安徽枞阳县浮山中学等校2026届高三下学期五月（一）数学试卷

高三五月（一）数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知全集U=R,集合A={x10<x≤4}，B={x|x≥3}，则A∩(CuB)= A.{xlx≤0} B.{xlx≤4 C.{x13≤x≤4} D.{xl0<x<3} 2.已知两个单位向量m,n的夹角为写，若p=m+2n,则pl= A.6 B.7 C.6 D.7 3.已知函数)=h1+)(M为常数)，若m)=5m)=9,则+M m+M= A.e B.e5 C.e D.el4 4.已知1z11=1,z2=3+4i,则1z1-z21的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”，如图1， 在△ABC中，A=30°，B=45°，CD是AB边上的高，将△BCD沿直线CD折起，使点B到点P 的位置，如图2，此时三棱锥P-ACD恰好是一个“鳖臑”，则二面角P-CD-A的余弦值为 图1 图2 B.6 2 3 D. 3 数学第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 6已知酒数：)=c(m+®)(o>0),直线y=号与周线y=交于P,0两点，若1P01的 最小值为号，则o的值为 3 c D. 7已知椭圆C:号+发-1(a>>0)的左右焦点分别为R,R,以R,R为直径的圆与C在第 一象限交于点P,直线PF2交C于另一点Q,且P(=3F2,则C的离心率为 B③ 2 c D. 3 8.已知函数(x)= ,0<x<4若>>0，且)=3)，则名)的取值范围是 3,x≥4， A.(0,2)U[81,+∞) B.(0,2)U[972,+∞) c.0,g)u[81,+m) D.0,gU[972,+) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若随机变量5服从正态分布N(,σ2)，则P(5<4+σ)=0.8413，现已知两个随机变量 X-N(3.1,0.12),Y-N(2.8,0.12),则 A.P(X>3)>0.5 B.P(X>3)<0.8 C.P(Y>3)>0.2 D.P(Y>3)<0.5 10.已知数列|a|的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2=1,an+2=an+1+2a,则下列说法正确 的是 A.数列{a+1+a为等差数列 B.数列{an+1-2an}为等比数列 C.a9 +a1o=512 D.a12=S1 11.已知F为抛物线x2=y的焦点，A,B,C为该抛物线上不同的三点，则下列说法正确的是 A若+应+元=0，则++=2 B.若点A的坐标为(1,1)，且AB⊥AC,则直线BC过定点(-1,2) C若AB1AC,且Au+kc=0,则△ABC的重心G在曲线y=9+号上 D.若点A的坐标为（√3,3），点C在B的上方，且IAB1=IBCI=IAC1,则这样的△ABC有 且仅有2个 数学第2页（共4页） C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某公园的一处景观湖中有4个小岛，现需要在小岛之间建3座桥，使得这4个小岛彼此相 连（即从任意一个小岛都能走到另外任意一个小岛），每座桥只能连接2个小岛，则一共有 种不同的建桥方案 13.若曲线y=e在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+a)的切线，则a= 14.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且2S=a2 6-e只记=去3心，则人的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数fx)=5cos2x+sin2 √3cosx-sinx (1)求f(x)的单调递增区间； (2)先将f代x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移石个单 位长度，得到g(x)的图象，若方程6()=m在区间[-号引]上有解，求m的取值 范围。 16.(15分) 某工厂为促进技工们不断提升技能水平，每年组织一次技能达标测试.假设技工小李每年 都参加，他第1年达标的概率为1%，以后每年参加时达标的概率比上一年增加1个百分 点（即第2年达标的概率为2%，第3年达标的概率为3%，依此类推），且每年达标与否不 受往年影响， (1)求小李第2年首次达标的概率； (2)设小李第n年首次达标的概率为Pn,则当n为多少时，Pn最大？ 数学第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(15分) 如图，在四棱帷S-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=2,DC=4,SD=2√5，点M在侧梭SC上 (与端点不重合). (1)若SD⊥平面ABCD,且M为SC的中点，求直线SA与平面ABM所成角的正弦值： (2)若SD⊥AD,且BM=3,∠ABM=60°，证明：M是SC的中点. 18.(17分) 已知双曲线C。-发=1(0>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，右焦点P到渐近线的距离 为1. (1)求C的方程. (2)设A为C上一动点，C在点A处的切线为1，过点F作I的垂线，垂足为P. ()证明：点P到原点O的距离为定值； (ⅱ)当点P与A不重合时，过点P作C的另一条切线，切点为B,直线AB与两坐标轴 的交点分别为M,N,求IMNI的最小值， 19.（17分) 已知函数f(x)=e*cos x(x∈[0，+∞)) (1)记a,为f(x)的从小到大的第n个极值点 （i)证明：数列{f(an)}是等比数列； (i)若对于一切neN',不等式man≤lf(an)l恒成立，求实数m的最大值 (2)若x,(neN)为方程f(x)=1在区间2nm+平，2nm+）内的实数根，证明： 2nn+T_ e-2nm 2-x< sin xo-cos %o 数学第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP高三五月（一）数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案D 命题透析木题考杏集合的运算 解析巾已知份D,B=xlx<3:,所以A∩(CrB)=xI0<x<3. 2.答案B 命题透析本题考查向星的模 解折pl=√m+2n:m+4m·n+4m=√+4×1x1×分+4=7. 3.答案1 命题透析木题考在指对上化 解折出恩行1+分行1+行 =e”,所以%：+湖e m,+湖e=e. 4.答案B 命题透析本题考查复数的儿创意义， 解析巾1：1=1可知1什复平面内所对应的点Z,在以原点(O(00)为圆心，1为径的圆上，32在复平面内所对成 的点为乙，(3,4).又10亿1=√3+4=5>1.所以点乙2在圆0外，所以1-21的最小值为10忆1-1=5-1=4 5.答案C 命题透析木题考查面角的计算， 解析设CD=h,则PD=h,P℃=迈h,AD=3,耍使三被锥P-ACD恰好是·个“鳖需”，则行H⊥P),PAL PC.可得PA=2.出CD PD,CD⊥AD,可得二面角P-CD-A的平面布为∠PDA,在△AD中， 6.答案B 命题透析木题考在三角函数的性质. 2T 解析设)的花小止周期为下内题意利名号邶号号解特。子 7.答案G 命题透析本题考查椭圆的离心窄 解析设C的半焦距为c(c>0),IF,Q川=m,则1Pf2|=2m,IP11=2a-2m,IPQ1=31.IFQ川-2a-m.在 一1 R△PF,Q中，1P5,+1PQ=1F,QI,即(2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)广.解得m=号在R△PF,F,中， %+,=1K,即（2a-2mP+(2m=(2e),可得离心率e=- 8.答案D 命题透析本题考查函数的伯域 解析当0<离<<4时)=3)c(0,2).所以)(0.）即，∈(0.号)所以x∈(0，号) 则名·x)=3x)=3x.内为方=在(0.号）北单调通啦，所以·)=3x子∈(0普）当0<，< 4≤时x2)≥81,3(x,)<6八)=3fx,)不可能成立.当4≤x1<2时，x1·八x2)=3x八1)=3x1·31= x,·3+.设g(x)=x·3+(x≥4)，则g'(x)=3-1+x·3+1n3=3+1(1+xm3)>0,所以g(x)在[4，+x) 上单调递增所以g(x)≥g(4)=972,即x1·(）=,·311c[972,+0).综上，1·八x)的取值池用是 (0,8)u92,+). 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AD 命题透析本越考查正态分. 解析h于X~N(3.1,0.),止态分布的均伯u=3.1,止态曲线关于白线x=3.1对称，因此P(X>3)>P(X> 3.1)=0.5.做A正确： 出X~(3.1.0.12)a=3.1.g=0.1,因此P(x>3)=P(>4-)=P(X<4+)≈0.8413>0.8，故B 错误； h于Y-N(2.8,0.12)=2.8,o=0.1,因此P(Y>3)=P(Y>+2o)<P(Y>u+o)=1-0.8413<0.2,做C 佛误，D正确 10.答案BCD 命题透析本趣考查递推数列，等比数列的判断与数列求和 解析对于A,巾+2=1+2m。,得、+：+%、+1=2(。+1+），又山1+=1+1=2，所以数列。1+是 以2为首项，2为公比的等比数列.故1错误； 对」小B,由题意得a,-2a,1=。-1+20.-2a。-1=-(a1-2a,),义a-2a1=-1,所以数列a1-2a。 是以-1为首项，-1为公比的等比数列，故B正确： 对于C,出对A的分析知a+a,=2”,所以a+aw=2”=512.故C下确： 对于D.巾对B的分析知4+1-2a。=(-1)°，放e-2a=-1,巾a。+2=a+1+2a,得5n+2-S。+1=S+1 S。+2(S。-S1)(n≥2)，即n≥2时.S。:-2S.1=S。-2S。1…a=a,+2a1=3.所以S,-2=0,S-252=1, 所以当n为奇数时，S-1-2S,均为0，当n为偶数时，S。-1-2S,均为1，放S:-2S,=0.即S2-S,=S, 即ae=S,故D正确 一2 1L.答案ABC 命题透析本题芳在抛物线 解析设A(x),B(xy）,C() 对A.内题意得熊点F0,)术线方程为y=-子，Pi+防+F忙=0-+为子+⅓-子=0. %++=登团+1响+响=+++叠=故A正跪 对丁B,设BC的方程为y=x+b.与抛物线方程联立，得x2-x-b=0,则2+名=太，2=-b,AB1AC, “A店·A元=0，即(-1)(-1)+(2-1)(3-1)=0，得6=+2或1-（舍去），所以℃的方稞为y= x++2,过定点(-1,2)，故B正确. y-哈=x-0, 对」小C,巾题可知kR=±1，不妨设B=1,设(n,),直线AB的方程为y-后=x-n,巾 y=2, B(1-,(1-)产)，同理可得C(-1-,(1+)2).设重心为G(x,y),则有 红=6+1-)-1+) 3 -3 y-8+1-)产+0+2+3城 消去参数，得y=9+子，故CT确 3 3 对于D,设AB的方程为r-3=k(x-3),易知该线与抛物线=y的另个交点坐标为B(k-3.(k-3)). 将射线AB绕点A顺时针旋转60得到射线AC,易知射线AC与抛物线2=y的另·个交点坐标为C(-3 (“-3)2),其=k-5 J是1AB12=(1+2)(k-23)2,1ACI2=[1+(k)2](k'-23)2.出题意，若 1+3k 存上角形c则-1ic,1t的[-252行]-a令-2产 4(5+33) -.出()=0.可得(k-23)'(1+3)°=4(5k+33)',即(k-23)(1+)2=±2(5k+ (1+3k) 35).当(k-23)(1+3)’=-2(5+35)时.化简整理可得(k-√3)(32-5k-4)=0.此方程有3个 不时的解.故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案16 命题透析本题考查排列组合的应用 解析分两类：①将4个小岛连成一条线，只密要考虑小岛的顺序即可，并凡完全反的两种顺序算问一种建 A 桥方案，成有，=12种不同的方案；②任选一个小岛作为“中心”，分别与另外3个小岛相连.有4种不同的力 案.因此，不同的生桥方案共有16种 13.答案2 命题透析本题考在宁子数的几何意义两山线的公切线问题， 一3 解析对y=e求导，得y'=,则作点(0,1)处的切线的斜率==1，切线方件为y-1=x,即y=x+1,设 点线)=+1与前线=(x+a的切点为，)，对y=a(x+)求异，得y/中。则切点处的容率必为 1.国。=1.付=1-①.又切点（气6）作商线上，也作切线上所以X=加（气+）2=6+1念.把 1代入2，得0=ln1=0,把i该式代入③，得0=-1.代入1得-1=1-4，解得a=2. 14答案（名） 命题透析木题考查解一角形 解折因为2S=d-(6-c)P=d-(8+e)+2c,。=8+e-2 beeosA.s=2 besin A,所以bcnA=2c 2 bccos A,所以simA=2-2sA,又sim2A+ew%2A=1,所以4-8sA+42A+e0s2A=1,即5%2A-8%A+ 3=0,舒得ms4=子或mA=1合去).因为Ae(0.）所以mA=个-m不=√一器-号在锐角 有C<BT-A-C<君则0<9A<G<号，所以mG>（受二A m(5-A） m子，名-血8-出0.如结血C-温2+m4=5c+氵因为mc>子所 sinA4’csin C sin C sin C 以0<d青所以0<所以号<c+号<治+号<因为A心 1 -4型兰（传）-信》 2besin A 子 显然A随若：的暗大面增大.所以A的取伯柜同为：，公) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.命题透析本题考在三角恒等变换以及二角函数的性质， wu62+n22a2z+4u+6-62+爱周 …(3分) 3c-imx2m(r+君） 2a(+） 原解析式中分母个为0.即o(+石）≠0.所以x+石≠号+kmcZ),得x≠号+m(kcZ、…(4分) 巾-受+2m<x+石<号+2km(eZ),解得-+2m<<号+2km(keZ)、 放)的单调递蜡风何为2km-.2km+写）keZ(写成闭区何或半开半闭区间扣1分)…(7分) (2)出题意知)=2si2(x-君）+石-2sin2-君）x≠+(ke.…(10分) 当-≤≤君时.-2-6≤6-1≤sm2-s分-22n(2x-l 4 义g()的定义域不含-石，所以()在这间[-号，-晋U(-君]上的值域为(-2，山， 故m的取伯范由是(-2,1] …(13分) 16.命题透析本题考查相互独立事件的概率乘法公式 解析(1)在第2年首次达标，意味着第1年术达标，第2年达标 99 第1年达标的概率为一10未达标的概率为1-=100： 2 第2年达标的概率为m=10 … ……(3分》 99 2 故所求概卒为P=(1-pn)·P=100×10010000 198 =0.0川98.4…(6分) (2)当n=1时，P.=100 1 当n≥2时.卫=品×器x…x10×高 …(9分） 100 P4100×10_(100-B)(m+) …(11分) P n 100m 100 含”≥1，即100-n）i+1 ...(12分) 100n 化简.得(n+1)≤100.闪为neN”,所以n≤9， 即≤9时.P。<P1,当≥10时，P>P1 所以n=10时，P最大.…(15分） 17.命题透析木题考杏利用空问向量计算线面角， 解析(1)h题可知D4,DC,DS两两互相垂直，以D为坐标原点，以DA,DC,DS所在直线分别为x轴y轴、 z轴生立1图所示的3间白角坐标系，则A(2,0.0),B(2,4,0),C(0.4.0),S(0,0.23). 因为1为SC的中点，所以(0,2,3)，AB=(0.4,0).A=（-2,2.5). …(2分) 设平而ABM的法向量为n=(xy,), 物·=4y0. 令x=3,得z=2,则n=(30,2).…(4分） n·.A前=-2x+2y+3z=0. 易得s=(2.0,-23). (5分) 设直线SM与平而ABW所成的角为9，则 sin 0= 15·l-123-43123-21 si.nl4×7 4714 :白线S与平面M所成角的止弦伯为】 …(8分） (2)方法一：如图，在平面SDC中过.点1作：W∥SD交CD于点V,在平面ABCD中过点N作P厚AD交AB干 点P,连接WP,YB.…(10分） 因为底而ABC)为矩形，所以A)LCD.又S)1AD.CDnS)=D,所以A1)1平而SCD 因为P∥AD,所以PY⊥平面SCD.…(12分)） 设=eo2),出25得ac-2y,则w=c2 士.…(13分) 23 在RL△P中，MP=4+x2 在△MPg中.由余弦定理得MP2=PB+BMf-2BM·PBcos.∠ABM. (v4+-2+-2x2 360,解得x=或53（舍大）， 从而时=子D,所以超为SC的中点 ……(15分)） D以 方法二：如图，在平面SDC中过点M作MQ升CD交SD点Q,连接AQ,则MQ∥CDAB. 设0=a(ae04),南号-2522得0=8任 2 …(10分） 23 闪为w10.所以40：V40+00-V4+34:9:5024+网 2 (12分） 4 在梯形ABMQ中，过点作MP有QA交AB丁点P,则四边形APMQ是平行四边形，所以P=AQ,Q=AP. 在△MB巾，由余弦定理得M12=B2+BM2-2BM·BPos∠ABM, 即3n-24a+64 2 =(4-4)2+3-2×3×(4-a)c0s60°，解得a=2或-6（舍去）， 从而0=0C,所以为SC的中点。…(15分） 一6一 18.命题透析木题考杏拟线的方程，双线与直线的位肾关系 乃 解析(1)C的两条渐近线分别为y= 4*,3= 内题意得、尽 =-1,可得a=b,则2=2+6=2d2.=2a. (2分) 市右焦点Fc0)到渐过线的E离为1，得=2a=1,解得a=l,则6=1， 22 C的方程为-y2=1.…(4分) (2)(i)若点A的坐标为（±1.0），则点P与A重合，坐标也为（±1,0），到原点的距离为1.…(5分) 若点A的坐标为(x出，)(y≠0)，则x-y=1, 设！的方程为y-方=(x-x),与C的方程联立， 消去，得(1-)x2-2(y-1)x-(y1-)'-1=0, 出4=0，结合-=1，得k=,则1的方程为x,x-y=1. (7分) 巾题得F(2,0),则1的乖线FP的方程为yx+x1y=2 设点P(x,y),将1垂线FP的疗程联立，得 x-名+2 [t-y=1, 好+7 解得 即P+2- yx+y=y, 2x1-i +方1+方 T= xi-yi 则x+=+2 12x出-上=1. 好+ i+yi 综上，点P到原点0的距离为定值1.…(11分) (i)记B(x.2).1P(m,) 出(i)知m°+2=1，A:x1x-y)=1,1PB:2x-y=1. ………(12分） 【m-方=1， 出于点P在这两条点线上，所以{ 囚此直线AB的方程为x-y=1 lx2m-2n=1, 不妨设点新在x轴上，点N作于轴上则y= …(14分) 一7 设w-亡-（位+》m4=2+学+2层号4a仪当1a1=1a-受时取 等号，因此|明作|的坡小伯为2.……(17分) 19.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质、处理不等式问题 解析(l)(i)囚为fx)=e'cosx,所以'"(x)=e'(csx-six), 令'(x)=0,可得sx=sinx.即1anx=1,解份x=T+开，cN. (1分) 4 当素为奇数时'()在x=如+于附近左负名正： 当为侣数时，"()在￥=m+开附近左正右负。 所以=m+骨eN均为极位点，即a=(a-）+行=am-子aeN、…(3分） 所以a,)=e行c(m-） 肉为(m-）-号.放a≠0，而孔a=(m+） 故a） ew(nm+牙） -eT f(.) - 所以数列（红.）：是等比数列.… …(5分) (i对于切aeN≤e,相成立.即(m-)s号等相成立. 可得2m≤e 相成立，设=Am-买>0.可得巨m≤相成立.… …(7分)） nm一4 设函数g(0=兰(4>0).则g0==卫 2 令g'(t)=0,可得t=1, 当0<t<1时，g'(t)<0,()在区间(0,1)上单调递战.当t>1时.g'(t)>0.g()在区问(1，+x)上单调 递增。 因为41e(0,1),光n≥2时，4e(1,+0）,且4.<a。-1, )5<1.可得(}） h …(9分） 所以a)m=mm84),g(山)：=mi{(年）}母）=4e子， 所以2m≤4，解科m≤2巨子 -8 所以m的最人俏为22。是.…（1分) (2)()=f(x)=c'(cos a-sin x)(x)=-2c'sin 当∈（年，）时，h'()<0,所以A()在（牙）为诚函数 记()=x)+()(受-小， 则p'()=f()+'((受-x-()=()(受-<0， 所以p()在区间（牙）上单两递诚。 所以p()>p(）=0,即)+h((号->0 …(13分) 由抛可知cc0s名=1，i记x=-2nm,则∈（年，2） 故yn）=sy。=ec0s(x,-2nm)=e, 巾yn）=e2≤1=)及(i),得y.≥ 因此(x)≤()<年)=0 …(15分) hx)+()(Σ-)>0，及(x)<0, f(y.) C-2v C:-2e C-2NE C-2vT 得号-y<-=-)5-)e(sm%-os)n-6' 即2nm+2-x<gino-cs …(17分） -9