专题9 平行四边形中的计算与证明（PPT课件）-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册期末必刷卷名师划重点（人教版·新教材 河南专版）

这是一份初中数学八年级下册期末复习课件，左侧通过“过教材”“名师划重点”构建知识体系，设9个专题聚焦高频重难考点如平行四边形计算与证明，右侧含9地市真题及2套名师预测卷，形成系统复习支架。 资料特色突出核心素养培养，专题中矩形证明题训练推理能力，折叠问题分类讨论发展几何直观与创新意识，真题与预测结合强化应用意识。助力学生提升解题能力，为教师提供专题训练与模拟测试的优质资源。

刷真题 试卷1　洛阳市 试卷2　安阳市 试卷3　新乡市某重点中学 试卷4　开封市 试卷5　许昌市 试卷6　信阳市 试卷7　濮阳市 试卷8　济源市 试卷9　三门峡市 做预测 试卷9　期末快递　名师研创预测卷（一） 试卷10　期末快递　名师研创预测卷（二） 过教材 名师划重点 攻专题 专题1　二次根式 专题2　勾股定理 专题3　平行四边形 专题4　特殊的平行四边形 专题5　函数、一次函数 专题6　数据的分析 专题7　计算 专题8　实际应用题 专题9　平行四边形中的计算与证明 《期末考试》人教8数下 1 专题9　平行四边形中的计算与证明 《期末考试》人教8数下 2 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1. ［郑州市］（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.延长CB至点 D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交 于点E. 下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条 件，若连接BE，则可证 明BE⊥CD. 小红：由题目的已知条 件，若连接CE，则可证 明CE＝DE. （1）请你选择一位同学的说法并进行证明； 解：（1）选择小星的说法. 证明：如图1，连接BE. 图1 图1 ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形. ∴AE＝BD. （2分） ∵BD＝CB，∴AE＝CB. ∵AE∥CB，∴四边形AEBC是平行四边形.（4分） ∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形. ∴∠EBC＝90°.∴BE⊥CD. （6分） （或选择小红的说法.证明：如图2，连接CE，BE. 图2 ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形. ∴AE＝BD，AB＝DE. （2分） ∵BD＝CB，∴AE＝CB. ∵AE∥CB，∴四边形AEBC是平行四边形.（4分） 图2 ∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形. ∴AB＝CE. ∴CE＝DE. （6分）） （2）连接CE，交AB于点F，试判断BF与DE有怎样的关系，并证明你 的结论. 解：（2）BF∥DE，BF＝DE. （8分） 证明：如图3，连接CE，交AB于点F，连接BE. 图3 由（1）知四边形AEBC是矩形，∴CF＝EF. ∵BD＝CB，∴BF是△CDE的中位线. ∴BF∥DE，BF＝DE. （10分） 图3 2. （10分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD的中点 为E，连接OE并延长至点F，使得EF＝OE，连接CF，DF. （1）求证：四边形OCFD是矩形； 解：（1）证明：∵CD的中点为E，∴DE＝CE. ∵EF＝OE，∴四边形OCFD是平行四边形.（2分） ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ∴∠COD＝90°. ∴四边形OCFD是矩形.（4分） （2）若EF＝5，BD＝16，求菱形ABCD的面积. 解：（2）∵OE＝EF＝5，BD＝16， ∴OF＝2EF＝10，OD＝OB＝BD＝8.（6分） ∵四边形OCFD是矩形，∴CD＝OF＝10. ∴OA＝OC＝＝＝6.（8分） ∴AC＝2OA＝12.∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96.（10分） 3. ［广州市］（10分）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线. （1）用无刻度的直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC 于点E，F；（保留作图痕迹，不写作法） 解：（1）如图，直线EF即为所求.（2分） （2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF是菱形； 解：（2）证明：如上图，EF与BD交于点O. ∵EF垂直平分线段BD， ∴OB＝OD，EF⊥BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC. ∴∠EDO＝∠FBO. （4分） 在△EDO和△FBO中， ∴△EDO≌△FBO（ASA）.∴OE＝OF. ∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形. ∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形.（6分） （3）若AB＝4，BC＝8，求EF的长. 解：（3）∵四边形BEDF是菱形， ∴BE＝ED＝BF＝DF. 设BE＝x.∵AB＝4，AD＝BC＝8，∴AE＝8－x. 在Rt△BAE中，由勾股定理，得42＋（8－x）2＝x2. ∴x＝5，即BE＝ED＝BF＝5.∴AE＝8－x＝8－5＝3.（8分） 如（1）中图，过点E作EH⊥BC交BC于点H，则四边形AEHB是矩形. ∴EH＝AB＝4，BH＝AE＝3.∴HF＝BF－BH＝5－3＝2. 在Rt△EHF中，EF＝＝＝＝2 .（10分） 4. （10分）如图，在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作 直线MN∥BC，设MN交△ABC的外角平分线CF于点F，交△ABC的内 角平分线CE于点E. （1）求证：OE＝OF； 解：（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE. ∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE. ∴∠ACE＝∠OEC. ∴OE＝OC. 同理OF＝OC. ∴OE＝OF. （3分） （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论； 解：（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形. （4分） 证明：当点O为AC的中点时，OA＝OC. ∵OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形.（5分） ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD. ∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝（∠ACB＋∠ACD）＝90°. ∴四边形AECF是矩形.（7分） （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形 状并证明你的结论. 解：（3）当△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°时，在AC边上存在 点O（为AC的中点），使四边形AECF是正方形.（8分） 证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC. ∵MN∥BC，∴AC⊥MN，即AC⊥EF. 由（2）知，四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形.（10分） 5. 数学思想 分类讨论 （10分）学习完《四边形》这章后，数学老师给出一个问题情境让同学们探讨. 问题情境：如图1，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点O为对角线 AC和BD的交点，M为BC上一个动点，连接MO并延长交AD于点N. （1）判断BM和ND的数量关系并证明； 解：（1）BM＝ND. （1分） 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD. ∴∠OBM＝∠ODN. 又∵∠BOM＝∠DON， ∴△BOM≌△DON（ASA）.∴BM＝ND. （4分） （2）如图2，将四边形ABMN沿BC方向平移得到四边形A′B′M′N′，当点 B′与点M重合时，由（1）可得点N′与点D重合.求证：四边形B′M′DN是 平行四边形； 解：（2）证明：由平移的性质，得B′M′＝BM. 由（1）知BM＝ND，∴B′M′＝ND. 又∵B′M′∥ND，∴四边形 B′M′DN是平行四边形.（8分） （3）如图3，当点M在直线BC上运动时，若直线MN交直线CD于点P， 连接BP，将△BCP沿BP折叠，点C的对应点为点Q，连接DQ，得到 △PQD. 当∠PDQ＝90°时，请直接写出线段DP的长度. 解：（3）线段DP的长度为或.（10分） 解析：分两种情况：①如图①，当∠PDQ＝90°时，此时点Q落在AD 上.∵AB＝，BC＝2，由折叠的性质知BQ＝BC＝2.在Rt△ABQ 中，由勾股定理，得AQ＝＝＝1. ∴DQ＝AD－AQ＝2－1＝1.设DP＝m，则QP＝CP＝CD－DP＝－ m.在Rt△PDQ中，由勾股定理，得QP2＝DQ2＋DP2，即（－m）2 ＝12＋m2.解得m＝. ∴DP＝. ②如图②，当点Q落在DA的延长线上时，设DP＝n，则PQ＝PC＝n＋ . 图② 由折叠的性质知，BQ＝BC＝2，∴AQ＝＝ ＝1，∴QD＝AQ＋AD＝1＋2＝3.在Rt△DPQ中，由 勾股定理得PQ2＝ PD2＋QD2，即（n＋）2＝n2＋32.解得n＝.∴DP＝. 综上所述，线段DP的长度为或. $