山东烟台市开发区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制）

山东省烟台市开发区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制） 一、单选题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．如果a2＝b2，那么a＝b B．如果两个角是同位角，那么这两个角相等 C．相等的两个角是对顶角 D．平行于同一条直线的两条直线平行 2．（3分）下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件． B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件． C．“汽车累计行驶10000km，从未出现故障”是随机事件． D．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨． 3．（3分）已知关于x，y的方程组的解满足3x+3y＝4，则m的值为（　　） A． B．1 C． D． 4．（3分）如图，在下列条件中，能说明AC∥DE的是（　　） A．∠A＝∠CFD B．∠BED＝∠EDF C．∠BED＝∠A D．∠A+∠AFD＝180° 5．（3分）如图1，一个长50cm，宽30cm的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（　　） A．600cm2 B．800cm2 C．1000cm2 D．1200cm2 6．（3分）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小144；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是7，余数是4．如果设这个三位数的百位为x，十位与个位数字组成的两位数为y，可得方程组是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 9．（3分）甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（　　） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 10．（3分）如图，已知AB∥CD，点G在射线BA的上方且满足∠EBG：∠ABG＝2：3，点H在射线BG的反向延长线上，满足∠DCH：∠FCH＝3：2，若∠E＝α，则∠F与∠H的数量关系是（　　） A．∠F＝∠H B．5∠H﹣3∠F＝3α C．3∠F﹣2∠H＝α D．2∠F+3∠H＝360°+α 二、填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 　 　 ． 12．（3分）十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮28秒，绿灯亮29秒，黄灯亮3秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为　 　 ． 13．（3分）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝25°，则∠2的度数为 　 　 °． 14．（3分）正方形ABCD的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 　 　 （用含π的式子表示）． 15．（3分）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 　 　 cm2． 16．（3分）已知直线l1：y＝kx+b与直线都经过点E（﹣1，3），直线l1交x轴于点A，交y轴于点B（0，4），直线l2交y轴于点C，交x轴于点D．直线l3∥直线l1且经过原点，且与直线l2交于点F．点P为x轴上任意一点，连接PC，PF．对于以下结论，正确的有　 　 ． ①方程组的解为；②；③；④当PF+PC的值最小时，点P的坐标为（1，0）． 三、解答题（共72分） 17．（8分）解下列方程组： （1）； （2）． 18．（9分）2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n （1）表格中m的值为　 　 ，n的值为　 　 ； （2）估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； （3）若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 19．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上．已知DE∥BC，∠EDC＝40°，∠AED＝80°． （1）求证：CD平分∠ACB； （2）过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F，若∠A＝52°，求∠BFC的度数． 20．（8分）口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球（x≥0，y≥0），没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： （1）①如果摸到红球是不可能事件，请直接写出x和y的值； ②如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，请直接写出x和y的值； （2）在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 21．（8分）为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为62.5%；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为80%．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． （1）第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ （2）现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要2m电缆，每组小型风力发电机需要3m电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 22．（8分）如图，是一盏可调节台灯的示意图，固定支排杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，过点B作BF∥MN． （1）请判断BF与CD的位置关系，并证明； （2）求∠DCE的度数． 23．（12分）对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．例如，3*2＝3a+2b，2⊗1＝2a﹣b，已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4，则根据定义可以得到：． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若x*2y+x⊗y＝10，求x﹣y的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝9，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　 　 ． 24．（11分）已知直线AB∥CD，点E，G为直线AB上不重合的两个点，EF∥GH，分别交直线CD于点F，H，EP平分∠AEF交CD于点P． （1）如图1，试说明：∠PHG＝∠FEG； （2）如图1，若∠EPF：∠PHG＝1：3，求∠EFD的大小． （3）如图2，点M为线段GH延长线上一点，连结EM，FM．若∠HFM＝∠HMF，试探索∠PEM与∠EMF的数量关系，并说明理由． 山东省烟台市开发区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C A B C D C B 一、单选题（每题3分，共30分） 1．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．如果a2＝b2，那么a＝b B．如果两个角是同位角，那么这两个角相等 C．相等的两个角是对顶角 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解答】解：A．如果a2＝b2，那么a＝±b，故原命题为假命题，该选项不符合题意； B．两直线平行，同位角才相等，故原命题为假命题，该选项不符合题意； C．相等的两个角不一定是对顶角，故原命题为假命题，该选项不符合题意； D．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，正确，故为真命题，该选项符合题意． 故选：D． 2．（3分）下列说法正确的是（　　） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件． B．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件． C．“汽车累计行驶10000km，从未出现故障”是随机事件． D．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨． 【答案】C 【解答】解：∵选项A是可能事件；故选项A的说法不正确； ∵选项B是必然事件；故选项B的说法不正确； ∵选项C是随机事件；故选项C的说法正确； ∵明天的降水概率为80%，是说明明天降水的概率为80%，并不是明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨，故选项D的说法不正确． 综上所述：选项C的说法正确． 故选：C． 3．（3分）已知关于x，y的方程组的解满足3x+3y＝4，则m的值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解答】解：方法1：， ①×3﹣②×2得： 5x＝﹣5m﹣5， 解得：x＝﹣m﹣1③， 把③代入①得： y＝2m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足3x+3y＝4， ∴3（﹣m﹣1）+3（2m+2）＝4， 解得：； 方法2：， ①+②得： 5（x+y）＝5（m+1）， 解得：x+y＝m+1， ∵3x+3y＝4， ∴x+y， ∴m+1， 解得：； 故选：C． 4．（3分）如图，在下列条件中，能说明AC∥DE的是（　　） A．∠A＝∠CFD B．∠BED＝∠EDF C．∠BED＝∠A D．∠A+∠AFD＝180° 【答案】C 【解答】解：A、当∠A＝∠CFD时，则AB∥DF，不合题意； B、当∠BED＝∠EDF时，则AB∥DF，不合题意； C、当∠BED＝∠A时，则AC∥DE，符合题意； D、当∠A+∠AFD＝180°时，则AB∥DF，不合题意； 故选：C． 5．（3分）如图1，一个长50cm，宽30cm的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（　　） A．600cm2 B．800cm2 C．1000cm2 D．1200cm2 【答案】A 【解答】解：一个长50cm，宽30cm的矩形内部有一不规则图案（阴影部分）， 由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.4，于是把0.4作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有： ， 解得：x＝600， 故选：A． 6．（3分）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小144；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是7，余数是4．如果设这个三位数的百位为x，十位与个位数字组成的两位数为y，可得方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设这个三位数的百位为x，十位与个位数字组成的两位数为y， 根据题意得：， 故选：B． 7．（3分）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数， ∴摆出的三位数有456，465，546，564，654，645共6种可能，其中456，546，564，654是2的倍数， ∴摆出的三位数是2的倍数的概率是， 故选：C． 8．（3分）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE∠ACB，∠ACF∠ACD， 即∠ECF（∠ACB+∠ACD）＝90°， 又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF， ∴CM＝EM＝MF＝4， ∴EF＝8， 由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2＝64， 故选：D． 9．（3分）甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（　　） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 【答案】C 【解答】解：A、∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去出游，故A选项错误； B、∵乙说：“丙去我就不去．”， ∴由选项A可知，乙一定没去，故选项B错误； C、∵丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．” ∴由选项B可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三个人去了，此选项正确； D、∵乙说：“丙去我就不去．” ∴四个人不可能都去出游，故此选项错误． 故选：C． 10．（3分）如图，已知AB∥CD，点G在射线BA的上方且满足∠EBG：∠ABG＝2：3，点H在射线BG的反向延长线上，满足∠DCH：∠FCH＝3：2，若∠E＝α，则∠F与∠H的数量关系是（　　） A．∠F＝∠H B．5∠H﹣3∠F＝3α C．3∠F﹣2∠H＝α D．2∠F+3∠H＝360°+α 【答案】B 【解答】解：延长AB交FE于点M，过点F作AB的平行线，交HG于点N，过点H作DC的平行线，交FC于点O． 设∠ABG＝3β，则∠EBG＝2β， 设∠DCH＝3γ，则∠FCH＝2γ． 根据题意AM∥FN∥HO∥CD， ∵∠EMB＝∠ABE﹣∠E＝5β﹣α， ∴∠EFN＝∠EMB＝5β﹣α（两直线平行，同位角相等）． 同理，根据平行线的性质，可得∠CFN＝5γ，∠BHO＝3β，∠CHO＝3γ． ∴∠EFC＝∠EFN+∠CFN＝5（β+γ）﹣α，∠BHC＝∠BHO+∠CHO＝3（β+γ）． ∴3∠EFC＝15（β+γ）﹣3α，5∠BHC＝15（β+γ）． ∴5∠BHC﹣3∠EFC＝3α． ∴5∠H﹣3∠F＝3α． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 　同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　 ． 【答案】在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【解答】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式， 是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 12．（3分）十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮28秒，绿灯亮29秒，黄灯亮3秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得，抬头看信号灯时是绿灯的概率为． 故答案为：． 13．（3分）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝25°，则∠2的度数为 　130　 °． 【答案】130． 【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C． ∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB． ∵图案是由一张等宽的纸条折成的， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． 又∵纸条的长边平行， ∴∠ABC＝∠1＝25°， ∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×25°＝130°． 故答案为：130． 14．（3分）正方形ABCD的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 　　 （用含π的式子表示）． 【答案】． 【解答】解：∵正方形的面积为2×2＝4，阴影部分的面积为4﹣π， ∴在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 15．（3分）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 　34　 cm2． 【答案】34． 【解答】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 根据题意得：， 解得：， ∴16×（2y+4）﹣6xy＝16×（2×3+4）﹣6×7×3＝34， 即阴影部分的面积之和为34cm2， 故答案为：34． 16．（3分）已知直线l1：y＝kx+b与直线都经过点E（﹣1，3），直线l1交x轴于点A，交y轴于点B（0，4），直线l2交y轴于点C，交x轴于点D．直线l3∥直线l1且经过原点，且与直线l2交于点F．点P为x轴上任意一点，连接PC，PF．对于以下结论，正确的有　①②③④　 ． ①方程组的解为；②；③；④当PF+PC的值最小时，点P的坐标为（1，0）． 【答案】①②③④． 【解答】解：①由题意可得：方程组的解为，故①正确； ②直线l1交x轴于点A，交y轴于点B（0，4），直线l2交y轴于点C，交x轴于点D．直线l3∥直线l1且经过原点，且与直线l2交于点F． 把E（﹣1，3），点B（0，4）代入y＝kx+b得， ∴， ∴直线l1：y＝x+4， ∵直线l3∥直线l1且经过原点， ∴直线l3的解析式为y＝x， 把E（﹣1，3）代入得，， ∴， ∴直线， 解方程组得， ∴， 在中，令y＝0，则， 解得x＝5， ∴D（5，0）， ∴，故②正确； ③∵D（5，0），E（﹣1，3）， ∴DE2＝（5+1）2+32＝45， ∴或（舍去），故③正确； ④∵直线l2交y轴于点C， ∴， 作点C关于x轴的对称点C′，连接C′F，C′P，则CP＝C′P，， ∴PC+PF＝PC′+PF≥C′F， ∴当C′，P，F共线时，PF+PC的值最小， 设直线C′P的解析式为y＝k′x+b′， ∴， ∴， ∴直线C′P的解析式为， 在中，当y＝0时，x＝1， ∴P（1，0），故④正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题（共72分） 17．（8分）解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， 由①+2×②得，7x＝21， 解得x＝3， 将x＝3代入①得，3×3+2y＝5， 解得y＝﹣2， ∴原方程组的解为； （2）（2）， 原方程组化为， 由①﹣②得，﹣6x＝0， 解得x＝0， 将x＝0代入①得，3y﹣2×0＝1， 解得， ∴原方程组的解为． 18．（9分）2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n （1）表格中m的值为　294　 ，n的值为　0.98　 ； （2）估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； （3）若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 【答案】（1）294，0.98； （2）0.02； （3）10400元． 【解答】解：（1）m＝300×0.98＝294，n＝980÷1000＝0.98； 故答案为：294，0.98； （2）可估计估计任抽一件该产品是合格品的概率为0.98， 所以1﹣0.98＝0.02， 答：估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率为0.02； （3）26000×0.02×20＝10400（元）， 答：2月份该工厂因不合格产品所造成的损失约为10400元． 19．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上．已知DE∥BC，∠EDC＝40°，∠AED＝80°． （1）求证：CD平分∠ACB； （2）过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F，若∠A＝52°，求∠BFC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）116°． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠BCD＝∠EDC＝40°， ∴∠ACB＝∠AED＝80°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝80°﹣40°＝40°． ∴∠ACD＝∠BCD， ∴CD平分∠ACB； （2）解：∵∠A＝52°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣80°﹣52°＝48°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠FBC∠ABC48°＝24°， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣24°﹣40°＝116°， 所以∠BFC的度数为116°． 20．（8分）口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球（x≥0，y≥0），没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： （1）①如果摸到红球是不可能事件，请直接写出x和y的值； ②如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，请直接写出x和y的值； （2）在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【答案】（1）①x＝0，y＝8；②x＝y＝4；（2）3个． 【解答】解：（1）①如果摸到红球是不可能事件，则x＝0，y＝8； ②如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，则x＝y＝4； （2）由题意知，调整后红球的个数为87（个）， 则取走白球个数为7﹣4＝3（个）． 21．（8分）为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为62.5%；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为80%．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． （1）第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ （2）现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要2m电缆，每组小型风力发电机需要3m电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 【答案】（1）第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组； （2）需要准备855米电缆． 【解答】解：（1）设第一次调试时，安装的太阳能板有x块，小型风力发电机有y组，根据题意得， ， 解得：， 答：第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组； （2）∵每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致， ∴需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组， ∵每块太阳能板需要2m电缆，每组小型风力发电机需要3m电缆， ∴360×2+45×3＝720+135＝855（m）电缆，即要满足这个供电需求，需要准备855m． 22．（8分）如图，是一盏可调节台灯的示意图，固定支排杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，过点B作BF∥MN． （1）请判断BF与CD的位置关系，并证明； （2）求∠DCE的度数． 【答案】（1）BF∥CD，证明见解析； （2）68°． 【解答】解：（1）BF∥CD， 证明：∵CD∥MN，BF∥MN， ∴BF∥CD； （2）过点A作AG∥MN， ∵CD∥MN，BF∥MN， ∴BF∥CD∥AG， ∴∠CBF+∠DCB＝180°， 即∠CBF+∠BCE+∠DCE＝180°， ∵AO⊥MN， ∴∠AON＝90°， ∵AG∥MN， ∴∠GAO＝∠AON＝90°， ∵∠BAO＝158°， ∴∠BAG＝∠BAO﹣∠GAO＝68°， ∵BF∥AG， ∴∠BAG＝∠ABF＝68°， ∵AB∥CE， ∴∠ABC+∠BCE＝180°， 即∠ABF+∠CBF+∠BCE＝180°， ∴∠ABF＝∠DCE＝68°． 23．（12分）对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．例如，3*2＝3a+2b，2⊗1＝2a﹣b，已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4，则根据定义可以得到：． （1）a＝　1　 ，b＝　﹣2　 ； （2）若x*2y+x⊗y＝10，求x﹣y的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝9，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为　　 ． 【答案】（1）1，﹣2； （2）x﹣y＝5； （3）； （4）． 【解答】解：（1）， ②×2，得4a﹣2b＝8③， ①+③，得7a＝7， 解得：a＝1， 把a＝1代入②，得2×1﹣b＝4， 解得：b＝﹣2． 故答案为：1，﹣2； （2）由新定义，可得ax+2by+ax﹣by＝10，即2ax+by＝10， ∵a＝1，b＝﹣2， ∴2x﹣2y＝10， ∴x﹣y＝5； （3）由新定义，a＝1，b＝﹣2，可得方程组， ①+②，得2x＝6m+8， 解得：x＝3m+4， 把x＝3m+4代入②，得3m+4+2y＝5m， 解得：y＝m﹣2， ∵x﹣y＝9， ∴3m+4﹣m+2＝9， 解得：； （4）设u＝x+y，v＝x﹣y， 则新方程组为， ∵原方程组的解为， ∴方程组变形为， 新方程组为， ∴4a1u＝a1•12，5b1v＝b1•5， ∴u＝3，v＝1， ∴， ①+②，得2x＝4， 解得：x＝2， 把x＝2代入①，得2+y＝3， 解得：y＝1， ∴方程组的解为． 故答案为：． 24．（11分）已知直线AB∥CD，点E，G为直线AB上不重合的两个点，EF∥GH，分别交直线CD于点F，H，EP平分∠AEF交CD于点P． （1）如图1，试说明：∠PHG＝∠FEG； （2）如图1，若∠EPF：∠PHG＝1：3，求∠EFD的大小． （3）如图2，点M为线段GH延长线上一点，连结EM，FM．若∠HFM＝∠HMF，试探索∠PEM与∠EMF的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠FEG＝∠EFP， ∵EF∥GH， ∴∠EFP＝∠PHG， ∴∠PHG＝∠FEG； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠EPF＝∠PEA， ∵EP平分∠AEF， ∴∠AEP∠AEF， ∴∠EPF∠AEF， ∵∠AEF+∠FEG＝180°， ∴∠EPF（180°﹣∠FEG）， 由（1）知∠PHG＝∠FEG； ∴∠EPF（180°﹣∠PHG）， ∵∠EPF：∠PHG＝1：3， 可设∠EPF＝x，则∠PHG＝3x， 则x（180°﹣3x）， 解得x＝36°， ∴∠PHG＝108°， ∵EF∥GH， ∴∠EFD+∠PHG＝180°， ∴∠EFD＝72°； （3）解：∠PEM+∠EMF＝90°；理由如下： 设∠EMF＝α，∠EMG＝β，则∠HFM＝∠HMF＝α+β， ∵EF∥GH， ∴∠EFM+∠HMF＝180°，∠FEM＝β， ∴∠EFM＝180°﹣（α+β）， ∴∠EFH＝∠EFM﹣∠HFM＝180°﹣2（α+β）， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFH＝180°﹣2（α+β）， ∵EP平分∠AEF， ∴∠PEF∠AEF＝90°﹣α﹣β， ∴∠PEM＝∠PEF+FEM＝90°﹣α﹣β+β＝90°﹣α， ∵∠EMF＝α， ∴∠PEM＝90°﹣∠EMF， ∴∠PEM+∠EMF＝90°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $