专题8 实际应用题（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以勾股定理和一次函数为核心，通过真实情境问题构建“问题抽象-模型建立-求解验证”的解题体系，培养数学建模与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理的实际应用|2题（含福州中考真题、研学实践新考法）|通过计算平方和判断直角，利用垂线段最短解决最短路径问题，结合几何直观构建直角三角形模型|从实际测量情境抽象出直角三角形，运用勾股定理进行长度计算，体现“数学眼光观察现实世界”| |一次函数的实际应用|4题（含河南中考真题、购物车/海岛行程/促销等真实情境）|设变量建立函数关系，根据定义域求最值，分段函数分类讨论，结合数据意识分析实际问题|从经济、行程等情境中抽象出一次函数模型，通过运算能力求解最优解，体现“数学思维思考现实世界”|

专题8　实际应用题 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 类型1　勾股定理的实际应用 1.［福州市］（10分）如图，某景区内有一个露营区C，湖边AB上原有两个观景台A和B，且AB＝BC，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台P（A，P，B在同一直线上），并铺设了步道CP，同时测量了AC＝260 m，AP＝100 m，CP＝240 m，请解决以下问题： （1）试判断步道CP是否是露营区C到湖边AB的最短路径，并说明理由； 解：（1）CP是露营区C到湖边AB的最短路径.（2分） 理由如下：在△APC中，∵AC＝260 m，AP＝100 m，CP＝240 m， ∴AP2＋CP2＝1002＋2402＝10 000＋57 600＝67 600， ∵AC2＝2602＝67 600. ∴AP2＋CP2＝AC2.∴∠APC＝90°，即CP⊥AB. 根据垂线段最短，可知CP是露营区C到湖边AB的最短路径.（5分） （2）求观景台P与观景台B之间距离PB的长. 解：（2）∵AB＝BC，AB＝AP＋PB＝100＋PB，∴BC＝PB＋100.（7分） ∴在Rt△CPB中，由勾股定理，得PB2＝BC2－PC2＝（PB＋100）2－2402.解得PB＝238. 答：观景台P与观景台B之间距离PB的长为238 m.（10分） 2.新考法综合与实践 （10分）【研学实践】 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据. 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离BD＝16 m，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度 BF＝20 m，最后测量放风筝的小康同学的身高AB＝1.6 m. 【数据应用】 已知图中各点均在同一平面内，点C，F，D，E在同一直线上. （1）求此时风筝的垂直高度EF； 解：（1）根据题意，得DE＝AB＝1.6 m，BD⊥DF. 在Rt△BDF中，由勾股定理，得DF＝＝12（m）， 因此EF＝DF＋DE＝13.6（m）. 答：此时风筝的垂直高度EF为13.6 m.（5分） （2）若站在点A不动，想把风筝沿着DC的方向从点F的位置上升18 m到点C的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 解：（2）根据题意，得DC＝12＋18＝30（m）， 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC＝＝34（m）， 还需要放出风筝线为34－20＝14（m）. 答：还需要放出风筝线14 m.（10分） 类型2　一次函数的实际应用 3.［河南中考］（10分）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元. （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价； 解：（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元. 根据题意，得（3分） 解得 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元.（5分） （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数，求该公司最少需花费多少元. 解：（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12－x）箱. 根据题意，得0≤12－x≤x. 解得6≤x≤12.（7分） 设该公司需花费w元. 根据题意，得w＝100x＋80（12－x）＝20x＋960. ∵20＞0，∴w随x的增大而增大. ∴当x＝6时，w有最小值.w最小＝20×6＋960＝1 080. 答：该公司最少需花费1 080元.（10分） 4.真实情境购物车中的一次函数问题 （10分）为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列.如图1，表示一辆购物车的尺寸，如图2，表示3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6 m.购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运，直立电梯一次性最多能转运12辆购物车；如图3，扶手电梯一次性最多转运购物车时，需要在斜坡AC上预留CD＝0.5 m的安全距离. 图1 （1）当x辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为y m，则y与x的函数解析式为　y＝0.2x＋1　； 图2　 （2）若该超市扶手电梯水平距离BC为4 m，高AB为3 m，考虑安全距离，求扶手电梯一次性最多能转运的购物车数量，并比较哪种方式一次性转运的购物车数量多. 　 图3 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝＝5（m）.（6分） 根据题意，得5－（0.2x＋1）≥0.5.解得x≤17.5. ∴扶手电梯一次性最多能转运17辆购物车. ∵17＞12，∴扶手电梯一次性转运的购物车数量多.（10分） 5.（10分）在一条直线上依次有A，B，C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛执行海巡任务，最终到达C岛.设该海巡船行驶x（h）后，与B岛的距离为y（km），y与x的函数关系图象如图所示. （1）A，C两岛间的距离为　85　km，a＝　1.7　； 解析：由图知A，B两岛间的距离为25 km，B，C两岛间的距离为60 km，∴A，C两岛间的距离为25＋60＝85（km）. ∵海巡船的速度为25÷0.5＝50（km/h），∴a＝85÷50＝1.7. （2）求y关于x的函数解析式，并解释图中点P的坐标所表示的实际意义； 当0≤x≤0.5时，设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）. ∵函数图象经过点（0，25），（0.5，0）， ∴解得∴y＝－50x＋25.（4分） 当0.5＜x≤1.7时，设y关于x的函数解析式为y＝mx＋n（m≠0）. ∵函数图象经过点（0.5，0），（1.7，60）， ∴解得∴y＝50x－25. 综上所述，当0≤x≤0.5时，y＝－50x＋25；当0.5＜x≤1.7时，y＝50x－25.（6分） 点P的坐标所表示的实际意义为经过0.5 h海巡船到达B岛.（7分） （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15 km，求该海巡船能接收到该信号的时间. 由－50x＋25＝15，得x＝0.2. 由50x－25＝15，得x＝0.8.∵0.8－0.2＝0.6（h），∴该海巡船能接收到该信号的时间为0.6 h.（10分） 6.（10分）当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升.某体育用品商店看准商机，第一次以每个排球35元、每个足球50元的价格批发一定数量的这两种球，并将排球和足球分别以50元/个和70元/个的价格出售，很快销售一空.该商店准备第二次购入排球和足球共200个，根据市场需求，购买排球的数量不少于40个且不超过100个.购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过50个时保持原价，超过50个时超过的部分打8折.设第二次进货销售完的总利润为W元（利润＝销售额－成本），其中购进排球x个. 【能力设问】 （1）求W与x的函数解析式； 解：（1）当40≤x≤50时，W＝（50－35）x＋（70－50）（200－x）＝－5x＋4 000.（2分） 当50＜x≤100时，W＝50x－［35×50＋35×0.8×（x－50）］＋（70－50）（200－x）＝2x＋3 650. ∴W＝（4分） 【拓展设问】 （2）商店为了回馈顾客，开展促销活动.将其中的m（m为正整数）个排球按30元/个，3m个足球按50元/个进行销售.若第二次进货销售完后，获得的最大利润不能低于3 000元，求m的最大值. 解：（2）当40≤x≤50时，根据题意，得W＝（50－35）（x－m）＋（30－35）m＋（70－50）（200－x－3m）＋（50－50）×3m＝－5x＋4 000－80m. ∵－5＜0，∴W随x的增大而减小. ∴当x＝40时，W的值最大，最大值为－5×40＋4 000－80m＝－80m＋3 800. ∴－80m＋3 800≥3 000.解得m≤10.（7分） 当50＜x≤100时，W＝［50（x－m）＋30m］－［35×50＋35×0.8×（x－50）］＋（70－50）（200－x－3m）＋（50－50）×3m＝2x＋3 650－80m. ∵2＞0，∴W随x的增大而增大. ∴当x＝100时，W的值最大，最大值为2×100＋3 650－80m＝－80m＋3 850. ∴－80m＋3 850≥3 000.解得m≤10.625. ∵m是正整数，∴m的最大值为10.（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $