专题4 特殊的平行四边形（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦菱形、矩形、正方形的性质与判定，通过辨析、计算、证明及新定义题型，系统提炼对角线应用、动态转化等方法，培养几何直观与推理能力，构建特殊平行四边形知识网络。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质辨析|第1/3题|概念关系梳理|平行四边形到特殊四边形的概念生成| |计算应用|第2/5/8题|对角线与面积公式|性质与公式的推导应用| |动态探究|第10/14题|折叠分类与最值转化|几何图形动态变化中的不变量| |证明推理|第15/16题|判定定理综合应用|性质与判定的逻辑推导| |新定义探究|第17题|垂美四边形性质探究|跨概念知识整合与模型构建|

专题4　特殊的平行四边形 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 一、选择题（每题3分，共30分） 1.菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（　D　） A.对角线相等　　B.对角相等　　C.对角线互相平分　　D.对角线互相垂直 2.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝CA，AE交CD于点F，则∠DAF的度数为（　A　） 第2题图　　　 A.22.5°　　B.20°　　C.30°　　D.45° 3.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　D　） 第3题图　　　 A.（1）处可填∠A＝90°　　B.（2）处可填AD＝AB C.（3）处可填DC＝CB　　D.（4）处可填∠B＝∠D 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD.若CD＝1，则GE的值为（　B　） 第4题图 A.3　　B.2　　C.1　　D. 5.［天津市］如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（－1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（　D　） 第5题图　　　　 A.（2，2）　　B.（，2）　　 C.（3，）　　D.（2，） 6.［教材P87第6题改编］如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且DE∥OC，CE∥BD.若AC＝6，则四边形OCED的周长为（　B　） 第6题图　　　　 A.6　　B.12　　C.18　　D.24 7.根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（　C　） A.　　B.　　C.　　D. 8.如图，以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福.若最外层菱形的对角线长度分别为16 cm，12 cm，则它的两条对边的距离应为（　C　） 第8题图 A.12 cm　　B.10.8cm　　C.9.6 cm　　D.4.8 cm 解析：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点E.∵AC＝16 cm，BD＝12 cm，∴AE＝CE＝AC＝8（cm），BE＝DE＝BD＝6（cm）. ∵AC⊥BD，∴AB＝＝＝10（cm）.设菱形ABCD两条对边的距离为h cm.∴S菱形ABCD＝AB•h＝AC•BD，即10h＝×16×12.解得h＝9.6.∴它的两条对边的距离为9.6 cm.故选C. 9.真实情境动手操作学具 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将学具活动成为如图1所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示的正方形，并测得对角线AC＝20 ，则图1中菱形的对角线BD的长为（　D　） 图1　　　　　　图2　　 第9题图　　　　　　 A.20　　B.30　　C.20 　　D.20  解析：在正方形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝20 ，∴2AB2＝（20 ）2.∴AB＝20.在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴AC＝AB＝20.如图，连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，OA＝AC＝10.∴OB＝＝＝10 .∴BD＝2OB＝20 .故选D. 10.如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　A　） 第10题图 A.2.4　　B.3　　C.4　　D.4.8 解析：如图，连接OE.∵在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴OC＝AC＝4，OD＝BD＝3.∵AC⊥BD，∴CD＝＝＝5.又∵EF⊥OC，EG⊥OD，∴四边形OGEF是矩形.∴GF＝OE.∴当FG取最小值，即OE取最小值.∴当OE⊥DC时，OE取最小值.∴S△OCD＝OC•OD＝CD•OE，即×4×3＝×5OE.解得OE＝2.4.∴FG的最小值为2.4.故选A. 二、填空题（每题3分，共12分） 11.如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为　3　cm. 第11题图　　 12.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AC的长为　10　. 第12题图　　 13.［教材P87第10题改编］如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，还要添加一个条件　AC⊥BD（答案不唯一）　，才能使四边形EFGH是矩形. 第13题图　　 14.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，点E是AB的中点，点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF.若A′E与菱形ABCD的对角线平行，则DF的长为　或　. 第14题图 解析：∵A′E与菱形ABCD的对角线平行，而菱形ABCD的对角线有AC和BD，∴分A′E∥AC和A′E∥BD两种情况进行讨论.①如图1，当A′E∥AC时，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AC平分∠BAD.∴∠BAC＝×60°＝30°.∵A′E∥AC，∴∠A′EB＝∠BAC＝30°.由折叠的性质，得∠AEF＝∠A′EF.∴∠AEF＝75°.∴∠AFE＝180°－60°－75°＝45°.∵点E是AB的中点，∴AE＝AB＝3.过点E作EG⊥AF于点G.∵∠BAD＝60°，∴∠AEG＝30°.∴AG＝AE＝.在Rt△AEG中，由勾股定理，得GE＝＝.在Rt△EFG中，∠AFE＝45°.∴∠GEF＝45°.∴GF＝GE＝.∴DF＝AD－AG－GF＝6－－ ＝. 图1　　 ②如图2，当A′E∥BD时，连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.又∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形.∴∠ABD＝60°.∴∠AEA′＝60°.由折叠的性质，得AE＝A′E.∴△AEA′是等边三角形，点A′落在AD上.∴AA′＝AE＝AB＝3.∴AF＝.∴DF＝AD－AF＝6－＝.综上所述，DF的长为或. 图2 三、解答题（共28分） 15.［河南中考］（8分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E. （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线CM交BE于点F；（保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）如图，∠ECM即为所求.（4分） （2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形. 解：（2）证明：由（1），得∠ECF＝∠A.∴CF∥AB. ∵BE∥DC，∴四边形CDBF是平行四边形.（6分） ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD＝BD.∴四边形CDBF是菱形.（8分） 16.（10分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，E为AD的中点，M是边AB上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN. （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD. ∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE.（3分） ∵E是边AD的中点，∴DE＝AE. ∴△NDE≌△MAE（AAS）.∴NE＝ME. ∴四边形AMDN是平行四边形.（6分） （2）①当AM的长为　3　时，四边形AMDN是矩形； 解析：当AM的长为3时，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝6.∵E是边AD的中点，∴AE＝AD＝3.∴AM＝AE＝3.∵∠DAB＝60°，∴△AEM是等边三角形.∴EM＝AE＝3.∵NE＝EM＝MN，∴MN＝AD＝6.∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是矩形. ②当AM的长为　6　时，四边形AMDN是菱形. 解析：当AM的长为6时，∵AB＝AD＝6，AM＝6，∴AD＝AM.∵∠DAB＝60°，∴△AMD是等边三角形.∵E是边AD的中点，∴ME⊥AD.∵四边形AMDN是平行四边形，∴四边形AMDN是菱形. 17.新考法阅读理解题 （10分）乐乐学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊的四边形产生了兴趣，发现了另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形. 图1　 （1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是　菱形、正方形　； （2）性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：　S＝AC•BD　； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝8，AB＝10. 图2 ①求证：四边形BCGE为垂美四边形； ①证明：如图，连接CG，BE，设BG交CE于点N，BA交CE于点M. ∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴∠F＝∠CAG＝∠BAE＝90°，FG＝AG＝AC＝CF，AB＝AE.∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE.（6分） 在△GAB和△CAE中， ∴△GAB≌△CAE（SAS）.∴GB＝CE，∠ABG＝∠AEC. 又∵∠AEC＋∠AME＝90°，∠AME＝∠BMN， ∴∠ABG＋∠BMN＝90°.∴∠BNM＝90°. ∴四边形BCGE为垂美四边形.（8分） ②四边形BCGE的面积为　130　. 解析：∵FG＝CF＝AC＝8，∠ACB＝90°，AB＝10，∴BC＝＝6.∴BF＝BC＋CF＝14.∴在Rt△BFG中，BG＝＝＝2 .∵CE＝BG，∴CE＝2 .∵四边形BCGE为垂美四边形，∴四边形BCGE的面积为BG•CE＝130. 学科网（北京）股份有限公司 $