第二章 不等式与不等式组 单元卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦“不等式与不等式组”单元复习，以高速限速、校园捐赠等真实情境设计问题，梯度覆盖基础与综合应用，落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式性质、解集表示（如第2、5题）|结合高速限速情境（第1题），考查抽象能力| |填空题|6/18|列不等式、含参解集（如第11、13题）|文字转符号，强化符号意识| |解答题|8/72|解不等式组、含参问题、应用题（如第19、22题）|校园献爱心等应用题（第22题）体现模型意识，含参问题（第19题）提升推理能力|

第二章 不等式与不等式组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、某双向六车道高速公路，分车道、分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 2、若，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解∶A、若，则，故本选项错误，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，符合题意； C、若，则，故本选项错误，不符合题意； D、若，则，故本选项错误，不符合题意； 3、下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：A、x2+3x＞1中x2的次数为2，不是一元一次不等式； B、含有2个未知数x、y，不是一元一次不等式； C、是一元一次不等式； D、中是分式，不是一元一次不等式； 4、如果不等式（a+1）x>a+1的解集为x＞1，那么a的取值范围是（　　） A. a＜1 B. a＜﹣1 C. a＞1 D. a＞﹣1 【答案】D 【详解】（a+1）x>a+1， 当a+1>0时,x＞1， 所以a+1>0，解得a>-1， 5、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】∵解不等式得：x＞1， 解不等式得：x＜-2， 在数轴上表示为： ， ∴不等式组无解， 6、如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 由①得，， 由②得，， 根据已知条件，不等式组解集是， 根据“同大取大”原则． 7、关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 由①解得：， 由②解得：， 故不等式组的解集为， 由不等式组的整数解有5个，得到整数解为2，3，4，5，6， ∴， 则的范围为．， 8、 已知关于x，y的方程组的解是一对正数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由，得：， ∵方程组的解是一对正数， ∴， 解得：． 9、已知关于x的不等式的负整数解只有，，，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 解得，， ∵关于x的不等式的负整数解只有，，， ∴， 10、关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（　　） A．6 B．7 C．11 D．12 【答案】A 【详解】解：解方程组得： ， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为整数， ∴k可取，1，，4，5，， 解关于z的不等式组得， ∵关于z的不等式组有且仅有2个整数解， ， 解得：， ∴整数k为，1，，4， 其和为， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、“与的2倍的差不小于27”用不等式表示为 ． 【答案】 【详解】解：“与的2倍的差不大于27”用不等式表示为． 12、不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】 -4x-2x>-3 -6x>-3 13、已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是______________． 【答案】a＜2 【详解】解：∵不等式（2a-4）x＞3的解集为x＜， ∴2a-4＜0， 即a<2， 14、不等式组无解，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， 解得：， 则的取值范围是． 15、不等式组的最小整数解为_____________． 【答案】 详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的最小整数解为． 16、若关于x，y的方程组，若方程组的解满足，，则的整数解的和为_________． 【答案】21 【详解】解：， ②①得： ∴ 把代入①得： ∴解方程组为 ∵， ∴ 解得： ∴的整数解是：1，2，3，4，5，6 ∴的整数解的和为：1+2+3+4+5+6=21 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解不等式，并把解集在数轴上表示出来； 【答案】，见解析； 【详解】解：（1） 去括号得：7x-6x+2＞3x+6， 移项得：7x-6x-3x＞6-2， 合并同类项得：-2x＞4． 系数化为1得：x＜-2， 在数轴上表示不等式的解集为： ； 18、解不等式组解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式组的解为：， 把解集在数轴上表示出来为： 19、已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 【答案】(1)； (2)和0． 【详解】（1）解：解方程组，得， 根据题意，得， 解得：； （2）解：∵， ∴， 而的解为知：， 解得. 结合（1）得，的取值范围是， 不等式的解为时，可以取整数值和0. 20、若方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】 【详解】解：， ①+②，得5x+5y=k+4， ∴x+y=， ∵0≤x+y＜1， ∴0≤＜1， 解得，-4≤k＜1， ∴k的取值范围：-4≤k＜1 21、 解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣）， 从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值． 【答案】原式=，当x=2，原式=1． 【详解】解不等式 3x﹣6≤x，得：x≤3， 解不等式＜，得：x＞0， 则不等式组的解集为 0＜x≤3， 所以不等式组的整数解为 1、2、3， 原式=•[ ] =• =， ∵x≠±3、1， ∴x=2， 则原式=1． 22、某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个． （1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？ 【答案】见试题解答内容 【详解】解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个， 根据题意得：50x+70（60﹣x）＝3400， 解得：x＝40， 60﹣x＝60﹣40＝20（个）， 答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个． （2）设女款书包能买y个，则男款书包（80﹣y）个， 根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800， 解得：y≤40， ∴女款书包最多能买40个． 23、某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌的足球总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有几种购买方案？ 【答案】（1）购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． （2） 学校购买足球有三种方案： 方案一：购买A种足球25个，B种足球25个； 方案二：购买A种足球26个，B种足球24个； 方案三：购买A种足球27个，B种足球23个． 【小问1详解】 解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． 【小问2详解】 解：设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个， 依题意得：， 解得：25≤m≤27． 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买A种足球25个，B种足球25个； 方案二：购买A种足球26个，B种足球24个； 方案三：购买A种足球27个，B种足球23个． 答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金． 24、去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． （1）求饮用水和蔬菜各有多少件？ （2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； （3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？ 【答案】 （1）饮用水和蔬菜分别为200件和120件 （2）设计方案分别为： ①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆； ③甲车4辆，乙车4辆 （3）运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元 【详解】解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件． x+（x﹣80）=320， 解这个方程，得x=200． ∴x﹣80=120． 答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件； （2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．得： ， 解这个不等式组，得2≤m≤4． ∵m为正整数， ∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案． 设计方案分别为： ①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆； （3）3种方案的运费分别为： ①2×400+6×360=2960（元）； ②3×400+5×360=3000（元）； ③4×400+4×360=3040（元）； ∴方案①运费最少，最少运费是2960元． 答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、某双向六车道高速公路，分车道、分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速的范围是（    ） A． B． C． D． 2、若，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3、下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 4、如果不等式（a+1）x>a+1的解集为x＞1，那么a的取值范围是（　　） A. a＜1 B. a＜﹣1 C. a＞1 D. a＞﹣1 5、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6、如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7、关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8、 已知关于x，y的方程组的解是一对正数，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9、已知关于x的不等式的负整数解只有，，，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10、关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（　　） A．6 B．7 C．11 D．12 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、“与的2倍的差不小于27”用不等式表示为 ． 12、不等式的解集是__________． 13、已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是______________． 14、不等式组无解，则的取值范围是___________． 15、不等式组的最小整数解为_____________． 16、若关于x，y的方程组，若方程组的解满足，，则的整数解的和为_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解不等式，并把解集在数轴上表示出来； 18、解不等式组解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19、已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？ 20、若方程组的解满足，求k的取值范围． 21、 解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣）， 从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值． 22、某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个． （1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？ 23、某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌的足球总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有几种购买方案？ 24、去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． （1）求饮用水和蔬菜各有多少件？ （2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； （3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？ —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $