是　 　 ； （2）表格是y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … a … 3 m 1 0 ﹣1 0 1 2 3 … 则m的值为　 　 ； （3）请在下面的平面直角坐标系xOy中，画出函数y＝|x|﹣1的图象； （4）观察图象，写出该函数的两条性质． 23．（5分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形ABCD是平行四边形． 求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）． 作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F； ②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E； ③连接EF． 所以四边形ABEF为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：∵AF＝AB，BE＝AB， ∴　 　 ＝　 　 ． 在▱ABCD中，AD∥BC， 即AF∥BE， ∴四边形ABEF为平行四边形（ 　 　 ）（填推理的依据）， ∵AF＝AB， ∴四边形ABEF为菱形（ 　 　 ）（填推理的依据）． 24．（5分）为响应政府“公园城市建设”的号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地进行绿化改造，测得∠A＝90°，AB＝20m，AD＝15m，CD＝7m，BC＝24m． （1）若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m，求铺设这条鹅卵石路的最低花费． （2）如果种植草皮的费用是200元/m2，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少钱？ 25．（6分）正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为直线AC上一点（点E不与点A，O，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE，交直线AD于点F，过点F作直线AC的垂线，垂足为点G． （1）如图1，当点E在线段OC上． ①求证：BE＝EF； ②用等式表示线段AF，EC，AB之间的数量关系，并加以证明． （2）当点E在线段CO的延长线上，直接用等式表示线段AF，EC，AB之间的数量关系． 26．（6分）已知点M为图形W1上一点，点N为图形W2上一点（M，N不重合），若一点P能使得点M为线段NP的中点，则称点P为图形W2关于图形W1的“二倍点”．若图形W上每一点都是图形W2关于图形W1的“二倍点”，且图形W2关于图形W1的“二倍点”都在图形W上，则图形W为图形W2关于图形W1的“二倍图”． 在平面直角坐标系中，点A（1，0），B（0，2），C（2，﹣1），D（3，3）． （1）在点E（3，0），F（1，2），G中，点　 　 是点O关于线段AB的“二倍点”； （2）若图形W为线段AB关于线段CD的“二倍图”，则图形W的面积为　 　 ； （3）点T（t，0）是x轴上一动点，正方形A1A2A3A4的各顶点坐标为A1（t﹣1，1），A2（t﹣1，﹣1），A3（t+1，﹣1），A4（t+1，1），线段AB上任一点都为正方形A1A2A3A4关于正方形A1A2A3A4的“二倍点”，直接写出t的取值范围． 北京市朝阳区日坛中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 1、 选择题（共24分，每题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A A B A D 二、填空题（共24分，每题3分） 9．x≥3． 10．120°． 11．8，45． 12．2． 13．9． 14．x2﹣（x﹣3）2＝82． 15．80，15． 16．． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 三、解答题（本题共52分，第17-24题，每小题5分，第25-26题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．解：原式＝2232 ＝32． 18．解：m2+mn＝（1）2+（1）（1）＝3+21+3﹣1＝26． 19．证明：如图，连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，BO＝OD， 又∵CE＝AF， ∴AO+AF＝CO+CE， 即FO＝EO， 又∵BO＝DO， ∴四边形BEDF为平行四边形． 20．（1）证明：∵点D，E，F分别是△ABC各边中点， ∴DE、DF是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DF∥BC， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BD＝CD，点E是BC的中点， ∴DE⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∴四边形BEDF是矩形； （2）解：由（1）得：四边形BEDF是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵点D是AC的中点， ∴BDAC， ∴AC＝2BD＝8， ∵∠A＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴ABAC8＝4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC4， ∵点F是AB的中点， ∴BFAB4＝2， 在Rt△CBF中，由勾股定理得：CF2． 21．（1）证明：∵BF∥AC，CF∥BD， ∴BF∥OC，CF∥OB， ∴四边形BFCO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OC， ∴四边形BFCO是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 由勾股定理得：， ∴， 由（1）知，四边形BFCO是菱形， ∴BF＝FC＝OC＝OB， ∴四边形BFCO的周长为：． 22．解：（1）由题知， 函数y＝|x|﹣1的自变量x的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． （2）将x＝﹣3代入y＝|x|﹣1得， y＝2， 所以m的值为2． 故答案为：2． （3）函数图象，如图所示， （4）由（3）中的函数图象可知， 该函数的两条性质为：函数的最小值为﹣1；图象关于y轴对称（答案不唯一）． 故答案为：函数的最小值为﹣1；图象关于y轴对称（答案不唯一）． 23．解：（1）四边形ABEF为所求作的菱形． （2）∵AF＝AB，BE＝AB， ∴AF＝BE， 在▱ABCD中，AD∥BC． 即AF∥BE． ∴四边形ABEF为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）． ∵AF＝AB， ∴四边形ABEF为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形．） 故答案为：AF，BE，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 24．解：（1）如图，∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，连接BD， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∵铺设成本为120元/m， ∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为120×15＝1800（元）； （2）∵CD＝8m，BC＝17m，BD＝15m， ∴CD2+BD2＝82+152＝289＝172＝BC2， ∴△BDC为直角三角形，∠BDC＝90°， ∴整块空地的面积为：， ∵种植草皮的费用是200元每平方米， ∴整块空地上种植草皮共需投入114×200＝22800（元）． 25．（1）①证明：如图1，过点E作MN⊥BC于M，交AD于N，连接DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AD＝CD，∠BCE＝∠DCE＝∠DAC＝45°，AD∥CB， ∴MN⊥AD， ∴∠BME＝∠ENF＝90°， ∴△CEM和△AEN是等腰直角三角形， ∴AN＝EN，BM＝AN＝EN， ∵BE⊥EF， ∴∠BEF＝∠BEO+∠FEG＝90°， ∵∠BEM+∠BEM＝90°， ∴∠EBM＝∠FEN， ∴△BME≌△ENF（AAS）， ∴BE＝EF； ②解：CE+AF＝AB； 证明：∵AE＝AE，AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE， ∴DE＝EF， ∵EN⊥AD， ∴DN＝FN＝CM， ∵EM⊥BC， ∴△CEM是等腰直角三角形， ∴CMCE， ∵AB＝AD＝DN+FN+AF， ∴2CM+AF＝AB， ∴CE+AF＝AB； （2）解：ABCE﹣AF．理由如下： 如图2，过点E作MN⊥CB于N，交AD于N，连接DE， 由（1）同理得：BE＝DE＝EF，DN＝FN，CMCE， ∵AD＝DF﹣AF＝2CM﹣AF， ∴ABCE﹣AF． 26．解：（1）设直线AB的解析式是：y＝kx+b， 将点A，B的坐标代入解析式得：， 解得：， ∴直线AB的解析式是：y＝﹣2x+2， 由题意可知：若点P是点O关于线段AB的“二倍点”，则OP的中点在线段AB上， 对于点E（3，0），OE的中点是：点， 当时，y＝﹣2x+2＝﹣1≠0， ∴点不在线段AB上，即点E（3，0）不是点O关于线段AB的“二倍点”； 同理：OF的中点在线段AB上，即点F（1，2）是点O关于线段AB的“二倍点”； OG的中点不在线段AB上，即点不是点O关于线段AB的“二倍点”； 故答案为：F； （2）由题意可知：如图所示：点关于线段的“二倍图”，就是以这条线段为中位线的第三边，如图中点O关于线段AB的“二倍图”即为CD，此时AB是三角形OCD的中位线， 由中位线定理可知：即当AB长度不变时，CD的长度不变， ∴线段关于线段的“二倍图”就是线段平移产生的图形，这个图形是线段或者平行四边形， 如图所示，图形W为线段AB关于线段CD的“二倍图”是平行四边形EFHG， 其中点A关于线段CD的“二倍图”是EG，点B关于线段CD的“二倍图”是FH， 则C是AG的中点， 设点G为（x，y）， 又∵A（1，0），C（2，﹣1）， ∴，， 解得：x＝3，y＝﹣2，即G（3，﹣2）， 同理可得：E（5，6），F（6，4），H（4，﹣4）， ∴该部分面积等于长方形面积减去四个直角三角形的面积， 即图形W的面积为：， 故答案为：12； （3）或2≤t≤3，理由如下： 如图所示：正方形A1A2A3A4的边长为2． 正方形A1A2A3A4关于正方形A1A2A3A4的“二倍图”如图所示，它是由一个与正方形A1A2A3A4共对角线的交点即点T且边长为6且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方形A1A2A3A4的内部所得到的． 所以点T到该部分的外边界与x轴的交点的距离是3，到该部分的内边界与x轴的交点的距离是1， 要使得线段AB上任一点都为正方形A1A2A3A4关于正方形A1A2A3A4的“二倍点”，只需该部分包括线段AB即可． ①如图，当外边界与x轴的右交点是点A时，AT＝3， 所以t＝1﹣3＝﹣2； ②如图，当点A4与在线段AB上时， 将点A4，代入直线AB的解析式得：1＝﹣2（t+1）+2， 解得：； ③如图，当内边界与x轴的左交点是点A时，AT＝1， 所以t＝1+1＝2； ④如图，当点B与在该部分的左边界线上时， OT＝t＝3； 综上所述：t的取值范围是：或2≤t≤3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $