试卷1 洛阳市2024-2025学年下学期期末试题（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 洛阳市初中数学期末试卷以核心素养为导向，融合科技热点（人形机器人）、文化传承（明代秋千问题）与生活实践（春耕化肥、节水统计），通过基础巩固（二次根式、矩形判定）、能力提升（折叠问题、一次函数应用）、创新探究（等角线四边形）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、勾股定理、平行四边形判定、统计量|第7题甜玉米产量统计分析数据意识，第10题化肥存量函数图象考查模型观念| |填空题|5/15|二次根式意义、数轴与勾股定理、一次函数交点、平均数、矩形折叠|第12题数轴上实数表示体现几何直观，第15题折叠分类讨论考查空间观念| |解答题|8/75|二次根式运算、勾股定理应用、统计分析、四边形证明、一次函数、方程与函数应用、综合探究|第17题明代秋千问题传承文化，第22题机器人购买方案优化考查应用意识，第23题等角线四边形中点四边形探究发展创新意识|

试卷1　洛阳市 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题共有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.下列式子中，属于最简二次根式的是（　D　） A.　　B.　　C.　　D. 2.如图是由正方形和直角三角形组成的，若正方形B，C的面积都为4，则正方形A的边长是（　C　） 第2题图　　 A.2　　B.4　　C.2 　　D.8 3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中能判定▱ABCD为矩形的是（　B　） 第3题图 A.AB＝BC　　B.AC＝BD　　C.AC⊥BD　　D.AB⊥BD 4.对于两组数据：①5，6，6，7，8；②4，6，6，7，9，下列说法错误的是（　D　） A.众数相同　　B.平均数相同　　C.中位数相同　　D.方差相同 5.下列计算正确的是（　B　） A.＋＝　　　　B.－＝ C.＋＝4 　　　　D.－＝ 6.△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的为（　A　） A.∠A∠B∠C＝345　　　　 B.abc＝345 C.a2＝b2＋c2　　　　 D.∠A＝∠B－∠C 7.现有甲、乙、丙、丁四个甜玉米试验品种，农科院计划为某地选出一个品种在该地不同区域推广种植.工作人员在该地不同区域选取了4块土壤条件具有代表性的试验田进行试验，得到各试验田中这四种甜玉米的产量（单位：t/公顷），统计结果如图所示.根据统计结果，最适合在该地不同区域推广种植的是（　C　） A.甲　　B.乙　　C.丙　　D.丁 8.关于函数y＝－2x＋3有下列结论，其中正确的是（　D　） A.图象经过点（－1，1） B.若A（－2，y1），B（1，y2）在图象上，则y1＜y2 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象向下平移1个单位长度后的解析式为y＝－2x＋2 9.综合与实践课上，老师制定的活动主题为：用尺规作图或折叠的方式在平行四边形纸片ABCD上作出一个菱形.同学们思考后提出下列设计方案，设计错误的是（　C　） A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：如图1，根据作图过程，可知OA＝OC，AE＝CE，AF＝CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠CEO＝∠AFO，∠ECO＝∠FAO，∴△CEO≌△AFO（AAS）.∴CE＝AF.∴四边形AFCE为平行四边形.∵AE＝CE，∴四边形AFCE为菱形.A不符合题意； 图1　 如图2，根据作图过程，可知∠ADE＝∠FDE＝∠ADC，∠DAF＝∠BAF＝∠DAE. 图2 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠DFA＝∠BAF.∴∠DAF＝∠DFA.∴DA＝DF.同理，AD＝AE.∴DF＝AE.∵AB∥CD，∴四边形AEFD为平行四边形.∵DA＝DF，∴四边形AEFD为菱形.B不符合题意； 如图3，根据折叠的性质，可得AD＝AE，FD＝FE，∠DFA＝∠EFA. 图3 ∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠EAF.∴∠EFA＝∠EAF.∴AE＝EF.∴AD＝AE＝EF＝DF.∴四边形AEFD为菱形.D不符合题意；无法证明C中的四边形BEDF为菱形，符合题意.故选C. 10.春耕期间，市农资公司连续10天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第6天开始销售.若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量s（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，下列结论：①进货期间每天调进化肥6吨；②销售期间每天销售化肥4吨；③第11天时公司的化肥存量为12吨；④该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是12天，其中正确结论的序号有（　A　） A.①④　　B.②④　　C.①②③　　D.①③④ 解析：进货期间每天调进化肥36÷6＝6（t），①正确；第6天时，库存化肥36 t，第10天时，库存化肥20 t，∴销售化肥的速度＝＝10（t/天），②错误；第11天时，公司的化肥存量为20－10＝10（t），③错误；第10天时，剩余的20 t完全售出需要20÷10＝2（天），∴该公司这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用的时间是12天，④正确.综上所述，①④正确.故选A. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若二次根式有意义，则x的值可以是　0（答案不唯一）　（写出一个即可）. 12.如图，数轴上点A表示的数为－2，过原点O作AO的垂线并截取OB＝4，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交射线AO于点C，则点C表示的实数是　2 －2　. 第12题图　　 13.如图，正比例函数y＝－x的图象与一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程－x＝kx＋b的解是　x＝－2　. 第13题图　　 14.某校开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动的一个月以来节约用水的情况，从八年级的200名同学中随机选出20名同学统计了各自家庭一个月的节水情况，统计结果见下表： 节水量/m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 家庭数/个 2 4 7 5 2 这20名同学的家庭一个月节约用水的平均数是　0.33　m3（结果保留两位小数）. 15.如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，AD＝8 cm，点P在边AD上，将△ABP沿着BP折叠，若点A的对应点A′恰好落在矩形ABCD的对称轴上，则AP＝　或　cm. 第15题图 解析：根据题意，分两种情况：①如图1，点M，N分别是AD，BC的中点，则直线MN是矩形ABCD的对称轴.当点A′落在MN上时，则四边形ABNM，MNCD是矩形.∴AM＝BN＝AD＝4.根据折叠的性质，可得A′P＝AP，A′B＝AB＝5.∴A′N＝＝3.∴A′M＝MN－A′N＝5－3＝2.∵∠PMA′＝90°，∴A′P2＝PM2＋A′M2.∴A′P2＝（4－A′P）2＋22.解得A′P＝.∴AP＝. 图1　 ②如图2，点H，Q分别是AB，DC的中点，则直线HQ是矩形ABCD的对称轴. 图2 当点A′落在HQ上时，连接AA′，则四边形AHQD，HBCQ是矩形.∴AH＝BH，AB⊥HQ.∴AA′＝BA′.根据折叠的性质，可得AB＝BA′.∴AA′＝AB＝BA′.∴△ABA′是等边三角形.∴∠ABA′＝60°.根据折叠的性质，得∠ABP＝∠A′BP＝∠ABA′＝30°.∴PB＝2AP.∵∠BAP＝90°，∴AB2＋AP2＝BP2.∴52＋AP2＝（2AP）2.解得AP＝.综上所述，AP的长为或. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.（10分）计算：（1）－12＋÷； 解：（1）原式＝2 －12×＋（3分） ＝2 －2 ＋3 ＝3.（5分） （2）（＋）（－）－（－）2. 解：（2）原式＝5－3－（5－2 ＋3）（3分） ＝2－8＋2  ＝2 －6.（5分） 17.（9分）如图，明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，其大意为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请你解决这个问题. 解：根据题意，得AC＝1，BD＝5，BE＝10. ∵BE⊥OC，BD⊥CD，OC⊥CD，∴四边形CDBE为矩形. ∴CE＝BD＝5.∵AC＝1，∴AE＝CE－AC＝5－1＝4.（4分） 设OA＝OB＝x，则OE＝OA－AE＝x－4. 在Rt△OBE中，根据勾股定理，得OB2＝OE2＋BE2. ∴x2＝（x－4）2＋102.解得x＝14.5. ∴绳索的长度为14.5尺.（9分） 18.（9分）某校九年级学生进行了一次体育模拟考试（满分：70分），从男、女生中各抽取了20名学生的测试成绩（成绩均为整数），对数据进行整理分析，并给出了下列信息： a.20名女生的测试成绩统计如下图所示： b.20名男生的测试成绩整理为五组：A.60＜x≤62；B.62＜x≤64；C.64＜x≤66；D.66＜x≤68；E.68＜x≤70，并分析绘制成扇形图.其中，D组具体成绩如下：67，67，68，68，68，68. 20名男生的测试成绩 c.抽取的女生、男生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 性别 平均数 中位数 众数 女生 66.5 68.5 p 男生 66.5 n 69 （1）根据以上信息可以求出：m＝　15　，n＝　68　，p＝　70　； （2）你认为该校九年级男生的体育成绩较好还是女生的体育成绩较好？请说明理由（理由写出一条即可）. 解：（2）该校九年级女生的体育成绩较好.（7分） 理由如下：男生和女生的平均数相同，但女生的中位数和众数都高于男生，所以九年级女生的体育成绩较好.（答案合理即可）（9分） 19.（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝2∠B. （1）尺规作图：作∠ADC的平分线DE，其中点E在BC上（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 解：（1）如图，射线DE即为所求.（3分） （2）在（1）的条件下，求证：四边形ABED是平行四边形. 解：（2）证明：根据（1）知，∠ADC＝2∠ADE＝2∠CDE. ∵∠ADC＝2∠B，∴∠B＝∠ADE.（6分） ∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.∴∠B＝∠DEC. ∴AB∥DE.∴四边形ABED是平行四边形.（9分） 20.（9分）如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象. （1）求这个一次函数的解析式； 解：（1）∵y＝kx＋b的图象过点A（2，2）与点B（－2，0）， ∴（2分） 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋1.（4分） （2）连接OA，求△ABO的面积； 解：（2）如图，连接OA. ∵B（－2，0），∴OB＝2.∴S△AOB＝OB•yA＝×2×2＝2.（7分） （3）根据图象直接写出0＜kx＋b≤2的解集. 解：（3）根据函数图象，可得0＜kx＋b≤2的解集为－2＜x≤2.（9分） 21.（9分）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.请你尝试证明.证明的方法很多，下面是其中一种方法：延长DE至点F，使得EF＝DE，连接AF，CD，CF，请结合图2，补全求证及完成证明. 已知：在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点. 求证：　　　　　　　　　　　　　. 证明： 图1　　图2 解：DE∥BC，DE＝BC（2分） 证明：延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CD，CF. ∴DF＝2DE.∵E是AC的中点，∴AE＝CE. ∵∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（SAS）.∴AD＝CF，∠ADE＝∠CFE.∴AB∥CF.（5分） ∵点D是AB的中点，∴BD＝AD.∴BD＝CF. ∵BD∥CF，∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF∥BC，DF＝BC.∴DE∥BC，DE＝BC.（9分） 22.（10分）在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的人形机器人H1.它们身着大红棉袄、扭着秧歌、转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的AI互动，成为“科技顶流”.为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多80元，用2 000元购买A型机器人模型和用1 200元购买B型机器人模型的数量相同. （1）求A，B两种型号模型的单价； 解：（1）设B型机器人模型单价是x元，则A型机器人模型单价是（x＋80）元. 根据题意，得＝.解得x＝120.（3分） 检验：当x＝120时，x≠0.∴原分式方程的解为x＝120. ∴x＋80＝120＋80＝200. 答：A型号模型单价是200元，B型号模型单价是120元.（5分） （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 解：（2）设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型（20－a）台，总花费为W元. 根据题意，得20－a≤3a.解得a≥5. ∴W＝0.8×200a＋0.8×120（20－a）＝64a＋1 920.（7分） ∵64＞0，∴W随a的增大而增大.∴当a＝5时，W值最小.W最小＝64×5＋1 920＝2 240.∴20－a＝20－5＝15. 答：购买A型机器人模型5台，B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2 240元.（10分） 23.（10分）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究. 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形. 图1 （1）在下列我们学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有　②④　（填序号）； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形. （2）性质探究 如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形.当AC⊥BD时，请判断中点四边形EFGH的形状并说明理由； 图2 解：（2）四边形EFGH为正方形.（3分） 理由如下：∵E，F，G，H分别是等角线四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，∴AC＝BD，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC.∴EH＝FG＝EF＝HG.∴四边形EFGH是菱形.（5分） ∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴∠FEH＝90°.∴四边形EFGH是正方形.（7分） （3）如图3，在△ABC中，AB＝13，BC＝11，CA＝8，D为△ABC外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积. 图3 以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或.（10分） 解析：分两种情况：①如图①，当点D在AB的上方时，E，F，G，H分别是等角线四边形ABCD四条边CD，AC，AB，BD的中点，对角线AD＝BC，AD⊥BC.由（2）可知，四边形EFGH为正方形，且EF＝EH＝FG＝GH＝BC＝，∴四边形EFGH的面积为×＝. 图①　 ②如图②，当点D在AB的下方时，E，F，G，H分别是等角线四边形ADBC四条边AC，AD，BD，BC的中点，对角线AB＝CD，AB⊥CD.由（2）可知，四边形EFGH为正方形，EF＝EH＝FG＝GH＝AB＝，∴四边形EFGH的面积为×＝. 综上所述，以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或. 图② 学科网（北京）股份有限公司 $