试卷4 开封市2024-2025学年下学期期末试题（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 开封市初中数学期末试卷，以演讲比赛评分、水龙头滴水实验、水拓丝巾销售等现实情境为载体，融合K型全等、矩形折叠等探究性问题，覆盖代数、几何、统计核心知识，突出数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式运算、函数定义、勾股定理等|第8题通过滴水实验数据考查一次函数应用，体现数据意识| |填空题|5/15|二次根式意义、一次函数性质、坐标与图形|第15题矩形中点动态问题，考查空间观念与几何直观| |解答题|8/55|统计分析、一次函数综合、几何探究等|第22题水拓丝巾销售问题，融合方程与函数，培养模型意识；第23题A/B选做题（K型全等或矩形折叠），分层考查推理能力与创新意识|

试卷4　开封市 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.下列运算正确的是（　B　） A.＋＝　　　　B.×＝ C.＝－2　　　　D.÷＝4 2.在学校举行的“健康阳光少年，做更好的自己”演讲比赛中，六位评委给小豫的评分（单位：分）分别为8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小豫此次演讲比赛得分的离差平方和为（　C　） A.2　　B.3.5　　C.2.5　　D.8.5 3.下列图象中，不能表示y是x的函数的是（　D　） A.　　B.　　C.　　D. 4.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P，M，N分别是AB，AC，BD的中点.若BC＝6，则△PMN的周长是（　B　） 第4题图　　 A.6　　B.9　　C.12　　D.18 5.如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据是（　C　） 第5题图　　 A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 6.已知是整数，则n的最小正整数值为（　D　） A.3　　B.4　　C.5　　D.6 7.如图，从一个大正方形中裁去面积为15 cm2和24 cm2的两个小正方形，余下部分的面积为（　B　） A.6 cm2　　B.12 cm2　　C.18 cm2　　D.20 cm2 8.水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某数学兴趣小组进行了以下的试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5 min记录一次容器中的水量，并填写下表. 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 水量w/mL 0 30 60 90 120 150 180 以横轴表示时间t，纵轴表示水量w，建立直角坐标系，描出上述试验所得数据为坐标的各点，观察它们的分布规律，估算这种漏水状态下一天（24 h）的漏水量为（　D　） 第7题图 A.144 mL　　B.864 mL　　C.1 440 mL　　D.8 640 mL 9.如图，一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B到墙底部O的距离BO为0.7 m.如果将梯子顶端A沿墙下滑0.4 m到C处，梯子底端B将外移的距离BD为（　A　） A.0.8 m　　B.0.7 m　　C.0.6 m　　D.0.5 m 解析：根据题意，可知AB＝CD＝2.5 m，BO＝0.7 m，AC＝0.4 m，∠COD＝∠AOB＝90°.在Rt△AOB中，AO＝＝2.4（m），∴CO＝AO－AC＝2（m）.在Rt△COD中，OD＝＝1.5（m）.∴BD＝OD－BO＝0.8（m）.故选A. 10.观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（　A　） ＝2；＝3；＝4；＝5… A.＝n　　　　B.＝n C.＝n＋　　　　D.＝n 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥－2　. 12.如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板.如果光线与纸板右下方所成的∠1＝73°，那么光线与纸板左上方所成的∠2＝　73　°. 第12题图　　 13.一次函数y＝kx－1（k为常数，且k≠0），y随x增大而增大，则k的值可以为　1（答案不唯一）　（写一个即可）. 14.如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，点A的坐标为（2，0），以AB为边在△ABO的外侧作正方形ABCD，则点D的坐标为　（3，1）　. 第14题图 解析：如图，过点D作DH⊥x轴于点H.∵点A的坐标为（2，0），∴OA＝2. 在Rt△ABO中，AB＝OB，OA＝2，∴OB2＋AB2＝OA2＝4.∴OB＝AB＝.∴∠OAB＝45°.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝，∠BAD＝90°.∴∠DAH＝180°－∠OAB－∠BAD＝45°.∵DH⊥x轴，∴△ADH是等腰直角三角形.∴AH＝DH.∴AD2＝AH2＋DH2.∴AH＝DH＝1.∴OH＝OA＋AH＝2＋1＝3.∴D（3，1）. 15.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是边BC上一动点，M，N分别是AE，AD的中点，在点E运动过程中，MN的最大值为　2.5　，最小值为　1.5　. 解析：如图，连接DE.∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝4，∴CD＝AB＝3. ∵M，N分别是AE，AD的中点，∴MN为△AED的中位线.∴MN＝DE.当DE⊥BC，即C，E两点重合时，DE有最小值，即MN有最小值，此时，DE＝CD＝3，则MN的最小值为×3＝1.5.当CE最大，即B，E两点重合时，DE有最大值，即MN有最大值，此时，CE＝BC＝4，∴DE＝＝5，则MN的最大值为×5＝2.5. 三、解答题（共55分） 16.（每小题4分，共8分）计算： （1）＋；　　 解：（1）原式＝2 ＋4 （2分） ＝6 .（4分） （2）（3＋2 ）（3－2 ）－6 ÷2 . 解：（2）原式＝9－8－3 （2分） ＝1－3 .（4分） 17.（6分）一竖直的木杆在离地面2 m的C处折断，木杆顶端落在离木杆底端3 m的B处.求木杆折断之前的高度. 解：根据题意，得AC＝2 m，AB＝3 m，∠CAB＝90°，∴BC2＝AC2＋AB2＝22＋32＝13.∴BC＝ m.∴BC＋AC＝（＋2）m，即木杆折断之前的高度为（＋2）m.（6分） 18.（6分）某校开展“节约每一滴水”的活动，分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生了解各自家庭一周的节水情况，收集了相关数据，并进行了整理和分析，部分信息如下： 信息一：八年级学生一周家庭节水量平均数据计算过程如下： ＝80.5（kg）. 信息二：九年级学生一周家庭节水量的频数分布直方图如下： 信息三： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 九年级 82.5 80 n 118.75 八年级 80.5 m 70 174.75 根据以上信息，解答下列问题： （1）m＝　75　，n＝　80　； （2）你认为哪个年级学生家庭节水量更加稳定？并说明理由； 九年级学生家庭节水量更加稳定.（3分） 理由如下：九年级学生家庭节水量的方差为118.75，八年级学生家庭节水量的方差为174.75.因为118.75＜174.75，所以九年级学生家庭节水量更加稳定.（4分） （3）若九年级甲同学和八年级乙同学一周家庭节水量均为80 kg，两人在各自年级中谁的家庭节水量排名更靠前？请说明理由. 八年级乙同学的一周家庭节水量在自己年级排名更靠前.（5分） 理由如下：九年级一周家庭节水量的中位数为80 kg，八年级一周家庭节水量的中位数为75 kg，甲同学一周家庭节水量等于九年级一周家庭节水量的中位数，乙同学一周家庭节水量大于八年级一周家庭节水量的中位数，所以八年级乙同学的一周家庭节水量在自己年级排名更靠前.（6分） 19.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（6，0）.现将△AOB折叠，使点B落在OA的中点E处，折痕为CD，C在x轴上，D在AB边上，求BC的长. 解：根据折叠的性质，可知BC＝CE.∵A（0，4），B（6，0），∴OB＝6，OA＝4.设CE＝BC＝x，则OC＝6－x.∵E是OA的中点，∴OE＝OA＝×4＝2.（3分） 在Rt△OCE中，OE2＋OC2＝CE2.∴22＋（6－x）2＝x2.解得x＝.∴BC的长为.（6分） 20.（7分）如图，已知直线l1：y1＝x＋b1与直线l2：y2＝kx＋b2相交于点P（2，1），直线l2与x轴交于B（3，0）. （1）分别求出直线l1，l2的解析式； 解：（1）把P（2，1）代入y1＝x＋b1中，得2＋b1＝1. 解得b1＝－1.∴y1＝x－1.（2分） 把P（2，1），B（3，0）代入y2＝kx＋b2中，得解得∴y2＝－x＋3.∴直线l1，l2的解析式为y1＝x－1，y2＝－x＋3.（3分） （2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围； 解：（2）当y1＞y2时，x的取值范围为x＞2.（5分） （3）点M在x轴上，当S△BPM＝2时，求点M的坐标. 解：（3）设M（m，0）.∵S△BPM＝2，P（2，1），B（3，0），∴S△BPM＝×1×BM＝2.∴BM＝4，即｜3－m｜＝4.解得m＝－1或m＝7，∴M（－1，0）或（7，0）.（7分） 21.（7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm.动点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）从运动开始，运动几秒时，四边形PDCQ是平行四边形； 解：（1）设运动t秒，四边形PDCQ是平行四边形，则AP＝t cm，CQ＝3t cm.∵AD＝24 cm，BC＝26 cm，∴PD＝（24－t）cm.∵AD∥BC，∴当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.∴24－t＝3t.解得t＝6.∴运动6 s时，四边形PDCQ是平行四边形.（3分） （2）从运动开始，运动几秒时，四边形APQB是矩形. 解：（2）∵∠B＝90°，AP∥BQ，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是矩形.∵BQ＝BC－CQ＝（26－3t）cm，∴t＝26－3t.解得t＝6.5.∴运动6.5 s时，四边形APQB是矩形.（7分） 22.（7分）水拓丝巾是一种融合非遗技艺与现代创意的独特手工艺品，具有独特的艺术价值和历史文化价值.某商店有甲、乙两种水拓丝巾格外畅销，甲种水拓丝巾每件的进价比乙种水拓丝巾每件进价多15元，用960元购进甲种水拓丝巾的件数与用780元购进乙种水拓丝巾的件数相同. （1）求甲、乙两种水拓丝巾每件进价； 解：（1）设甲种水拓丝巾每件进价为x元，则乙种水拓丝巾每件进价为（x－15）元. 根据题意，得＝.解得x＝80.（2分） 经检验，当x＝80时，x（x－15）≠0，x＝80是原分式方程的解.∴x－15＝80－15＝65. 答：甲种水拓丝巾每件进价为80元，乙种水拓丝巾每件进价为65元.（3分） （2）若甲种水拓丝巾每件售价100元，乙种水拓丝巾每件售价80元.为迎接旅游旺季，该商店计划投入不超过7 400元的资金，购进甲、乙两种水拓丝巾共100件.若所有丝巾都能全部售出，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 解：（2）设购进甲种水拓丝巾m件，则购进乙种水拓丝巾（100－m）件，总利润为W元. 根据题意，得80m＋65（100－m）≤7 400.解得m≤60.（5分） 则W＝（100－80）m＋（80－65）（100－m）＝5m＋1 500.∵5＞0，∴W随m的增大而增大.∴当m＝60时，W最大.W最大＝5×60＋1 500＝1 800. ∴100－m＝100－60＝40. 答：当购进甲种水拓丝巾60件，购进乙种水拓丝巾40件时利润最大，最大利润为1 800元.（7分） 23.（8分）本题分A，B题，任选一题作答. A题 数学活动课上，兴趣小组利用图1验证勾股定理：等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线l上，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E，易证得：△ADC≌△CEB（无需证明），我们称这种全等模型为“K型全等”. 图1　　　　 问题探究： （1）如图2，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，4），则点B的坐标为　（6，2）　； 图2 问题深化： （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝－3x＋6分别与x轴，y轴交于点C，点A，过点C作BC⊥AC于点C，且BC＝AC，作直线AB，求直线AB的解析式； 图3　　　　 （2）如图，过点B作BD⊥x轴于点D.根据y＝－3x＋6，得当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝2. ∴C（2，0），A（0，6）.∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°.（2分） ∵BC＝AC，同（1），可得B（8，2）.∴设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.∵y＝kx＋b的图象过点A（0，6）与点B（8，2），∴解得∴直线AB的解析式为y＝－x＋6.（4分） 拓展应用： （3）如图4，在（2）的条件下，若点E为线段AB中点，在平面内是否存在点P，使以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（提示：平面直角坐标系上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），P为A，B的中点，则A，B的中点坐标公式P（，）） 图4 存在，点P的坐标为（－2，2）或（2，10）或（6，－2）.（8分） 解析：∵C（2，0），A（0，6），B（8，2），点E为线段AB中点，∴E（4，4）.设P（s，t）.∵以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形，∴分三种情况：①当AC为对角线时，∴解得∴P（－2，2）. ②当AE为对角线时，解得∴P（2，10）. ③当CE为对角线时，解得∴P（6，－2）. 综上所述，点P的坐标为（－2，2）或（2，10）或（6，－2）. B题 数学活动课上，兴趣小组以“矩形折叠”为主题开展探究活动，矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8. 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，折痕为EF； 操作二：再次对折，使矩形纸片EFCD的边EF与CD重合，展开纸片，得到两条折痕GH和MN； 操作三：在AG上取一点P，把△ABP沿BP折叠，使点A落在矩形ABCD内部点R处，把纸片展平，连接BR，PB，PR. （1）特例探究 如图1，当∠ABP＝30°时，PR与PB的数量关系为　PR＝PB　.延长PR交GH于点Q，如图2，QR与QH的数量关系为　QR＝QH　； 图1　图2　 （2）深入探究 如图3，若改变点P在AG上的位置，把△ABP沿BP折叠，点A的对应点为点R，延长PR交GH于点Q，请判断QR与QH的数量关系，并说明理由； 图3　 图① 理由如下：如图①，连接BQ.根据折叠的性质，得BR＝AB＝6，BH＝BC＝6，∠BHQ＝90°.∴BR＝BH.∵∠QRB＝∠QHB＝90°，BQ＝BQ，∴Rt△BHQ≌Rt△BRQ（HL）.∴QR＝QH.（6分） （3）拓展应用 当PM＝1时，把△ABP沿BP折叠，点A的对应点为点R，延长PR交GH于点Q，直接写出QH的长. 备用图 QH的长为2或（8分） 解析：根据折叠的性质，得AM＝EM＝GE＝DG＝AE＝AD＝2，GH＝AB＝6，AP＝PR.分两种情况： ①如图②，当点P在点M上方时.∵PM＝1，∴AP＝AM＋PM＝3，GP＝GE＋EM－PM＝3.∴PR＝3.设QH＝x，则GQ＝GH－QH＝6－x.根据（2），知QR＝QH＝x.∴PQ＝PR＋RQ＝3＋x. 在Rt△GPQ中，PQ2＝GP2＋GQ2.∴（3＋x）2＝32＋（6－x）2.解得x＝2，即QH＝2； 图②　 ②如图③，当点P在点M下方时.同理，得GP＝5，PR＝AP＝1.设QH＝y，则GQ＝GH－QH＝6－y.根据（2）得QR＝QH＝y.在Rt△GPQ中，PQ2＝GP2＋GQ2，∴（1＋y）2＝52＋（6－y）2.解得y＝，即QH＝.综上所述，QH的长为2或. 图③ 学科网（北京）股份有限公司 $