试卷8 济源市2024-2025学年下学期期末试题（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 济源市初中数学期末试卷，以《九章算术》竹折问题、风筝测量等文化与生活情境为载体，融合二次根式、函数、几何等知识，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理、函数概念|结合心电图、斜坡滚动情境考查函数定义（数学眼光）| |填空题|5/15|函数平移、矩形性质|笛卡尔坐标系下等腰直角三角形顶点坐标求解（几何直观）| |解答题|8/75|统计分析、几何证明、利润最值|文创销售利润最大化（模型意识），正方形重叠面积证明（推理能力）|

试卷8　济源市 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.下列根式中属于最简二次根式的是（　C　） A.　　B.　　C.　　D. 2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　B　） A.2，3，4　　B.1，，　　C.1，1，2　　D.5，12，15 3.下面说法错误的是（　D　） 图1　　图2　图3 时间t/s 0 2 3 4 … 平均速度v/（m/s） 0 4 6 8 … A.如图1，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为S，则圆的面积公式S＝πr2中S是r的函数 B.如图2，是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，y是x的函数 C.如图3，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s，则小球速度v是时间t的函数 D.表达式y＝±x（x≥0）中y是x的函数 4.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中课间操及体育课外活动占20％，期中考试成绩占30％，期末考试成绩占50％.小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85，则小桐这学期的体育成绩是（　A　） A.88.5　　B.86.5　　C.90　　D.90.5 5.如图，▱OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（a，0），（b，c），则顶点B的坐标为（　D　） 第5题图　　 A.（a＋c，b）　　B.（b＋c，a）　　 C.（b，c）　　D.（a＋b，c） 6.《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　A　） 第6题图 A.x2＋32＝（10－x）2　　　　B.x2－102＝（6＋x）2 C.32＝102－x2　　　　D.x2＝（10＋x）2 7.一组数据的方差计算公式为s2＝［（6－）2＋（6－）2＋（9－）2＋（7－）2］，下列关于这组数据的说法错误的是（　D　） A.平均数是7　　　　B.中位数是6.5 C.众数是6　　　　D.方差是1 8.对于函数y＝－2x＋3的图象，下列结论错误的是（　B　） A.图象必经过点（1，1） B.图象经过第一、三、四象限 C.与y轴的交点为（0，3） D.若两点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则y1＞y2 9.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM.若AC＝6，BD＝8，则OM的长为（　A　） 第9题图　　 A.　　B.4　　C.5　　D. 解析：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝AC＝×6＝3，OB＝BD＝×8＝4.∴BC＝＝5.∵点M为AB的中点，O为AC的中点，∴OM＝BC＝×5＝.故选A. 10.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家.图中x表示张强离家的时间，y表示张强离家的距离，则下列结论正确的是（　C　） 第10题图 A.张强从家到体育场用了30 min B.体育场离文具店1.5 km C.张强在体育场锻炼了15 min D.张强从文具店回家的平均速度是 m/min 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.要使二次根式有意义，则x的取值范围是　x≤3　. 12.把正比例函数y＝2x的图象平移，使它过点（1，－2），则平移后的函数解析式为　y＝2x－4　. 13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，OD＝4.则∠AOB的度数为　60°　. 第13题图　　 14.17世纪法国数学家笛卡尔在前人的基础上发明了平面直角坐标系，通过坐标系将几何图形转化为代数方程，为数学研究提供了新的工具和方法.如图所示，将等腰直角三角板ABC的两个顶点A，B刚好放在两坐标轴上.若直角边AB所在直线的解析式为y＝－x＋2，则点C的坐标为　（2，6）　. 第14题图　　 解析：如图，过点C作CD⊥y轴于D点.当y＝0时，－x＋2＝0.解得x＝4. ∴A（4，0）.当x＝0时，y＝－×0＋2＝2.∴B（0，2）.∵△ABC为等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°.∵∠ABO＋∠CBD＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO.在△ABO和△BCD中，∵∠AOB＝∠BDC，∠BAO＝∠CBD，AB＝BC，∴△ABO≌△BCD（AAS）.∴CD＝OB＝2，BD＝OA＝4.∴C（2，6）. 15.若一个三角形三边长之比为345，则称这个三角形为“勾股三角形”.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＞AB，点E在边AD上，将△ABE沿BE折叠，得到△FBE，点A的对应点F落在矩形内部.过点F作FG⊥BC于点G.若△FBG是“勾股三角形”，则BE的长为　或　. 第15题图 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABG＝90°.根据折叠的性质，可得BF＝AB＝5，AE＝EF，∠BFE＝∠A＝90°.如图，延长GF交AD于点H.∵FG⊥BC，则四边形ABGH是矩形.∴AH＝BG. 若△FBG是“勾股三角形”，分两种情况：①当BG＝4，FG＝3时，HF＝HG－FG＝5－3＝2.设AE＝a，则EH＝4－a.在Rt△EHF中，根据勾股定理，得EH2＋HF2＝EF2，即（4－a）2＋22＝a2.解得a＝.∴BE＝＝＝. ②当BG＝3，FG＝4时，HF＝HG－FG＝5－4＝1.设AE＝b，则EH＝3－b.在Rt△EHF中，根据勾股定理，得EH2＋HF2＝EF2，即（3－b）2＋12＝b2.解得b＝.∴BE＝＝＝.综上所述，BE的长为或. 三、解答题（本大题共8道题，共75分） 16.（10分）计算： （1）＋×－；　　　　　　 解：（1）原式＝3 ＋－4 （3分） ＝3 ＋5 －4  ＝4 .（5分） （2）（4 －3 ）÷2 . 解：（2）原式＝4 ÷2 －3 ÷2 （3分） ＝2－ .（5分） 17.（9分）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为9 cm2和12 cm2的两个小正方形木料. （1）截去的两块正方形木料的边长分别为　3　cm和　2 　cm； （2）求剩余木料的面积. 解：（2）∵两个小正方形的面积为9 cm2和12 cm2，∴两个小正方形的边长分别为3 cm和2  cm. ∴大正方形的面积为（3＋2 ）2＝9＋12 ＋12.（7分） ∴剩余木料的面积为9＋12 ＋12－9－12＝12 （cm2）.（9分） 18.（9分）根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定.这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间.某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、乙选手得分的折线图如图所示： 信息二：选手丙五轮比赛其中三轮得分分别是：9.0，8.9，8.3. 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手 统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中a＝　9.1　，b＝　9.1　； （2）从甲、乙两位选手得分的折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为；（填“＞”“＜”或“＝”） （3）该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由. 应该推荐乙选手.（7分） 理由如下：乙的中位数最高，且平均数和丙一样都比甲高，∴应该推荐乙选手.（答案合理即可）（9分） 19.（9分）已知一次函数y＝－x＋6的图象与坐标轴分别交于点A，点B，函数y＝kx（k≠0）与y＝－x＋6的图象交于点P（2，m），如图所示. （1）填空：k＝　2　，m＝　4　； （2）求直线y＝kx和直线y＝－x＋6与x轴所围成的三角形OAP的面积； 由（1）知m＝4，∴点P（2，4）.（3分） ∴点P到x轴的距离是4.当y＝0时，－x＋6＝0.解得x＝6.∴点A（6，0）.∴OA＝6.∴S△OAP＝×6×4＝12.（7分） （3）根据图象，直接写出不等式－x＋6≥kx的解集. 根据图象，不等式－x＋6≥kx的解集为x≤2.（9分） 20.（9分）根据背景素材，探索解决问题. 测量风筝离地面的垂直高度（CD） 背 景 素 材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟，后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝.到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”. 操 作 步 骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15米. ②测得牵线放风筝的手的位置A处到地面的距离AB为1.5米； （备注：点A，B，C，D在同一平面内） （续表） 问题解决 任 务 一 （1）如图1，根据手中余线长度，计算出AC的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度CD. （提示：过点A作AE⊥CD于点E） 图1 解：（1）∵AE⊥CD，AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠AED＝90°.∴四边形ABDE是矩形，则AE＝BD＝15米，DE＝AB＝1.5米，∠AEC＝90°.（2分） 在Rt△AEC中，CE＝＝＝8（米）. ∴CD＝CE＋ED＝8＋1.5＝9.5（米）.（4分） 问题解决 任 务 二 （2）如图2，在任务一的基础上，若手中剩余线仅有6米时，想要风筝沿射线DC方向再上升12米，即CF＝12米，线段BD的长度不变，请问能否成功？并说明理由. 图2 解：（2）不能成功.（5分） 理由如下：∵CF＝12米，CE＝8米，∴EF＝CE＋CF＝8＋12＝20（米）.在Rt△AEF中，AF＝＝＝25（米）.（7分） ∵AC＝17米，余线仅剩6米，∴17＋6＝23＜25.∴不能上升12米，即不能成功.（9分） 21.（9分）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB＝4 cm，BC＝8 cm，将纸片沿某条直线折叠时，点B恰与点D重合. （1）请你用无刻度的直尺和圆规作出折痕，交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O；（不写作法，保留作图痕迹） 解：（1）如图，折痕EF即为所求.（3分） （2）在（1）的基础上，连接BE，DF，判定四边形BEDF的形状，并说明理由； 解：（2）四边形BEDF为菱形.（4分） 理由如下：∵EF是BD的垂直平分线，∴EF⊥BD，OB＝OD，EB＝ED，FB＝FD.∵EO＝EO，∴△BOE≌△DOE（SSS）.∴∠BEO＝∠DEO.（5分） ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠BFO＝∠DEO.∴∠BFO＝∠BEO.∴BF＝BE.∴BF＝BE＝ED＝DF.∴四边形BEDF为菱形.（7分） （3）请直接写出（2）中四边形BEDF的周长. 解：（3）四边形BEDF的周长为20 cm.（9分） 解析：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4 cm，BC＝8 cm，∴AD＝BC＝8 cm，∠A＝90°.由（2）知四边形BEDF是菱形，∴设BF＝BE＝ED＝DF＝x，则AE＝8－x.根据勾股定理，得AE2＋AB2＝BE2，即（8－x）2＋42＝x2.解得x＝5.故四边形BEDF的周长为4×5＝20（cm）. 22.（10分）四月的风踩着温柔的阳光漫过王屋山，一家家独具特色的文创店铺鳞次栉比，让文化的温度与春天的蓬勃撞个满怀.这是2025年济源王屋山旅游节时的一个场景.在文创市集上，某文创工作室开发A，B两种主题的书签进行销售，制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元. （1）求制作1套A主题书签和1套B主题书签的成本； 解：（1）设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元. 根据题意，得（3分） 解得 答：制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元.（5分） （2）现工作室要制作A，B两种主题的书签共80套推向市场，A种主题的书签每套售价100元，B种主题的书签每套售价30元，已知制作A，B两种主题的书签的总成本不能超过1 400元.为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值. 解：（2）设制作m套A主题书签，则制作（80－m）套B主题书签，全部售出后获得的总利润为w元. 根据题意，得30m＋10（80－m）≤1 400.解得m≤30. ∴w＝（100－30）m＋（30－10）（80－m）＝50m＋1 600.（8分） ∵50＞0，∴w随m的增大而增大.∴当m＝30时，w取得最大值.w最大＝50×30＋1 600＝3 100.∴80－m＝80－30＝50. 答：当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润值为3 100元.（10分） 23.（10分）（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.试说明理由； 图1　　 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝BO，AO⊥BO，∠BAO＝∠OBF＝45°.∴∠AOE＋∠BOE＝90°.∵∠A1OC1＝90°，∴∠A1OB＋∠BOC1＝90°.（2分） ∴∠AOE＝∠BOF.∵AO＝BO，∠OAE＝∠OBF＝45°，∴△AOE≌△BOF（ASA）.∴S△AOE＝S△BOF.∴两个正方形重叠部分的面积＝S△ABO＝正方形ABCD面积的.（4分） （2）如图2，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：AE2＋AD2＝2AC2； 图2　　 解：（2）证明：如图①，连接BD.∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ECD－∠ACD＝∠ACB－∠ACD. 图① ∴∠ACE＝∠BCD.∵CA＝CB，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD（SAS）.（5分） ∴AE＝BD，∠CDB＝∠CEA＝45°.∵△ECD是等腰直角三角形，∴∠EDC＝45°.∴∠ADB＝∠CDB＋∠EDC＝90°.∴△ADB是直角三角形.∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD2＋AE2＝AB2.∵△ACB是等腰直角三角形，∴AB2＝AC2＋BC2＝2AC2.∴AE2＋AD2＝2AC2.（8分） （3）如图3，在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，D是斜边AB的中点，点D又是Rt△DEF的直角顶点，DF＞DE＞AC，△DEF绕点D转动，DE，DF分别与AC，BC交于点M，N.若AC＝2，请直接写出两个三角形重叠部分的面积. 图3 两个三角形重叠部分的面积是1.（10分） 解析：如图②，连接CD.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，D是斜边AB的中点，∴CD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD⊥AB. 图② ∴∠CDB＝90°.∵∠EDF＝90°，∴∠CDM＝∠BDN.∵∠B＝45°，∴∠MCD＝∠B.∴△CDM≌△BDN（ASA）.∴S△CDM＝S△BDN.∴两个三角形重叠部分的面积即S四边形DMCN＝S△CDM＋S△CDN＝S△BCD＝S△ACB＝×AC•BC＝××2×2＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $