第4单元 比例 解决问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

第4单元 比例 解决问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版 1．甲乙两地的实际距离是1120千米，把它画在比例尺是1∶4000000的地图上，应画多少厘米？ 2．王叔叔加工一批零件。计划每小时加工25个，12小时完成。由于采用了新设备，实际工作效率提高了。实际多少小时可以完成？（用比例解） 3．在比例尺为1：6000000的铁路运行图上，量得甲、乙两城之间的铁路长7.2厘米，如果一列客车从甲城开往乙城用了4.5小时，这列客车平均每小时行多少千米？ 4．一辆汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 （1）写出行驶路程和时间的比，填在表中。 （2）根据上面的结果写出两个比例。 （3）算一算：行驶60分钟，小汽车行驶多少千米？ 5．聪聪帮妈妈做家务，他的任务是清洗6个一模一样的杯子，叠起来的杯子激发起聪聪的学习兴趣，于是他拿起尺子开始研究。 聪聪发现随着杯子数量的增加，叠起来的杯子整体高度也在不断增加，数据如下表： 杯子个数/个 1 2 3 4 整体高度/cm 11 13 15 17 聪聪认为：叠起来杯子的整体高度与杯子数量成正比例关系，你同意吗？( ) 写出判断理由：_________________________________________________ 6．聪聪读一本世界名著，如果每天读25页，14天可以读完。聪聪想10天读完，平均每天要读多少页？（用比例的知识解答） 7．2024年4月25日，我国神舟十八号载人飞船成功发射。作为运载的长征二号火箭的箭体全长约58米。笑笑收藏了一个长征二号火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶200。模型的高度是多少厘米？（用比例解） 8．豆腐中的蛋白质含量丰富，而且其蛋白质属完全蛋白，含有人体必需的八种氨基酸。赵奶奶用3千克黄豆做出了12千克豆腐。照这样计算，要做出32千克豆腐，需要多少千克这样的黄豆？（列比例解答） 9．某工厂生产一批零件，计划每天生产200件，25天可以完成任务，实际每天超产25%，实际生产了多少天？（用比例解） 10．有一批饮料，每箱装24瓶，正好装50箱．如果要装60箱，每箱装多少瓶？（用比例解） 11．飞机每小时飞行480千米，汽车每小时行60千米。飞机行4小时的路程，汽车要行多少小时？（用比例方法解） 12．学校童耕园里有一块油菜地，长与宽之比是7∶3，已知油菜地长8.4米、在童耕园平面图中画出的长度是14厘米。 （1）油菜地的宽是多少？ （2）这幅平面图的比例尺是多少？ 13．新冠肺炎疫情防控的重要措施之一是公共场所按要求消毒，用“84”消毒液配制成消毒水，给公共场所消毒时比例一般为1∶50，用250毫升的“84”消毒液需添加多少毫升水？（用比例知识解答） 14．修一条全长2400米的水渠，前6天完成了，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？（用比例知识解） 15．某学校原来平均每天用电135千瓦时，自从学校号召节约用电以来，平均每天只用电75千瓦时。照这样计算，原来用15天的电，现在可以用多少天？（用比例解） 16．今年夏天，一次台风的路径大致如下图。 台风在海洋上的移动速度是30千米/时。从生成地到达滨海市，需要多少小时？ 17．依依过生日，同学们为她买了生日蛋糕和蜡烛。已知蜡烛每分钟燃烧的长度一定。蜡烛最初的长度是多少厘米？（用比例的知识解决问题。） 18．一批零件，每天加工70个，8天可以完成。如果每天多加工10个，需要几天完成？（用反比例解答） 19．小邱酷爱阅读课外书，在读书节这天，他到图书馆借阅一本《中华上下五千年》。如果每天阅读20页，则18天可以读完；若他想要15天读完，那么平均每天要看多少页？（用比例解答） 20．小聪读一本童话书，如果每天读24页，10天可以读完。小聪想提前2天读完，那么平均每天要读多少页？（用比例解） 21．市心路维护工程，每天修56米，要24天完成，如果每天修32米，要多少天完成？（用比例解） 22．在比例尺是的地图上，量得甲地到乙地的铁路长15厘米，这条铁路的实际长应是多少千米？ 23．在比例尺是1:6000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是15cm．若一架飞机以每小时800千米的速度从甲地飞往乙地,需要多少小时? 24．在比例尺是的地图上，量得、两城的距离是8厘米，一辆汽车以60千米每时的速度从城出发，一辆货车以40千米每时的速度从城出发，相向而行，多少小时后相遇？ 25．上午9时，测得光明塔在阳光下的影长是9.6米，同时测得一栋高7米的楼房影长为2.4米，求光明塔的实际高度是多少米？（用比例解） 26．在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是8厘米，一辆货车从甲地开往乙地，每小时行90千米，5小时能到达乙地吗？ 27．有一幅中国地图，AB两地间的图上距离为5厘米，实际距离为225千米。 （1）求这幅地图的比例尺。 （2）南京到北京的实际距离大约是990千米，在这幅地图上，南京到北京的距离大约是多少厘米？ （3）在这幅地图上，南京到上海的距离大约是6.6厘米，则南京到上海的实际距离大约是多少千米？ 28．2023年8月3日11时47分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征四号丙运载火箭，成功将风云三号06星发射升空。本次发射是长征四号系列运载火箭第100次发射，创造了我国运载火箭发展历程中又一个百发纪录。在第二宇宙速度的状态下，火箭5秒就可以飞行56千米。按照这个速度，火箭再飞行12秒，一共可以飞行多少千米？（用比例解决问题） 29．在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的一段高速公路长28.4厘米，赵强开车10时行驶完这段路，他开车超速了吗？请计算说明。 温馨提示：高速公路的最高车速不允许超过120千米/时。 30．下表是小刚做“弹簧的伸长与它所受的拉力关系”的探究实验记录表。（弹性限度：拉力不超过30牛顿。） 所受拉力 5N 6N 8N 10N … 弹簧伸长 2cm 2.4cm 3.2cm 4cm … （1）在弹性限度内，弹簧的伸长与它所受的拉力成正比例关系吗？你是依据什么作出判断的？ （2）小刚又做了一次实验来验证这一规律，结果弹簧伸长了6厘米，那么弹簧所受的拉力是多少牛顿？（用比例解决） 参考答案 1． 28厘米 【分析】由比例尺1∶4000000可知，图上距离1厘米代表实际距离4000000厘米，即40千米；已知甲乙两地的实际距离是1120千米，1120千米里面有几个40千米，图上距离就是几厘米。据此解答。 【详解】4000000厘米＝40千米 1120÷40＝28（厘米） 答：应画28厘米。 2．10小时 【分析】根据题意可知：工作时间×工作效率＝工作总量（一定），即工作时间和工作效率的乘积一定，成反比例关系，实际工作效率比计划提高了，即实际工作效率是25×（1＋）个，据此列比例解答。 【详解】解：设实际x小时可以完成。 25×（1＋）×x＝25×12 25××x＝300 30x＝300 x＝300÷30 x＝10 答：实际10小时可以完成。 【点睛】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成什么比例，并找准对应量。 3．96千米 【解析】略 4． （1）3∶2，3∶2，3∶2，3∶2，3∶2 （2）4.5∶3=7.5∶5；15∶10=30∶20（答案不唯一） （3）90千米 【分析】（1）根据比的意义，即可写出各列中行驶路程和行驶时间的比，不是最简整数比的要根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）化成最简整数比，然后填表； （2）表示两个比相等的式子叫比例，由（1）可知每列中行驶路程和行驶时间的比相同，即行驶路程和行驶时间成正比例，据此可写出其中两组比例（答案不唯一）； （3）设小汽车60分钟行驶千米，据此列出比例∶60＝3∶2，再根据比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）解比例即可。 【详解】（1）4.5∶3 ＝（4.5÷1.5）∶（3÷1.5） ＝3∶2 7.5∶5 ＝（7.5÷2.5）∶（5÷2.5） ＝3∶2 15∶10 ＝（15÷5）∶（10÷5） ＝3∶2 30∶20 ＝（30÷10）∶（20÷10） ＝3∶2 填表如下： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 3∶2 3∶2 3∶2 3∶2 3∶2 （2）由（1）可写出两个比例： 4.5∶3＝7.5∶5；15∶10＝30∶20（答案不唯一） （3）解：设小汽车60分钟行驶千米。 ∶60＝3∶2 ＝60×3 ＝180 ＝180÷2 ＝90 答：行驶60分钟，小汽车行驶90千米。 5． 不同意 因为杯子整体高度和杯子个数的比值不一定 【分析】正比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示为＝k（一定）。 本题需要分别计算不同杯子个数对应的整体高度与杯子个数的比值，看是否为定值。 【详解】整体高度用y表示，杯子个数用x表示： x＝1，y＝11时，＝11； x＝2，y＝13时，＝6.5； x＝3，y＝15时，＝5； x＝4，y＝17时，＝4.25； 11≠6.5≠5≠4.25，比值不一定， 所以叠起来杯子的整体高度与杯子数量不成正比例关系。 6．35页 【分析】根据题意可知：每天读的页数×读的天数＝这本书的页数（一定），所以每天读的页数和读的天数成反比例，设平均每天要读x页，据此列比例解答。 【详解】解：设平均每天要读x页。 10x＝25×14 10x＝350 10x÷10＝350÷10 x＝35 答：平均每天要读35页。 【点睛】本题主要考查比例在日常生活中的应用，要正确判断哪两种量成反比例是解答关键。 7．29厘米 【分析】分析题目，先根据1米＝100厘米把58米换算成以厘米为单位，再根据模型的高度与实际高度的比值是一定的，设模型的高度是x厘米，进而列出比例x∶5800＝1∶200，最后解出比例即可。 【详解】解：设模型的高度是x厘米。 58米＝5800厘米 x∶5800＝1∶200 200x＝5800 200x÷200＝5800÷200 x＝29 答：模型的高度是29厘米。 8．8千克 【分析】做豆腐时，黄豆的重量和做出豆腐的重量成正比例关系，因为黄豆的重量和做出豆腐的重量的比值是一定的，即每千克黄豆做出豆腐的重量是一定的。设要做出32千克豆腐，需要a千克这样的黄豆，根据正比例关系列出方程：3∶12＝a∶32，解出方程，即可求出要做出32千克豆腐，需要多少千克这样的黄豆。 【详解】解：设要做出32千克豆腐，需要a千克这样的黄豆。 3∶12＝a∶32 12a＝3×32 12a＝96 a＝96÷12 a＝8 答：要做出32千克豆腐，需要8千克这样的黄豆。 9．20天 【分析】根据工作效率×工作时间＝工作总量（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设实际生产了x天。 200×（1＋25%）x＝200×25 250x＝5000 250x÷250＝5000÷250 x＝20 答：实际生产了20天。 【点睛】本题考查了反比例应用题，关键是找到反比例关系。 10．每箱装20瓶 【详解】试题分析：根据题意知道一批饮料的总瓶数一定，即每箱装的瓶数×装的箱数=一批饮料的总瓶数（一定），由此判断每箱装的瓶数与装的箱数成反比例，设出未知数，列出比例解答即可． 解：设每箱装x瓶， 60x=50×24， x=， x=20； 答：每箱装20瓶． 点评：解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可． 11．36小时 【分析】根据题意知道，总路程一定，速度和时间成反比例，由此列式解答即可。 【详解】解：设汽车要行x小时，则 480×4＝60x 60x＝2160 x＝36 答：汽车要行36小时。 12．（1）3.6米 （2）1∶60 【分析】（1）将比的前后项看成份数，长÷对应份数＝一份数，一份数×宽对应的份数＝宽； （2）根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写出图上长与实际长的比，化简即可。 【详解】（1）8.4÷7×3＝3.6（米） 答：油菜地的宽是3.6米。 （2）14厘米∶8.4米＝14厘米∶840厘米＝（14÷14）∶（840÷14）＝1∶60 答：这幅平面图的比例尺是1∶60。 13．12500毫升 【分析】根据用“84”消毒液配制成消毒水，给公共场所消毒时比例一般为1∶50，比值不变，据此设用250毫升的“84”消毒液需添加x毫升水，列出比例式解答即可。 【详解】解：设用250毫升的“84”消毒液需添加x毫升水， 1∶50＝250∶x x＝50×250 x＝12500 答：用250毫升的“84”消毒液需添加12500毫升水。 【点睛】明确给公共场所消毒时比例一般为1∶50，比值不变，据此设未知数列比例即可解答。 14．9天 【分析】根据题意可知，把全长看作单位“1”，前6天完成了，还剩下（1－），根据工作效率＝工作总量÷工作时间，工作效率一定，则工作总量和工作时间成正比例；据此设修完这条水渠还需x天，列方程为：∶6＝（1－）∶x，然后解出方程即可。 【详解】解：设修完这条水渠还需x天。 ∶6＝（1－）∶x ∶6＝∶x x＝6× x＝ x＝÷ x＝× x＝9 答：修完这条水渠还需9天。 【点睛】本题考查了正比例的应用，判断相关联的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 15．27天 【分析】根据题意可知，平均每天用电量×天数＝总用电量（一定），平均每天用电量和天数成反比例关系，据此列等积式解答即可。 【详解】解：设现在可以用x天； 75x＝135×15 75x＝2025 x＝27； 答：现在可以用27天。 【点睛】正确判断平均每天用电量和天数两个相关联的量成反比例是解答本题的关键。 16．16小时 【分析】根据图中所标注的线段比例尺，可以先计算总共需要前进的距离，再根据距离和速度的关系：时间＝距离÷速度，计算所需时间即可解答。 【详解】8×60÷30 ＝480÷30 ＝16（小时） 答：需要16小时。 【点睛】熟练掌握时间、速度、距离三者之间的关系是解题的关键。 17．16厘米 【分析】根据题意，蜡烛每分钟燃烧的长度一定，由此可知，燃烧的长度与燃烧的时间的比成正比例，设蜡烛最初长度是x厘米，8分钟后，燃烧了（x－12）厘米，18分钟后，燃烧了（12－7）厘米，燃烧了（18－8）分钟，燃烧的长度与燃烧的时间成正比例，列比例：（x－12）∶8＝（12－7）∶（18－8），解比例，即可解答。 【详解】解：设蜡烛最初长度是x厘米。 （x－12）∶8＝（12－7）∶（18－8） （x－12）∶8＝5∶10 （x－12）×10＝8×5 10x－12×10＝40 10x－120＝40 10x＝40＋120 10x＝160 x＝160÷10 x＝16 答：蜡烛最初长度是16厘米。 18．7天 【分析】用反比例解答，两个量相对两个数的乘积一定，它们就成反比例。根据题意，总零件数一定，每天加工数量×天数＝总零件数（一定），所以每天加工的数量与天数成反比例关系。原每天加工70个，8天完成，总零件数为70×8＝560个。现在每天多加工10个，即每天加工80个，设需要x天完成，则80x＝560，解方程即可。 【详解】解：设需要天完成。 答：需要7天完成。 19．24页 【分析】设平均每天要看x页，根据每天读的页数×读的天数＝总页数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设平均每天要看x页。 15x＝20×18 15x＝360 15x÷15＝360÷15 x＝24 答：平均每天要看24页。 20．30页 【分析】根据题意知道一本书的总页数一定，每天读的页数×读书的天数＝一本书的总页数（一定），所以每天读的页数与读的天数成反比例，由此设出未知数，列出比例解答即可。 【详解】解：设平均每天要读x页。 （10－2）x＝24×10 8x＝240 8x÷8＝240÷8 x＝30 答：平均每天要读30页。 21．42天 【详解】解：设要x天完成 = 解得x=42 22．450km 【分析】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际30千米，用15厘米×每厘米表示千米数即可。 【详解】15×30＝450（千米） 答：这条铁路的实际长应是450km。 【点睛】本题考查了图上距离和实际距离的换算，利用线段比例尺比较直观，并可直接求出实际距离。 23．解:设实际距离为x厘米 =      x=90000000 90000000厘米=900千米 900÷800=1(小时) 【详解】略 24．4小时 【分析】图上距离和比例尺已知，先依据“实际距离图上距离比例尺”求出两地的实际距离，再根据数量关系“路程速度和相遇时间”即可求出相向而行，多少小时后相遇。 【详解】（厘米） 40000000厘米千米 （小时） 答：相向而行，4小时后相遇。 【点睛】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺的关系，依据行程问题中的基本数量关系“路程速度和相遇时间”，关键是先求出两地的实际距离。 25．28米 【解析】略 26．能 【分析】根据题意，用图形距离除以比例尺，即可求出实际距离，再根据1千米＝100000厘米，将单位换算为千米。货车每小时行90千米，根据“路程＝速度×时间”，5小时行驶的路程为90×5＝450千米，然后相比较即可。 【详解】 ＝ ＝（厘米） ＝400（千米） 90×5＝450（千米） 450千米＞400千米 答：货车5小时能到达乙地。 27．（1）1∶4500000 （2）22厘米 （3）297千米 【分析】（1）已知AB两地间的图上距离和实际距离，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1千米＝100000厘米”，即可求出这幅地图的比例尺。 （2）已知南京到北京的实际距离和比例尺，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，即可求出南京到北京的图上距离。 （3）已知南京到上海的图上距离和比例尺，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出南京到上海的实际距离。 【详解】（1）5厘米∶225千米 ＝5厘米∶（225×100000）厘米 ＝5∶22500000 ＝（5÷5）∶（22500000÷5） ＝1∶4500000 答：这幅地图的比例尺是1∶4500000。 （2）990千米＝99000000厘米 99000000×＝22（厘米） 答：南京到北京的距离大约是22厘米。 （3）6.6÷ ＝6.6×4500000 ＝29700000（厘米） 29700000厘米＝297千米 答：南京到上海的实际距离大约是297千米。 【点睛】掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系以及长度单位的换算是解题的关键。 28．190.4千米 【分析】分析题目，可以设火箭飞行（12＋5）秒，一共可以飞行x千米，根据路程∶时间＝速度（一定）列出比例方程x∶（12＋5）＝56∶5，再进一步结合比例的基本性质和等式的基本性质解出方程即可。 【详解】解：设一共飞行x千米。 x∶（12＋5）＝56∶5 x∶17＝56∶5 5x＝56×17 5x＝952 5x÷5＝952÷5 x＝190.4 答：一共可以飞行190.4千米。 29．超速了 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出实际距离，再根据速度＝路程÷时间，求出赵强的实际速度，与限速比较即可。 【详解】28.4÷＝28.4×5000000＝142000000（厘米） 142000000厘米＝1420千米 1420÷10＝142（千米/时） 142＞120 答：他开车超速了。 30．（1）成正比例关系；拉力与弹簧的伸长的比值不变 （2）15牛顿 【分析】（1）在弹性限度内，问弹簧的伸长与它所受的拉力是否成正比例关系，根据记录表，可以算出几组数中所受拉力与弹簧伸长的比值，看它们的比值是否相等，如果比值相等就成正比例关系，反之则不成正比例关系，据此解答。 （2）根据在弹性限度内，弹簧的伸长与它所受的拉力成正比例关系，结合实验记录表中数据，设弹簧伸长了6厘米，弹簧所受的拉力为未知数，列出比例式，然后解比例即可求解。 【详解】（1）据题意，分析数据：；；；……（弹性限度：拉力不超过30牛顿。） 由数据可知：拉力与弹簧的伸长的比值不变，所以，弹簧的伸长与它所受的拉力成正比例关系。 （2）解：设弹簧伸长了6厘米，弹簧所受的拉力为。 答：弹簧伸长了6厘米，弹簧所受的拉力为15牛顿。 【点睛】本题考查正比例问题，熟练掌握正比例的意义判断两个量是否成正比例关系和正确解比例是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $