福建省南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习 数学

**基本信息** 融入费马问题、数字黑洞等文化情境，设置从基础运算到圆综合证明的梯度，适配一模备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、三视图、旋转、圆的切线、抛物线|第4题网格旋转考查空间观念，第10题抛物线平移结合不等式体现抽象能力| |填空题|6/24|因式分解、扇形面积、众数、解直角三角形、费马点|第15题气象观测俯角应用量感，16题费马点渗透几何直观| |解答题|9/86|尺规作图、概率、数字黑洞探究、圆内接四边形证明|23题数字黑洞培养推理意识，25题圆综合证明发展逻辑思维|

南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习 数学参考答案及评分说明 说明：（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分． （2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分． （3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分． 一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．A； 2．B； 3．C； 4．C； 5．B； 6．A； 7．D； 8．C； 9．B； 10．A． 二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．2(答案不唯一，只要即可）； 12．； 13．； 14．8 ； 15．185； 16．． 17.（8分） 解：原式=， 6分 (每个式子化简正确各得2分) . 8分 18.（8分） 证明：∵对角线平分， ∴∠BAC=∠DAC， 2分 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， 6分 ∴AB=AD. 8分 （说明：其它解法请参考评分标准酌情给分). 19.（8分） 解：将方程两边同时乘以，得： 1分 ， 2分 ， 4分 ， 6分 检验：当时，， 7分 所以，原分式方程的解为. 8分 （说明：其它解法请参考评分标准酌情给分). 20.（8分） （1）解：作图（痕迹2分，连线1分） 3分 ADEF即为所求菱形 4分 （2）解：∵ ∴ 5分 由（1）得，四边形ADEF是菱形，设菱形的边长为x ∴AD=DE=AF=x，DE∥AF， 6分 ∴△BDE∽△BAC，AC=AF+CF=x+2 ∴， 7分 即，解得 经检验是原方程的解 8分 ∴菱形的边长为3. （说明：其它解法请参考评分标准酌情给分). 21.（8分） （1）解：= -1 ；OC= ； 4分 （2）解：由（1）得=-1，OC=， 所以，直线的解析式为， 当y=0时，则，解得， 所以，， 所以，OB=6， 因为，四边形AOBC是平行四边形 所以，AC∥OB，AC=OB=6， 因为，A（2，4） 所以，C（8，4） 5分 过点C作CH⊥x轴于点H，则CH=4，OH=8， Rt△OCH中： 6分 由已知得，OP=CQ=， ①当时， 即， 解得，t=1，符合题意 7分 ②当时， ， 解得，t=3，符合题意 8分 综上所述，t=1或3. （说明：其它解法请参考评分标准酌情给分). 22.（10分） 解：（1）第一次摸出白球的概率是. 4分 （2） 从A成功到B的实质是：一次向右，一次向上. 5分 摸球的情况列表如下： 8分 共有9种等可能结果，符合条件的有4种， 9分 所以，P（从A成功到B）= 10分 （备注：学生答题正确，但未说明不扣分） （2） 从A成功到B的实质是：一次向右，一次向上. 5分 摸球的情况画树状图如下： 8分 共有9种等可能结果，符合条件的有4种， 9分 所以，P（从A成功到B）= 10分 （备注：学生答题正确，但未说明不扣分） 23. （10分） 解：（1）根据题意得， 321-123=198； 981-189=792； 1分 972-279=693； 2分 963-369=594； 3分 954-459=495. 4分 （2） ①解：根据题意得，a，b，c为非负整数， 最大数=100a+10b+c， 5分 最小数=100c+10b+a， 6分 所以，最大数与最小数的差=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c； 7分 ②解法一：由①得，最大数与最小数的差=99a-99c=99(a-c)， 因为最大数与最小数的差记为M=100x+10y+z， 所以，99(a-c)=100x+10y+z， 8分 99(a-c)+(a-c)-(a-c)=100x+10y+z， 100(a-c)-100+100-(a-c)=100x+10y+z， 100(a-c-1)+90+10-(a-c)=100x+10y+z， 9分 即100(a-c-1)+10×9+(10-a+c)=100x+10y+z， 又因为百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且a，b，c为非负整数，a > b > c， 所以，0＜a-c-1＜9，0<10-a+c＜9， 又因为x，y，z是整数，0≤x，y，z≤9， 所以，y=9. 10分 解法二：由①得，最大数与最小数的差=99a-99c=99(a-c)， 因为最大数与最小数的差记为M=100x+10y+z=99x+(x+10y+z) 所以，99(a-c)=99x+(x+10y+z)， 8分 x+10y+z=99(a-c)-99x=99(a-c-x）， x+10y+z能够被99整除， 9分 又因为x，y，z是整数，0≤x，y，z≤9， 所以，0≤x+z≤18，0≤10y≤90， 所以，0≤x+10y+z≤108， 又因为x+10y+z能够被99整除，x，y，z不全为0， 所以，x+10y+z=99， 又因为0≤x+z≤18， 所以，10y≥81， y≥8.1， 所以，y=9. 10分 （说明：其它解法请参考评分标准酌情给分) 24.（12分） 解：（1）把代入抛物线得： 1分 ， 2分 解得，， 3分 所以，函数的解析式为, 4分 （2）命题一正确; 5分 理由如下： 因为抛物线与x轴交于， 所以，当y=0时，则， 解得：，， 所以，， 又因为， 所以，直线AM的解析式为， 6分 由（1）得，抛物线的解析式为， 又因为点是直线AM上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交AM于点. 所以，，， 7分 所以， ， 8分 线段PQ的长是关于p的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线p=， 所以，当p>时，PQ随p的增大而减小， 所以，当时，PQ取得最大值-1+1+2=2， 当时，PQ取得最小值-4+2+2=0， 如果，则此时0<PQ<2<， 9分 所以，命题一正确 命题二不正确， 10分 反例：当时，此时PQ=. 12分 （说明：其它解法请参考评分标准酌情给分). 25.（14分） （1）解：示意图如图所示 1分 （解析：C与F重合时，FE就是CE，与AB交于点B，画示意图即可，不要求尺规作图) ∵∠DAB=120°，AE平分∠DAB ∴∠DAE=∠EAB=60° 连接DE， ∵AD=AB，AE=AE ∴△ADE≌△ABE（SAS） 2分 ∴DE=BE，∠DEA=∠AEB 又∵四边形ABCD是圆的内接四边形 ∴∠C=180°-∠DAB=60° 又∵DF=BE，F，C重合 ∴DE=DC ∴△DEC是等边三角形 3分 ∴∠CDE=∠DEC=60° ∴∠DEA=∠AEB=60° ∴△ADE和△AEB都是等边三角形 4分 ∴∠ADE=60°，CE=BE ∴∠ADC=120° ∵AD=AB，∠DAB=120°，连接DB ∴∠ADB=30° ∴∠BDC=90° ∴BC是圆的直径 5分 ∵圆的半径为2 ∴△DEC，△ADE，△AEB的边长为2 ∴ 6分 （2）证明：连接DE 同（1）可证∠C=60°，DF=DE，∠DEA=∠AEB ∴∠DFE=∠DEF 7分 ∵∠BEG=x° ∴∠CEF=x° ∴∠DFE=∠DEF=60°＋x° 8分 ∴∠DEA=∠AEB=60°－x° 9分 ∴∠AEF=60°＋x°＋60°－x°=120° 10分 （3）解法一：由（2）可知，∠AEF=120°，∠DAE=∠EAG=60°，DF=DE， ∠DEA=∠AEB=60°－x°，∠DFE=∠DEF=60°＋x°， ∴∠AEG=60° ∴△AEG是等边三角形 ∴AG=AE 11分 在FG上截取一点H使得GH=AD ∵∠DAE=60°=∠G=60° ∴△ADE≌△GHA （SAS） ∴AH=DE，∠ADE=∠AHG=60°＋x° ∴AH=DF，∠AHG=∠DFE 12分 ∴AH∥DF ∴四边形AHFD是平行四边形 ∴AD=FH 13分 ∴GH=FH ∴FG=2AD 14分 解法二：过点A作AH∥DF交FG于点H 由（2）可知，∠AEF=120°，∠DAE=∠EAG=60°，DF=DE， ∠DFE=∠DEF ∴∠AEG=60° ∴△AEG是等边三角形 ∴∠G=60°，AG=AE 11分 ∵∠DAG=120° ∴∠G+∠DAG=180° ∴DA∥FG ∵AH∥DF ∴四边形AHFD是平行四边形，∠ADE=∠DEF，∠AHG=∠DFE ∴AD=FH，∠ADE=∠AHG 12分 ∵∠DAE=∠G=60°，AG=AE ∴△ADE≌△GHA （AAS） ∴AD=GH 13分 ∴AD=GH=FH即FG=2AD 14分 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习 数 学 （时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效. 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最小的数是 A． B． C． D． 2. 将数据46 000 000用科学记数法表示为 A． B． C． D． 3. 下列几何图形中，三视图都相同的是 A． B． C． D． 4. 如图，在3×3的正方形网格中，A，B两点在格点上，线段AB绕点A逆时针旋转一定的角度后得到线段AC，点B与格点C对应，则旋转角的大小可以为 A．30° B．60° 第4题图 C．90° D．120° 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是 A．   B．   C． D． 6. 已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算： ，由公式提供的信息，可知样本容量是 A．30 B．38 C．39 D．41 7. 下列计算正确的是 A． B． C． D． 8. 如图，⊙O与PA，PB分别相切于点A，B，点C 在优弧AB上，若∠P=50°，则∠ACB的大小为第8题图 A．130° B．115° C．65° D．50° 9. 在矩形ABCD中，点E在边BC上，∠AEB=60°，将第9题图 △DCE沿着DE翻折，点C的对应点F恰好落在线段 AE上，则的值为 A． B． C． D． 10. 抛物线过点P(a，0)，Q(3a，0)，将抛物线向上平移2个单位后，得到抛物线：y=ax²+bx+c，若抛物线上有两点A（2a-2，），B（3a+1，），使得<一定成立，则a的取值范围为 A．或 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11．写出一个使得有意义的x的值 　． 12．因式分解 　． 13．一个圆心角为90°，半径为2的扇形面积为 　． （结果保留）第14题图 14．小明训练引体向上，记录了6次练习的成绩，结果 如图所示，则这组数据的众数是 　． 15．如图，在大气环境科研观测作业中，气象探测仪A位于地面气象站点C的正上方，从探测仪A上观测地面综合指挥台B的俯角为18°，已知AC⊥BC，AB=600m，则AC约为 　m．第15题图 （结果取整数，参考数据：sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249．） 16．“费马问题”是法国数学家皮埃尔·德·费马在1643年提出的一个著名的几何极值问题.问题的核心是：对任意三角形，都存在一个点，使得这个点到该三角形三个顶点的距离之和最小，这个点称为费马点.当△ABC的三个内角均小于120°时,使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.第16题图 如图，若AB=AC=10，BC=12，则PA+PB+PC的最小值是 　． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. （本小题满分8分） 计算：． 18. （本小题满分8分） 如图，在四边形ABCD中，，对角线平分． 求证：． 19. （本小题满分8分）第18题图 解方程：． 20.（本小题满分8分）第20题图 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段AE是△ABC的角平分线. （1）尺规作图：求作菱形ADEF，使得点D，F分别在边AB，AC上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，当CF＝2，时， 求菱形的边长． 21.（本小题满分8分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(2,4)的直线与x轴交于点B，四边形AOBC是平行四边形. （1）填空：=______，OC=______； （2）动点P从点O出发，沿对角线OC向终点C运动，同时动点Q从点C出发，沿对角线OC向终点O运动，运动速度都是每秒个单位长度．设两个点的运动时间为秒，在点P，Q运动过程中，当时，求出的值.第21题图 22.（本小题满分10分） 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个小球，其中红球1个，白球2个，从中随机摸出一个，记下颜色后放回袋子中，再随机摸球一次.第22题图 （1） 求第一次摸出白球的概率； （2） 如图，在3×3的正方形网格中设计一款小游戏，规则：从上述的不透明的袋子中摸出白球就往右移动一个单位长度；摸出红球就往上移动一个单位长度. 用列表法或画树状图求从A成功到B的概率. 23. （本小题满分10分） 阅读下列材料，回答相应问题.数字黑洞 在数论领域中，存在一类极具趣味性与逻辑性的数字规律——数字黑洞，其中最具代表性的三位数数字黑洞（又称卡普雷卡常数），由印度数学家达塔塔拉亚·拉姆钱德拉·卡普雷卡于1949年发现. 三位数黑洞规则简述如下： 1. 任选一个三位数（三个数字不能完全相同，如不能是111,222）； 2. 将这三个数字重新排列，得到一个最大数和最小数； 3. 用得到的最大数减去最小数，得到一个新的三位数（如果不足三位，前面补0），对新得到的三位数重复上述操作，经过有限次运算后，最终结果必然稳定在495，且无论后续重复多少次运算，结果都不会再发生改变，如同陷入黑洞无法跳出，因此将495命名为“三位数数字黑洞”. 例如：取三位数315，重排得531，135，作差531−135=396；对396重复操作，重排得963，369，作差963−369=594；对594重复操作，重排得954，459，作差954−459=495，后续运算结果始终为495. （1）用三位数213按规则运算，写出每一步算式，直至得到495； （2）设一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， 且a > b > c（a，b，c为非负整数）. 1 用含 a，b，c 的代数式表示最大数与最小数的差，并化简； 2 若最大数与最小数的差记为M=100x+10y+z(x，y，z为整数， 0≤x,y,z≤9)，求y的值. 24.（本小题满分12分） 已知抛物线（m为常数）过点，与x轴交于，点是直线AM上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交AM于点. （1）求抛物线的函数解析式； （2）命题一：如果，那么； 命题二：如果，那么. 判断命题一、二是否正确，若不正确，请举一个反例；若正确，请证明. 25.（本小题满分14分） 如图，四边形ABCD内接于圆，AB=AD，∠DAB=120°， AE平分∠DAB交BC边于点E，点B，C分别在AE的两侧，点F在边CD上，且DF=BE，FE与AB的延长线交于点G，设∠BEG=x°. （1）当圆的半径为2，C与F重合时，在备用图中画出示意图，并求四边形ABCD的面积； （2）求∠AEF的大小； （3）求证：FG=2AD. 第25题图 第25题备用图 九年级数学 第 页 （共7页）1 学科网（北京）股份有限公司 $