试卷3 新乡市某重点中学2024-2025学年下学期期末试题（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 新乡市重点中学初中数学期末试卷，以现实情境为载体，梯度设计合理，综合考查运算、推理及空间观念等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|二次根式运算、勾股定理、菱形性质等|基础概念与几何直观结合，如第3题菱形中中位线计算| |填空题|5题15分|方差计算、坐标几何、动态最值|第15题矩形对称点运动，考查空间观念与转化思想| |解答题|7题75分|实践测量（旗杆高度）、统计分析、动态几何（菱形旋转）|第21题烩面套餐利润问题，体现模型意识；第23题旋转综合题，融合推理与创新思维|

试卷3　新乡市某重点中学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列计算正确的是（　D　） A.＋＝　　　　B.2＋＝2  C.2 －＝1　　　　D.－＝ 2.下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（　D　） A.8 cm，15 cm，17 cm　　　　B.3 cm，5 cm， cm C.0.3 cm，0.4 cm，0.5 cm　　　　D. cm， cm， cm 3.如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　B　） 第3题图　 A.2　　B.3.5　　C.7　　D.14 4.聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（　D　） 第4题图　 A.正三角形　　B.正八边形　　C.正六边形　　D.正方形 5.若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在一次函数y＝（1＋2m）x－3的图象上，且当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（　D　） A.m＞　　B.m＜　　C.m＜－　　D.m＞－ 6.庆元大道两侧需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率.该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（　B　） 第6题图 A.200 m2　　B.300 m2　　C.400 m2　　D.500 m2 7.在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（　B　） A.95　　B.90　　C.85　　D.80 8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝m，P为BC上任意一点，则PA2＋PB•PC的值为（　A　） 第8题图　 A.m2　　B.m2＋1　　C.2m2　　D.（m＋1）2 解析：如图，作AD⊥BC交BC于点D，则AB2＝BD2＋AD2，PA2＝PD2＋AD2.∴AB2－PA2＝BD2＋AD2－（PD2＋AD2）＝（BD＋PD）（BD－PD）. ∵AB＝AC，∴D是BC中点.∴BD＋PD＝PC.∵BD－PD＝PB，∴AB2－PA2＝PC•PB.∴PA2＋PB•PC＝AB2＝m2.故选A. 9.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AC上，AD＝2，点P为AB上一动点.连接PC，PD.设PA＝x，PC＋PD＝y，图2是点P从点A运动到点B的过程中y与x之间的函数图象，K为最低点.甲、乙、丙三名同学分别对点M，N，K进行了如下研究：甲：点M的纵坐标为6；乙：点N的纵坐标为6＋2 ；丙：点K的纵坐标为2.则下列判断正确的是（　A　） 图1　图2 第9题图　 A.甲错，乙、丙都对　　　　B.甲、丙都错，乙对 C.甲、乙、丙都对　　　　D.甲、乙、丙都错 解析：当点P在A点位置，即x＝0时，PC＝AC＝6，PD＝AD＝2.∴y＝PC＋PD＝6＋2＝8.∴点M的纵坐标为8.甲错；当点P在B点位置时，x的值最大，y有最大值，此时PC＝BC＝6.如图①，连接BD.在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝AC－AD＝6－2＝4.∴PD＝BD＝＝＝2.∴y＝PC＋PD＝BC＋BD＝6＋2.∴点N的纵坐标为6＋2.乙对； 图①　 如图②，作点D关于AB的对称点E，连接CE，AE，EC与AB的交点为P′，则E，P′，C三点共线，此时y有最小值，是EC＝EP′＋P′C，则AE＝AD＝2，∠EAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°.∴CE＝＝＝2 .∴点K的纵坐标为2 ，丙对.故选A. 图② 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 ，BC＝2，点D是AC延长线上一点，以BA，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接CE，BE，有以下结论：①△ACE的面积不变；②EA＋EB的最小值为3 ；③BE的最小值为4，其中正确的是（　B　） 第10题图 A.①②　　B.①③　　C.②③　　D.①②③ 解析：如图1，过点E作EJ⊥AD于点J，则∠DJE＝90°.∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝DE，AB∥DE.∴∠BAC＝∠EDJ.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DJE.∴△ACB≌△DJE（AAS）.∴EJ＝BC＝2.∴S△ACE＝AC•EJ＝×2 ×2＝2 .∴△ACE的面积不变. 图1　 ①正确；如图2，∵EJ＝BC＝2，则点E在直线l上运动.延长BC交直线l于点T，至点B′，使得B′T＝BT，连接B′E，B′A.∵直线l∥AD，BC⊥AD，∴BB′⊥直线l. 图2 ∴点B′为点B关于直线l的对称点.∴BE＝B′E.∴EA＋EB＝EA＋EB′≥AB′.当点A，E，B′三点共线时，EA＋EB取得最小值，为AB′的长.∵直线l∥AD，EJ⊥AD，BC⊥AD，∴CT＝EJ＝2.∴B′T＝BT＝2＋2＝4.∴B′C＝4＋2＝6.∴在Rt△ACB′中，AB′＝＝＝4 .∴EA＋EB的最小值为4 .②错误；∵点E在直线l上运动，∴BE≥BT＝4.∴BE的最小值为4，③正确.综上所述，①③正确.故选B. 二、填空题（每空3分，共15分） 11.计算：－＝　　. 12.如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是1，AC＝BC＝BD＝1.若以点A为圆心、AD的长为半径作弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为　＋1　.第12题图　　第14题图　　第15题图 13.已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是3，则数据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3的方差是　12　. 14.如图，直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点.若△ABC和△ABP的面积相等，则a的值为　－3或　. 解析：当x＝0时，则－x＋2＝2.∴点B的坐标为（0，2）.当y＝0时，则0＝－x＋2.解得x＝3.∴点A的坐标为（3，0）.∴OA＝3，OB＝2.∴由勾股定理，得AB＝＝.∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝.若△ABC和△ABP的面积相等，分两种情况： ①当点P在第四象限时，a＜0.∵S△ABO＝OA•OB＝3，S△APO＝OA•｜a｜＝－a，S△BOP＝OB×1＝1，∴S△ABP＝S△ABO＋S△APO－S△BOP＝S△ABC＝，即3－a－1＝.解得a＝－3. ②当点P在第一象限时，a＞0.∵S△ABO＝OA•OB＝3，S△APO＝OA•｜a｜＝a，S△BOP＝OB×1＝1，∴S△ABP＝S△BOP＋S△APO－S△ABO＝S△ABC＝，即1＋a－3＝.解得a＝.综上所述，a的值为－3或. 15.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，点E关于AC的对称点为F，连接BF，点E从点B运动到点D的过程中，BF的最小值为　　. 解析：如图1，图2，作点B关于AC的对称点G，连接EG，CG.由轴对称的性质，得EG＝BF，则点G到折线BCD的最短距离即为BF的最小值.如图1，当点E在BC上运动时，点G到BC的最短距离为CG的长. 图1　 如图2，当点E在CD上运动，EG⊥CD时，点G到CD的距离最短.∵在Rt△CEG中，CG＞EG，∴当点E在折线BCD上运动时，点G到折线BCD的最短距离为图2中EG的长. 图2 在图2中，设BG交AC于点O，交CD于点H.∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝3.∴AC＝＝5.由轴对称的性质，得OG＝OB，BG⊥AC.∴S△ABC＝AC•OB＝AB•BC.∴OB＝＝.∴OC＝＝，OG＝OB＝.设OH＝x（x＞0），则BH＝OB＋OH＝＋x.∵OC2＋OH2＝CH2＝BH2－BC2，∴（）2＋x2＝（＋x）2－32.解得x＝，∴OH＝，GH＝OG－OH＝－＝.∴CH＝＝.∵S△CHG＝CH•EG＝GH•OC，∴EG＝＝＝，即BF的最小值为. 三、解答题（共75分） 16.（8分）计算：（1）÷×2 －6 ； 解：（1）原式＝3 ××2 －6 （2分） ＝12 －6 . ＝6 .（4分） （2）＋｜－｜－｜－1｜. 解：（2）原式＝2＋－－＋1（2分） ＝3－.（4分） 17.（8分）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.测量结果如下表： 项目 背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究.他们制订了测量方案，并进行实地测量. 测量实物图 图1 项目 方案 测量过程 步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE，用皮尺测出NE的长度. 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处，用皮尺测出点A与点B之间的距离. 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离. 测量示意图 图2 图3 各项 数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 0.5 m 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6 m 小丽身高 1.5 m 请根据表格所给信息，完成下列问题. （1）直接写出线段MN与AM之间的数量关系； 解：（1）MN＝AM－0.5.（2分） （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高度. 解：（2）由题图3，可得∠ACN＝∠CNB＝∠ABN＝90°，∴四边形ABNC是矩形.∴NC＝AB＝1.5 m，AC＝NB＝6 m，AC⊥MN.（4分） 设AM＝x m，则MC＝MN－NC＝AM－0.5－1.5＝（x－2）m. 在Rt△ACM中，AC2＋MC2＝AM2，即62＋（x－2）2＝x2. 解得x＝10.（6分） ∴AM＝10 m.∴MN＝AM－0.5＝9.5（m）. 答：学校旗杆MN的高度为9.5 m.（8分） 18.（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.求证：四边形ADCF是菱形. 证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵D是BC的中点，E是AD的中点，∴AE＝DE，BD＝CD.（2分） 在△AFE和△DBE中，∵∠AFE＝∠DBE，∠FEA＝∠BED，AE＝DE，∴△AFE≌△DBE（AAS）.∴AF＝DB.（4分） ∵DB＝DC，∴AF＝CD.∴四边形ADCF是平行四边形.∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC. ∴四边形ADCF是菱形.（9分） 19.（9分）某校组织了“强国有我”知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）.测试结束后，发现该校全体学生的测试成绩均不低于80分，现从七、八年级中分别随机抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成四组.A组：80≤x＜85；B组：85≤x＜90；C组：90≤x＜95；D组：95≤x≤100），并绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图.其中七、八年级中C组学生的成绩如下： 七年级C组学生的成绩：94，93，94，94，90，90； 八年级C组学生的成绩：92，94，92，91，92，92，94，93，92； 　　 七、八年级抽取20名学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a 94 49 八年级 93 92 b 54.5 【解决问题】 （1）填空：a＝　90　，b＝　92　，m＝　45　； （2）已知该校七、八年级分别有1 000名学生，若学生测试成绩达到90分以上（含90分）为优秀，请你估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； 1 000×＋1 000×（45％＋20％）＝550＋650＝ 1 200（人）. 答：估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数为1 200.（5分） （3）补全频数分布直方图； 补全频数分布直方图如图所示.（7分） 七年级抽取的学生成绩频数分布直方图 （4）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对“强国有我”相关知识了解的更好一些？请说明理由.（写出一条理由即可） 七年级的学生对“强国有我”相关知识了解的更好一些.（8分） 理由如下：七、八年级学生成绩的平均数相等，虽然八年级成绩的中位数略高于七年级，但七年级成绩的众数大于八年级，且方差更小，成绩更稳定，所以七年级的学生对“强国有我”相关知识了解的更好一些.（9分） （或八年级的学生对“强国有我”相关知识了解的更好些.（8分） 理由如下：七、八年级学生成绩的平均数相等，而七年级的中位数小于八年级，所以八年级成绩高分的人数多于七年级，所以八年级学生对“强国有我”相关知识了解的更好一些.答案合理即可（9分）） 20.（9分）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形. （1）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，BD是对角线，点D在格点上； 图1　 解：（1）垂等四边形ABCD如图所示.（4分） （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG.求证：四边形DEFG是垂等四边形. 图2 （2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠A＝90°.∵AF＝CG，∴AB－AF＝BC－CG.∴BF＝BG.（5分） ∵∠B＝∠A＝90°，BF＝BG，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∠BFG＝∠BGF＝45°.∴∠EFG＝180°－45°－45°＝90°.∵∠A＝∠C＝90°，DA＝DC，AF＝CG.∴△ADF≌△CDG（SAS）.∴DF＝DG.（7分） ∵AD∥CB，∴∠EDG＝∠DGC.∵∠DGC＝∠DEG，∴∠EDG＝∠DEG.∴DG＝EG.∴DF＝EG.∴四边形DEFG是垂等四边形.（9分） 21.（10分）烩面是河南特色传统面食，也是中国十大面条之一，烩面是一种荤、素、汤、菜、饭兼而有的河南传统美食，属于豫菜.该菜品以优质高筋面粉为原料，辅以高汤及多种配菜，以味道鲜美，汤好面筋，经济实惠，营养丰富，享誉中原，遍及全国.某烩面馆为了促销，推出A，B两种套餐，A套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元；B套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元. （1）求烩面和每小份凉菜的价格； 解：（1）设烩面的价格为x元，每小份凉菜的价格为y元. 根据题意，得（3分） 解得 答：烩面的价格为16元，每小份凉菜的价格为7元.（5分） （2）每碗烩面的毛利润为5元，每小份凉菜的毛利润为2元，根据市场需求，面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5件，且两种套餐的总件数不超过95件，假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该餐馆每天应准备多少件A种套餐？最大利润为多少？ 解：（2）设每天准备A种套餐m件，则准备B种套餐（3m－5）件，总利润为W元. 根据题意，得m＋3m－5≤95.解得m≤25. ∴W＝5m＋2×2m＋（2×5＋2×5）（3m－5）＝69m－100.（7分） ∵69＞0，∴W随m的增大而增大.∴当m＝25时，W有最大值.W最大＝69×25－100＝1 625. 答：餐馆每天应准备25件A种套餐，最大利润为1 625元.（10分） 22.（11分）【问题导入】如图1，在直线l上找一点P，如何使得PA＋PB最小？ 小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l交于点P，由对称可得PA′＝PA，所以PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当A′，P，B三点共线的时候，PA′＋PB＝A′B，此时PA＋PB最小. 　 图1　　 如图2，在直线l上找一点P，如何使得｜PA－PB｜最大？ 小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′并延长交直线l交于点P.由对称可得PA′＝PA.所以｜PA－PB｜＝｜PA′－PB｜≤A′B，当A′，P，B三点共线的时候，｜PA－PB｜＝A′B，此时｜PA－PB｜最大. 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决. 　 图2 【理解运用】（1）如图3，直线y＝x＋b上有点A（4，a），B（－2，1），点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动. 图3　　 ①当PA＋PB最小时，求点P的坐标； 解：（1）①将点B（－2，1）代入y＝x＋b，得1＝×（－2）＋b.∴b＝2.∴y＝x＋2.将点A（4，a）代入y＝x＋2，得a＝×4＋2.∴a＝4.如图①，作点B关于x轴对称点B′（－2，－1），连接AB′，则AB′与x轴的交点为点P，此时PA＋PB的值最小，为AB′的长. 图①　 设直线AB′的解析式为y＝mx＋n（m≠0）. ∵A（4，4），则解得 ∴y＝x＋.令y＝0，则x＋＝0. 解得x＝－.∴P（－，0）.（3分） ②当QA－QB最大时，求点Q的坐标. ②如图②，作点B关于y轴的对称点B″（2，1），连接AB″，则AB″与y轴的交点为点Q，∴BQ＝QB″.此时QA－QB最大，为AB″的长. 图② 设AB″所在直线的解析式为y＝qx＋e（q≠0）. 把A（4，4），B″（2，1）分别代入y＝qx＋e，则 解得 ∴AB″所在直线的解析式为y＝x－2.令x＝0， 则y＝－2.∴Q（0，－2）.（6分） 【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足t＝QA－QB－PA－PB，当t的值最大时，若点M，N分别是线段OP，OQ上的动点，且PM＝ON，连接PN，MQ，当PN＋MQ最小时，求点M的坐标. 备用图 （2）根据题意，得t＝QA－QB－PA－PB＝QA－QB－（PA＋PB）.∴当QA－QB最大，PA＋PB最小时，t有最大值. 如图③，过点P作PH⊥PO，使得PH＝PO，连接HM，HQ.由（1）知P（－，0），则H（－，）. 图③ ∵PH＝PO，∠HPM＝∠PON＝90°，PM＝ON，∴△HPM≌△PON（SAS）.（8分） ∴HM＝PN.∴PN＋MQ＝HM＋MQ≥HQ.当且仅当H，M，Q三点共线时，PN＋MQ最小.设HQ的解析式为y＝rx＋w（r≠0）.把H（－，），Q（0，－2）分别代入y＝rx＋w，得解得（10分） ∴y＝－x－2.令y＝0，则－x－2＝0.∴x＝－. ∴M（－，0）.（11分） 23.（11分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，E为直线BC上一点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转120°得到AF，连接BF交对角线AC于点G，H为边AB的中点，连接GH. （1）如图1，当点E与点B重合时，请直接写出GH与AF的数量关系为　GH＝AF　； 图1　 （2）如图2，当点E在边BC上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 图2　 中的结论成立，GH＝AF.（3分） 图① 证明：如图①，连接BD交AC于点O，连接DF.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AC⊥BD，AD∥BC，AD＝AB，OB＝OD.∴∠BAD＝180°－∠ABC＝120°.则∠ADB＝∠ABD＝30°.由旋转可知，AF＝AE，∠EAF＝120°.∴∠FAD＝∠EAB＝120°－∠DAE.（5分） 在△AFD和△AEB中，AD＝AB，∠FAD＝∠EAB，AF＝AE，∴△AFD≌△AEB（SAS）.∴∠ADF＝∠ABE＝60°.∴∠FDB＝∠ADF＋∠ADB＝90°.∴∠FDB＝∠AOB＝90°.∴OG∥DF.（7分） ∵OB＝OD，∴OG是△BDF的中位线.∴BG＝GF.∵H为边AB的中点，∴GH为△ABF的中位线.∴GH＝AF.（9分） （3）当BE＝2时，请直接写出GH的长. 备用图 GH的长为或.（11分） 解析：过点A作AM⊥BC于点M，连接DF，则∠AMB＝90°.在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝×6＝3.∴AM＝＝＝3 .由（2）知GH为△ABF的中位线，分两种情况：①如图②，当点E在边BC上时，在Rt△AME中，ME＝BM－BE＝1，∴AE＝＝＝2 .由旋转性质，得AF＝AE＝2 .∴GH＝AF＝. 图②　 ②如图③，当点E在边CB的延长线上时，此时EM＝BE＋BM＝2＋3＝5.连接BF，在Rt△AEM中，AE＝＝2 .∴GH＝AF＝.综上所述，GH的长为或. 图③ 学科网（北京）股份有限公司 $