专题2 勾股定理（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦勾股定理期末高频重难考点，以题载法系统整合判定应用、思想方法与综合实践，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|2题|勾股定理逆定理、角度关系分析|从边、角关系构建直角三角形判定体系| |性质应用|4题|方程思想、数形结合|由定理直接应用到实际情境中的距离计算| |思想方法|3题|转化思想（图形展开）、分类讨论（直角存在性）|通过数学思想提升复杂问题解决能力| |综合实践|2题|最短路径模型、面积割补法|从平面到立体，衔接实际应用与核心素养|

专题2　勾股定理 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 一、选择题（每题3分，共24分） 1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边长分别是a，b，c.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　D　） A.c2＝a2－b2　　B.abc＝345 C.∠C＝∠B－∠A　　D.∠A∠B∠C＝345 2.现有两根铁棒，它们的长分别为4 cm和3 cm，如果想焊接一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（　D　） A.5 cm　　B.4 cm　　C. cm　　D.5 cm或 cm 3.如图，数轴上点O，A所表示的数分别是0，3，过点A作AB⊥数轴，AB的长为1个单位长度，以点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是（　B　） 第3题图　　 A.　　B.－　　C.－　　D. 4.如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（　B　） 　 第4题图 A.14　　B.13　　C.12　　D.11 5.数学思想转化思想 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）.已知斜放的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（　B　） 第5题图　　 A.3　　B.4　　C.5　　D.6 6.［洛阳市］如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的AB，BC两段构成.若BC段的长度为8 cm，点A，C之间的距离比AB段长2 cm，则AB段的长度为（　C　） 　　 第6题图 A.6 cm　　B.10 cm　　C.15 cm　　D.17 cm 7.［教材P23探究改编］赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形.图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实.如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b.若ab＝8，且a2＋b2＝25，则黄实为（　D　） 第7题图　　　　 A.36　　B.25　　C.16　　D.9 8.如图，点E，F把线段AB分割成AE，EF，FB三条线段.若以AE，EF，FB为边的三角形是一个直角三角形，则称点E，F是线段AB的“勾股分割点”.若点E，F是线段AB的“勾股分割点”，且AE为直角边，若AB＝8，AE＝2，则BF的长为（　C　） 第8题图 A.　　B.　　C.或　　D.6 解析：设BF＝x，则EF＝8－AE－BF＝6－x.分两种情况讨论：①当EF为最长线段时，依题意，得EF2＝AE2＋BF2，即（6－x）2＝22＋x2.解得x＝.②当BF为最长线段时，依题意，得EF2＋AE2＝BF2，即（6－x）2＋22＝x2.解得x＝.综上所述，BF的长为或.故选C. 二、填空题（每题3分，共12分） 9.［扬州中考］清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　11，60，61　. 10.如图，两艘轮船M和N分别从港口A出发，轮船M以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船N以3海里/时的速度向东南方向航行，行驶5小时后，M，N两船的距离为　25　海里. 第10题图　　　 11.［成都中考］如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为　5　. 第11题图　　　 12.数学思想分类讨论 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，D为线段CB上一个动点，将△ADB沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交直线CB于点F.若△DEF为直角三角形，则BD的长是　2或5　. 第12题图 解析：因为∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，所以AC＝＝6.因为将△ADB沿直线AD翻折得到△ADE，所以AB＝AE＝10，BD＝DE.当△DEF为直角三角形时，分两种情况讨论：①如图1，当∠FDE＝90°时，过点E作EG⊥AC，交AC的延长线于点G，则四边形DCGE为矩形.所以EG＝CD，CG＝DE＝BD.设BD＝x，则CG＝x，CD＝8－x.所以AG＝AC＋CG＝6＋x.在Rt△AGE中，AE2＝AG2＋EG2，即102＝（6＋x）2＋（8－x）2.解得x＝0（舍去）或x＝2.所以BD＝2. ②如图2，当∠DFE＝90°时，此时点F与点C重合.所以EF＝AE－AF＝4.设BD＝x，则CD＝8－x.由勾股定理，得x2＝42＋（8－x）2.解得x＝5.所以BD＝5.综上所述，BD的长是2或5. 三、解答题（共34分） 13.（10分）如图，在正方形网格中每个小正方形的边长为1. （1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个△ABC，使三角形的边长分别为，2 ，； 如图，△ABC即为所求.（画法不唯一）（3分） （2）请你判断（1）中所画的△ABC的形状为　直角三角形　； （3）求△ABC的面积及最长边上的高. S△ABC＝AC•BC＝××2 ＝2.（7分） 设最长边（AB）上的高为h， 则S△ABC＝AB•h＝×h＝2. 解得h＝.（10分） 14.（10分）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间.社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图，已知AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝17 m，AD＝8 m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°. （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ 解：（1）如图，连接AC. ∵∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m， ∴AC＝＝＝15（m）. ∴AB＋BC－AC＝9＋12－15＝6（m）. ∴居民从点A到点C将少走6 m的路程.（4分） （2）这片绿地的面积是多少？ 解：（2）∵CD＝17 m，AD＝8 m，AC＝15 m，∴AD2＋AC2＝DC2. ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°.（7分） ∴S四边形ABCD＝S△ADC＋S△ABC＝AD•AC＋AB•BC＝×8×15＋×9×12＝114（m2）. ∴这片绿地的面积是114 m2.（10分） 15.新考法综合与实践 （14分）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20，3，2，A和B是一个台阶两个相对的端点. 【探究实践】老师让同学们探究：如图1，若点A处有一只蚂蚁要到点B去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点B的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB长度为　25　，就是最短路程. 　 图1　　　　　图2　　 【变式探究】（2）如图3，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为　17 cm　. 　 图3 解析：将圆柱展开，如图①. 图① 由题意，得AC＝＝15（cm），BC＝8 cm，∠C＝90°. 由勾股定理，得AB＝＝17（cm）. 【拓展应用】（3）如图4，圆柱形玻璃杯的高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 　 图4 如图②，将玻璃杯侧面展开，作点B关于EC的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE的延长线于点D，连接AB′，交EC于点F. （8分） 图② 由题意，得DE＝BB′＝1 cm，AE＝9－4＝5（cm）. 所以AD＝AE＋DE＝6（cm）. （10分） 由底面周长为16 cm，得B′D＝×16＝8（cm）. 所以AB′＝＝10（cm）.（13分） 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10 cm.（14分） 学科网（北京）股份有限公司 $