精品解析：北京市第三十一中学2025-2026学年第二学期中校本检测高一年级数学学科

2025-2026学年第二学期期中校本检测高一年级数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则进行运算，再利用复数的几何意义进行判断即可. 【详解】， 则z在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在直角梯形中，， 由斜二测画法规则，得直角梯形对应的四边形，如图， 在四边形中，， 则， 所以四边形的周长为. 4. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先边化为角，再结合三角恒等变换，求得，即可判断三角形的形状 【详解】移项得，可化为 ， 展开得， 整理得，又，所以，即，则为直角三角形. 故选：B． 6. 已知是关于的方程（，）的一个根，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚根成对原理可知是方程的另一个根，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为是关于的方程（，）的一个根， 所以关于的方程（，）的另一个根为， 所以，解得． 故选：B 7. 已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线在面内时的反例可排除ABC，由面面垂直的性质作辅助线可证明D正确. 【详解】A选项，当时，不成立，故A错误； B选项，当时，可以符合，而不符合，故B错误； C选项，当时，不成立，故C错误； D选项，设，； 在内过上一点P作直线， 又因为，且， 则，又因为，所以； 再作直线，同理可得； 由于与相交于，，故D正确； 故选：D 8. 已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用勾股定理直接求出球的半径，再利用球的体积公式，即可求解. 【详解】如图，设半球的球心为，半径为，连接， 由题易知半球的球心是底面正方形的中心，且，， 在中，，得到， 故半球的体积为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 为纯虚数 C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简后，再对选项一一验证即可. 【详解】， 则z的虚部为，选项A不正确； ，选项C错误； 为纯虚数，选项B正确； 在复平面内对应的点位于第二象限，选项D正确； 故选：BD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 向量可以作为平面内的一个基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理判断A，D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C. 【详解】对于A：由，存在实数，使得， 由，存在实数，使得，则，故，A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：由， ，则，故C正确； 对于D：由，所以，即， 故向量不可以作为平面内的一个基底，D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与BE是异面直线 B. 平面 C. D. 三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义，线面平行，垂直的判定定理，几何体的体积求解方法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，直线平面，平面，则易得直线与不为异面直线，故A不正确； 对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，连接，因为正方体中，平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，平面，所以，故C正确； 对于D，三棱锥的体积，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又且与不共线， 所以，则. 故答案为： 13. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可. 【详解】如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以， 故答案为： 14. 已知复数z满足，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，将问题化为求点与点的距离，即可得. 【详解】由的几何意义知，对应点在以点与点为端点的线段上， 由的几何意义知，对应点到点的距离， 所以所求最大值为点与点的距离，由勾股定理得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中. （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的类型求参； （2）根据复数的类型求参； （3）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由，得，解得或. 【小问2详解】 由是纯虚数，得， 解得，所以. 【小问3详解】 由对应的点在第一象限，得， 解得且， 所以的取值范围为. 16. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 17. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【小问1详解】 方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. 【小问2详解】 方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点． （1）证明：平面； （2）在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2） 存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，． 【解析】 【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）是棱的中点，证明：平面 【答案】（1） 设与的交点为，则是的中点， 因为.所以. 因为菱形，所以. 又  ,平面，所以平面. 又平面，所以. （2） （3） 取的中点，连接，则 因为平面. 平面，所以平面 由,知是的中点, 因为是的中点，所以 因为平面，平面AEC， 所以 平面 又，平面 所以平面平面， 又平面 所以 平面 【解析】 【分析】(1)利用等腰三角形的几何特征，得到，再利用菱形的几何特征得到，再结合直线垂直于平面的判定定理，证明出平面,再利用直线与平面的性质定理得到.（2）利用等体积法求解点到平面的距离即可.(3)先利用题目的条件证平面，再证 平面，再用平面与平面平行的判定定理证明平面平面，再用平面与平面的性质定理证明平面即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在菱形中，因为. 所以菱形的边长为，且， 所以， 在中，. 所以， 即由（1）知平面. 因为平面所以又所以平面 所以. 设点到平面的距离为 . 因为 所以即. 故点到平面的距离为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中校本检测高一年级数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知是关于的方程（，）的一个根，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 7. 已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 8. 已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 为纯虚数 C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 向量可以作为平面内的一个基底 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与BE是异面直线 B. 平面 C. D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，若，则________. 13. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 14. 已知复数z满足，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，其中. （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点在第一象限，求的取值范围. 16. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 17. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点． （1）证明：平面； （2）在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）是棱的中点，证明：平面 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $