试卷9 三门峡市2024-2025学年下学期期末试题（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 融合青蒿素实验、七巧板等科技与文化情境，梯度覆盖二次根式、统计、函数、四边形等核心知识，突出数学思维与实践应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式（1）、勾股数（2）、众数（3）、科研图表分析（6）|以屠呦呦青蒿素实验为情境，考查数据解读能力| |填空题|5/15|二次根式有意义（11）、离差平方和（12）、一次函数平移（13）、规律探究（15）|结合座椅调节（14），运用三角函数解决实际问题| |解答题|8/75|平行四边形证明（17）、统计应用（18）、一次函数与行程（19）、矩形判定（20）、空调能效对比（21）、海伦-秦九韶公式（22）、三角板平移探究（23）|23题通过三角板平移，探究菱形与等腰三角形存在性，发展空间观念与创新意识|

试卷9　三门峡市 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.下列各式是最简二次根式的是（　C　） A.　　B.　　C.　　D. 2.下列各数中，能与7，25组成一组勾股数的是（　B　） A.9　　B.24　　C.35　　D.40 3.4月23日是世界读书日，某校组织开展“书海拾贝，阅读致远”活动，为了解学生的阅读情况，随机调查了八年级60名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示： 时间/小时 0.5 1 1.5 2 2.5 人数/人 12 19 15 7 7 在本次调查中，学生每天平均阅读时间的众数是（　B　） A.1.5　　B.1　　C.19　　D.2 4.下列运算正确的是（　D　） A.＋＝　　　　B.×＝ C.÷＝　　　　D.（－）2＝5 5.高空抛物极其危险，这种行为是我们必须杜绝的.据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）.设从a（m）高空抛物到落地所需时间为t1，从2a（m）高空抛物到落地所需时间为t2，则的值为（　A　） A.　　B.　　C.　　D. 6.中国中医科学院研究员屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖.某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 提取时间对青蒿素提取率的影响　提取温度对青蒿素提取率的影响 　 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（　C　） A.100 min，50 ℃　　　　B.100 min，55 ℃ C.120 min，50 ℃　　　　D.120 min，55 ℃ 7.如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80 cm，则图中阴影图形的周长是（　D　） A.160 cm　　B.280 cm　　C.320 cm　　D.440 cm第7题图　第9题图　第10题图 8.点P（x，y）在直线y＝x－上，坐标（x，y）是二元一次方程3x＋4y＝－1的解，则点P的位置在（　D　） A.第一象限　　B.第二象限　　C.第三象限　　D.第四象限 9.如图，延长矩形ABCD的边DC至点E，使CE＝BD，连接AE.若∠DBC＝α，则∠E的度数是（　A　） A.45°－　　B.30°＋　　C.　　D.α－45° 10.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，有下列说法：①图中有7个等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③S正方形ABCD＝4S四边形PFDM；④四边形OPFN是正方形.其中正确的是（　C　） A.①②③　　B.②③　　C.①③④　　D.①④ 解析:如图，连接PC.∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，EF＝BD. ∵AP⊥EF，AP⊥BD，四边形ABCD为正方形，BD为对角线，∴A，O，P，C在同一直线上，即AC为对角线.∴OB＝OD＝EF＝OC.∴△ABD，△BCD，△OAB，△OAD，△EFC都是等腰直角三角形.∵M，N分别为BO，DO的中点，∴EP＝EF＝OB＝BM.∴四边形BMPE为平行四边形.∴MP∥BC，NF∥OC.∴△DNF，△OMP是等腰直角三角形，∴OM＝BM＝PM.∴BM≠PM.∴四边形MPEB不可能是菱形，图中有7个等腰直角三角形，①正确，②错误；如图，过点M作MG⊥BC于点G.则设AB＝BC＝x，∴BD＝x.∵四边形BMPE是平行四边形，M为BO的中点，∴BM＝BD＝x.∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x.∵∠MBC＝45°，∠MGB＝90°，∴△MGB是等腰直角三角形.∴MG＝BG，MG2＋BG2＝BM2.∴MG＝BM＝x.∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2.∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的.∵E，F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S正方形ABCD.∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的1－－－＝.∴S正方形ABCD＝4S四边形PFDM.③正确；根据①可知，△DNF和△CEF都是等腰直角三角形，∴∠NFD＝∠EFC＝45°，DN＝NF.∵AP⊥BD，∴∠NOP＝∠ONF＝∠NFP＝90°.∴四边形OPFN是矩形.∵N是OD的中点，∴ON＝DN.∴ON＝FN.∴四边形OPFN是正方形，④正确.综上所述，①③④正确.故选C. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.已知a，b满足b＝＋＋12，则ab的值为　60　. 12.某小组8名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方式：第一组{87，88，90，91，92，92}，第二组{96，98}，则组内离差平方和为　24　. 13.将直线y＝3x＋5沿y轴向下平移4个单位，可得直线的解析式为　y＝3x＋1　. 14.座椅是我们日常生活中不可或缺的物品，如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC，BD与水平地面的夹角也始终保持不变.已知椅背AE的长度为80 cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调到135°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约　16.4　cm.（结果精确至0.1 cm.参考数据：≈1.41） 第14题图　　 解析：如图，过点E，点E′分别作AB的垂线，分别与BA的延长线相交于点N，点M. 在Rt△AE′M中，AE′＝80 cm，∠E′AM＝180°－135°＝45°，∴AM＝E′M＝AE′＝40 （cm）.在Rt△AEN中，AE＝80 cm，∠EAN＝180°－150°＝30°，∴EN＝AE＝40（cm）.∴E′M－EN＝（40 －40）≈16.4（cm），即椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约16.4 cm. 15.如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y＝x，点A1的坐标为（，0），以O为圆心，OA1为半径作弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径作弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径作弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4；……按照这样的规律进行下去，点A4 050的横坐标是　22 025　.（结果要求最简形式） 第15题图 解析：如图，作B1H⊥x轴于点H.∵B1，B2，B3，B4…均在直线y＝x上，∴OH＝B1H，∠B1OH＝45°. ∵A1（，0），OA1＝OB1，∴OB1＝OA1＝.∵A2B1垂直于直线l，∴∠OB1A2＝90°，∠B1A2H＝∠B1OH＝45°.∴OB1＝B1A2＝∴由勾股定理，得OA2＝＝2.∴A2（2，0）.同理，OA2＝OB2＝B2A3＝2，∴OA3＝OA2＝2 ＝（）3.同理，OA4＝（）4，OA5＝（）5，…，∴OA4 050＝（）4 050＝［（）2］2 025＝22 025，即点A4 050的横坐标是22 025. 三、解答题（本大题8个小题，满分75分） 16.（10分）计算： （1）－2＋； 解：（1）原式＝4 －2×＋（3分） ＝4 －＋ ＝5 －.（5分） （2）（1－2 ）2－（2－）（2＋）. 解：（2）原式＝1－4 ＋12－（4－3）（3分） ＝1－4 ＋12－1 ＝－4 ＋12.（5分） 17.（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　①　.请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，解决下列问题： （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； 解：（1）选择.证明：∵∠B＝∠AED，∴DE∥CB.∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.（4分） （或选择②.证明：∵AE＝BE，AE＝CD，∴CD＝BE.∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.（4分）） （2）若AD⊥AB，AD＝6，AE＝3 ，求线段BC的长. 解：（2）∵AD⊥AB，∴∠A＝90°.在Rt△ADE中，AD＝6，AE＝3 ，∴DE＝＝＝3 .（8分） ∵四边形BCDE为平行四边形，∴BC＝DE＝3 .（9分） 18.（9分）水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识.某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从学校内随机抽取了100名学生，收集了这100名学生所在家庭（假设每名学生代表一个不同的家庭）去年6月份的用水量（单位：吨），并对这100个数据进行整理，绘制了如下统计图表： 　　　　　去年6月份用水量分组表 组别 用水量x/m3 组内平均数/m3 A 2.0≤t＜3.4 2.8 B 3.4≤t＜4.8 4.0 C 4.8≤t＜6.2 5.4 D 6.2≤t＜7.6 6.8 E 7.6≤t＜9.0 8.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）这100个数据的中位数落在　B　组（填组别），C组所占圆心角的度数为　108°　； （2）求这100户家庭去年6月份的总用水量； ［2.8×15％＋4.0×40％＋5.4×30％＋6.8×12％＋8.2×（1－15％－40％－30％－12％）］×100＝470.2（m3）. 答：这100户家庭去年6月份的总用水量为470.2 m3.（6分） （3）据了解，在小麦的整个生长期中，一亩地大约需要320 m3的水来灌溉.已知该学校有2 400户家庭，若每户家庭今年6月份的用水量都比去年6月份各自家庭的用水量节约20％，请估计这2 400名学生所在家庭今年6月份节约的用水量大约可满足多少亩小麦地整个生长周期的用水.（结果取整数） 470.2÷100×20％×2 400÷320≈7（亩）. 答：这2 400名学生所在家庭今年6月份节约的用水量大约可满足7亩小麦地整个生长周期的用水.（9分） 19.（9分）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示： （1）a的值为　　； （2）当≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式； 设当≤x≤时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）. 根据题意，得（3分） 解得 ∴y＝90x＋2（≤x≤）.（5分） （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 当x＝时，y＝90×＋2＝9.5，∴先匀速行驶小时的速度为9.5÷＝114（千米/时）.（8分） ∵114＜120，∴该辆汽车减速前没有超速.（9分） 20.（9分）明明在学习了矩形定义及第一个判定定理后，继续探究其他判定定理. （1）实践与操作 ①如图1，任意作两条相交的直线，交点记为O；②以点O为圆心，适当长为半径作弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA，OB，OC，OD；③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD，于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则依据的判定定理是：　对角线互相平分的四边形是平行四边形　； （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.结合图2，请帮助明明完成命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的证明. 图1图2 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠ABC＋∠DCB＝180°.∵AC＝BD，BC＝CB，AB＝CD，∴△ABC≌△DCB（SSS）.（7分） ∴∠ABC＝∠DCB＝90°.∴四边形ABCD是矩形.（9分） 21.（9分）购买空调时，需要综合考虑空调的价格、匹数和耗电情况.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年.如表是这两款匹数相同的空调的部分基本信息.如果电价是0.6元/（KW•h），请回答下列问题： 设使用x年，1级能效空调的综合费用为y1，3级能效空调的综合费用为y2（综合费用＝空调的售价＋电费）. （1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） 解：（1）根据题意，得y1＝3 180＋0.6×640x＝3 180＋384x；y2＝2 700＋0.6×800x＝2 700＋480x.（3分） （2）空调使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？ 解：（2）根据题意，得y1＝y2，即3 180＋384x＝2 700＋480x.解得x＝5. 答：使用5年时，两款空调的综合费用相等.（6分） （3）某人打算选购一台空调使用10年，请分析他购买哪款空调更划算. 两款空调的部分基本信息 匹数 能效 等级 售价/元 平均每年 耗电量/KW•h 1.5 1级 3 180 640 1.5 3级 2 700 800 解：（3）当x＝10时，1级能效空调的综合费用：y1＝3 180＋384×10＝7 020（元）； 3级能效空调的综合费用：y2＝2 700＋480×10＝7 500（元）（8分） 因为7 020＜7 500，所以购买1级能效空调更划算.（9分） 22.（10分）综合与应用 （1）【材料阅读】 小红和小青在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究.他们各自查找了相关问题的资料. 小红找到的资料：我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则S＝（秦九韶公式）. 小青找到的资料：古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则S＝（海伦公式）. （2）【推理论证】 小红和小青运用整式乘法和因式分解的知识对秦九韶公式进行了化简，发现化简后的秦九韶公式与海伦公式相同.这说明海伦公式与秦九韶公式是同一个公式，所以我们也称海伦公式为“海伦—秦九韶公式”.下面是他们不完整的推理过程，请将这个推理过程补充完整. 证明：∵p＝，∴2p＝a＋b＋c. ∴ ＝（　ab＋　）（　ab－　） ＝（）（） ＝••（　　） ＝（　a＋b＋c　）（　a＋b－c　）（　c＋a－b　）（　c－a＋b　） ＝•2p（2p－2a）（2p－2b）（2p－2c） ＝p（p－a）（p－b）（p－c）. ∴S＝＝. （3）【学以致用】 已知三角形ABC的三边分别为a，b，c.请运用“海伦—秦九韶公式”计算三角形ABC的面积. ①a＝3，b＝4，c＝5； ②a＝，b＝，c＝. ①根据题意，得p＝＝6. ∴根据海伦—秦九韶公式，三角形ABC的面积为 ＝6.（7分） ②∵a＝，b＝，c＝，∴根据海伦—秦九韶公式，三角形ABC的面积为＝＝＝＝.（10分） 23.（10分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动. （1）操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2位置. 图1　图2　 根据以上操作，填空： ①图1中四边形ABCD的形状是　正方形　； ②图2中AA′与CC′的数量关系是　AA′＝CC′　；四边形ABC′D′的形状是　平行四边形　. （2）迁移探究 小董将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，重复上面操作，如图3.已知AB长为8 cm，当平移的距离为多少时，四边形ABC′D′是菱形？请写出证明过程. 当平移距离是8 cm时，四边形ABC′D′是菱形.（4分） 证明：如图①，连接AD′，BC′，连接BD′交AC′于点O.∵AB＝8 cm，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝16 cm，∠BAC＝60°. 图① ∵将三角板ACD沿CA方向平移，∴CD＝C′D′＝AB，CD∥C′D′∥AB.∴四边形ABC′D′是平行四边形.∵四边形ABC′D′是菱形，∠BAC＝60°，∴△ABC′为等边三角形.∴AB＝AC′＝8 cm.∴CC′＝AC－AC′＝8（cm）.∴当平移的距离为8 cm时，四边形ABC′D′是菱形. （8分） （3）拓展应用 在（2）的探究过程中：当△BCC′为等腰三角形时，请直接写出CC′的长. 图3 CC′的长为8 cm或8  cm.（10分） 解析：根据题意，得AC＝2AB＝2×8＝16（cm）.当△BCC′为等腰三角形时，分三种情况： ①当BC′＝CC′时，如图②所示.∵∠ACB＝30°，BC′＝CC′，∴∠CBC′＝∠BCC′＝30°.∴∠ABC′＝∠ABC－∠CBC′＝90°－30°＝60°.∵∠BAC′＝60°，∴BC′＝AC′.∴点C′是AC的中点.∴CC′＝AC＝8（cm）. 图② ②当BC＝C′C时，如图③所示.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC＝＝＝8 （cm）.∵BC＝C′C，∴CC′＝8 （cm）. 图③ ③当BC＝BC′时，如图④所示.与“将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）”相矛盾，∴不存在此种情况.综上所述，当△BCC′为等腰三角形时，CC′的长为8 cm或8  cm. 图④ 学科网（北京）股份有限公司 $