专题9 平行四边形中的计算与证明（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦平行四边形及特殊四边形的判定与计算，以分类讨论、转化思想为统领，构建“性质-判定-应用”逻辑链条，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形综合|1|平行四边形判定（两组对边平行）、矩形性质（直角）|平行四边形→矩形的转化| |菱形性质与计算|1|菱形对角线性质、矩形判定（平行四边形+直角）|菱形对角线垂直→矩形判定应用| |矩形与菱形判定|1|垂直平分线性质、菱形判定（平行四边形+对角线垂直）|矩形性质→菱形判定综合| |角平分线与特殊四边形|1|角平分线性质、矩形判定（对角线互相平分+直角）|角平分线→平行关系→矩形判定| |动态与分类讨论|1|折叠性质、勾股定理、分类讨论思想|静态证明→动态问题→分类求解|

专题9　平行四边形中的计算与证明 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.［郑州市］（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.延长CB至点D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD. 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE. （1）请你选择一位同学的说法并进行证明； 解：（1）选择小星的说法. 证明：如图1，连接BE. 图1 ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形. ∴AE＝BD.（2分） ∵BD＝CB，∴AE＝CB. ∵AE∥CB，∴四边形AEBC是平行四边形.（4分） ∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形. ∴∠EBC＝90°.∴BE⊥CD.（6分） （或选择小红的说法.证明：如图2，连接CE，BE. 图2 ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形. ∴AE＝BD，AB＝DE.（2分） ∵BD＝CB，∴AE＝CB. ∵AE∥CB，∴四边形AEBC是平行四边形.（4分） ∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形. ∴AB＝CE.∴CE＝DE.（6分）） （2）连接CE，交AB于点F，试判断BF与DE有怎样的关系，并证明你的结论. 解：（2）BF∥DE，BF＝DE.（8分） 证明：如图3，连接CE，交AB于点F，连接BE. 图3 由（1）知四边形AEBC是矩形，∴CF＝EF. ∵BD＝CB，∴BF是△CDE的中位线. ∴BF∥DE，BF＝DE.（10分） 2.（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD的中点为E，连接OE并延长至点F，使得EF＝OE，连接CF，DF. （1）求证：四边形OCFD是矩形； 解：（1）证明：∵CD的中点为E，∴DE＝CE. ∵EF＝OE，∴四边形OCFD是平行四边形.（2分） ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠COD＝90°. ∴四边形OCFD是矩形.（4分） （2）若EF＝5，BD＝16，求菱形ABCD的面积. 解：（2）∵OE＝EF＝5，BD＝16， ∴OF＝2EF＝10，OD＝OB＝BD＝8.（6分） ∵四边形OCFD是矩形，∴CD＝OF＝10. ∴OA＝OC＝＝＝6.（8分） ∴AC＝2OA＝12.∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96.（10分） 3.［广州市］（10分）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线. （1）用无刻度的直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F；（保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）如图，直线EF即为所求.（2分） （2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF是菱形； 解：（2）证明：如上图，EF与BD交于点O. ∵EF垂直平分线段BD， ∴OB＝OD，EF⊥BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC.∴∠EDO＝∠FBO.（4分） 在△EDO和△FBO中， ∴△EDO≌△FBO（ASA）.∴OE＝OF. ∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形. ∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形.（6分） （3）若AB＝4，BC＝8，求EF的长. 解：（3）∵四边形BEDF是菱形， ∴BE＝ED＝BF＝DF. 设BE＝x.∵AB＝4，AD＝BC＝8，∴AE＝8－x. 在Rt△BAE中，由勾股定理，得42＋（8－x）2＝x2. ∴x＝5，即BE＝ED＝BF＝5.∴AE＝8－x＝8－5＝3.（8分） 如（1）中图，过点E作EH⊥BC交BC于点H，则四边形AEHB是矩形. ∴EH＝AB＝4，BH＝AE＝3.∴HF＝BF－BH＝5－3＝2. 在Rt△EHF中，EF＝＝＝＝2 .（10分） 4.（10分）如图，在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交△ABC的外角平分线CF于点F，交△ABC的内角平分线CE于点E. （1）求证：OE＝OF； 解：（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE. ∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE.∴∠ACE＝∠OEC. ∴OE＝OC.同理OF＝OC.∴OE＝OF.（3分） （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论； 解：（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形. （4分） 证明：当点O为AC的中点时，OA＝OC.∵OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形.（5分） ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD. ∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝（∠ACB＋∠ACD）＝90°. ∴四边形AECF是矩形.（7分） （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论. 解：（3）当△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°时，在AC边上存在点O（为AC的中点），使四边形AECF是正方形.（8分） 证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. ∵MN∥BC，∴AC⊥MN，即AC⊥EF. 由（2）知，四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形.（10分） 5.数学思想分类讨论 （10分）学习完《四边形》这章后，数学老师给出一个问题情境让同学们探讨. 问题情境：如图1，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点O为对角线AC和BD的交点，M为BC上一个动点，连接MO并延长交AD于点N. （1）判断BM和ND的数量关系并证明； 解：（1）BM＝ND.（1分） 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD. ∴∠OBM＝∠ODN.又∵∠BOM＝∠DON， ∴△BOM≌△DON（ASA）.∴BM＝ND.（4分） （2）如图2，将四边形ABMN沿BC方向平移得到四边形A′B′M′N′，当点B′与点M重合时，由（1）可得点N′与点D重合.求证：四边形B′M′DN是平行四边形； 解：（2）证明：由平移的性质，得B′M′＝BM. 由（1）知BM＝ND，∴B′M′＝ND.又∵B′M′∥ND，∴四边形B′M′DN是平行四边形.（8分） （3）如图3，当点M在直线BC上运动时，若直线MN交直线CD于点P，连接BP，将△BCP沿BP折叠，点C的对应点为点Q，连接DQ，得到△PQD.当∠PDQ＝90°时，请直接写出线段DP的长度. 解：（3）线段DP的长度为或.（10分） 解析：分两种情况：①如图①，当∠PDQ＝90°时，此时点Q落在AD上.∵AB＝，BC＝2，由折叠的性质知BQ＝BC＝2.在Rt△ABQ中，由勾股定理，得AQ＝＝＝1. ∴DQ＝AD－AQ＝2－1＝1.设DP＝m，则QP＝CP＝CD－DP＝－m.在Rt△PDQ中，由勾股定理，得QP2＝DQ2＋DP2，即（－m）2＝12＋m2.解得m＝. ∴DP＝. ②如图②，当点Q落在DA的延长线上时，设DP＝n，则PQ＝PC＝n＋. 图② 由折叠的性质知，BQ＝BC＝2，∴AQ＝＝＝1，∴QD＝AQ＋AD＝1＋2＝3.在Rt△DPQ中，由勾股定理得PQ2＝ PD2＋QD2，即（n＋）2＝n2＋32.解得n＝.∴DP＝. 综上所述，线段DP的长度为或. 学科网（北京）股份有限公司 $