北京市第三十一中学2025-2026学年第二学期中校本检测高一年级数学学科

**基本信息** 高一年级数学期中检测聚焦复数、向量、立体几何及解三角形核心内容，通过基础辨析与综合探究题设计，考查空间观念、运算推理及模型应用等素养，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数象限、向量垂直、斜二测画法|基础题占比高，如复数几何意义直接考查抽象能力| |多选|3/18|复数性质、向量运算、正方体线面关系|选项分层设计，如向量基底判断考查推理意识| |填空|3/15|解三角形、异面直线夹角、复数模最值|结合几何直观，如异面直线夹角需空间想象| |解答|5/77|复数分类、向量夹角、四棱锥证明与探究|综合性强，如四棱锥中点存在性问题考查创新意识，解三角形结合面积与中点体现模型应用|

2025-2026学年第二学期期中检测高一年级数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（C） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】，则z在复平面内所对应的点为，位于第三象限.故选：C. 2．设向量，若，则（ D ） A．0 B．1 C． D．-1 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 3．如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为（A） A． B． C． D． 【详解】在直角梯形中，， 由斜二测画法规则，得直角梯形对应的四边形，如图， 在四边形中，，， 则， 所以四边形的周长为. 4．已知向量，满足，，则与的夹角为（C） A． B． C． D． 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（B ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【解析】移项得， 可化为， 展开得， 整理得，又，所以，即， 则为直角三角形.故选：B． 6．已知是关于的方程（，）的一个根，则（ B） A．10 B． C．5 D． 【详解】因为是关于的方程（，）的一个根， 所以关于的方程（，）的另一个根为， 所以，解得． 7.已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（D ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【详解】A选项，当时，不成立，故A错误； B选项，当时，可以符合，而不符合，故B错误； C选项，当时，不成立，故C错误； D选项，设，； 在内过上一点P作直线， 又因为，且， 则，又因为，所以； 再作直线，同理可得； 由于与相交于，，故D正确； 故选：D 8.已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ A ） A． B． C． D． 【解析】如图，设半球的球心为，半径为，连接， 由题易知半球的球心是底面正方形的中心，且，， 在中，，得到， 故半球的体积为，故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列选项正确的是（   BD ） A．的虚部为 B．为纯虚数 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【解答过程】， 则z的虚部为，选项A不正确； ，选项C错误； 为纯虚数，选项B正确； 在复平面内对应的点位于第二象限，选项D正确； 故选：BD． 10．下列说法正确的是（  ABC  ） A．若非零向量满足，则 B． C．若为单位向量，则 D．向量可以作为平面内的一个基底 【解析】对于A：由，存在实数，使得， 由，存在实数，使得，则，故，A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：由， ，则，故C正确； 对于D：由，所以，即， 故向量不可以作为平面内的一个基底，D错误.故选：ABC. 11.如图，在棱长为2的正方体中，E为线段中点，则下列说法正确的是（ BCD  ） A．直线与BE是异面直线 B．平面 C． D．三棱锥的体积为 【详解】对于A，直线平面，平面，则易得直线与不为异面直线，故A不正确； 对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，连接，因为正方体中，平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，平面，所以，故C正确； 对于D，三棱锥的体积，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，，，若，则_____. 【答案】 【解析】因为，， 所以， 又且与不共线， 所以，则. 13．如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 答案： 解析：如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以， 14．已知复数z满足，则的最大值是______. 【答案】 【详解】由的几何意义知，对应点在以点与点为端点的线段上， 由的几何意义知，对应点到点的距离， 所以所求最大值为点与点的距离，由勾股定理得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（满分13分） 已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【解答过程】（1）由，得，解得或. （2）由是纯虚数，得，解得，所以. （3）由对应的点在第一象限，得，解得且， 所以的取值范围为. 16. （满分15分） 已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【解答过程】（1）由题意可得， 因为，所以. （2）， 因为，所以，所以， 所以，即向量与的夹角的余弦值为. 17. （满分15分） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cosC(a cos B＋b cos A)＝c. （1）求cos C的值； （2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 解：（1）因为3cos C(a cos B＋b cos A)＝c， 所以由正弦定理可得3cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C， 且sin A cos B＋sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin C， 所以3sin C cos C＝sin C. 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝. （2）由（1）可知，cos C＝，C∈(0，π)， 则sin C＝＝， 因为△ABC的面积为S△ABC＝ab sinC＝ab×＝，所以ab＝3， 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－2ab－2ab cos C， 即8＝(a＋b)2－6－2×3×，解得a＋b＝4(负值舍去)， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋2. 18. （满分17分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，． 19. （满分17分） 如图所示，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1,PB=PD=，点E在PD上，且PE:ED=2:1. （1） 证明：BD⊥PC； （2） 求点A到平面PBD的距离； （3） F是棱PC的中点，证明：BF∥平面AEC. 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中校本检测高一年级数学学科 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设向量，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 3．如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．已知是关于的方程（，）的一个根，则（  ） A．10 B． C．5 D． 7.已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 8.已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知复数，则下列选项正确的是（   ） A．的虚部为 B．为纯虚数 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 10．下列说法正确的是（    ） A．若非零向量满足，则 B． C．若为单位向量，则 D．向量可以作为平面内的一个基底 11.如图，在棱长为2的正方体中，E为线段中点，则下列说法正确的是（  ） A．直线与BE是异面直线 B．平面 C． D．三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，，，若，则_____. 13．如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 14．已知复数z满足，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（满分13分） 已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 16. （满分15分） 已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 17. （满分15分） 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 18. （满分17分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19.（满分17分） 如图所示，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1,PB=PD=，点E在PD上，且PE:ED=2:1. （1） 证明：BD⊥PC； （2） 求点A到平面PBD的距离； （3） F是棱PC的中点，证明：BF∥平面AEC. 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $