专项10 平行线中的综合探究（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷专项精炼（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 以分类讨论和辅助线构造为核心方法，系统整合平行线性质与动态几何问题，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坐标平移与动点综合|1|设参数列方程、分类讨论（点P位置）、作平行线转化角|平移性质→平行线判定与性质→动态问题中角关系推导| |三角尺旋转与平行探究|1|分类讨论（旋转位置）、辅助线（作平行线）、角的和差转化|三角尺角度特征→平行线性质→动态旋转中的平行判定与角度计算|

专项10　平行线中的综合探究 1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）.将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD. （1）直接写出坐标：点C　（－1，3）　，点D　（－1，－2）　. （2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度；点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度.若两点同时出发，几秒后MN∥x轴？ （3）若P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），则∠DCP，∠CPA与∠PAB之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论. 解：（2）设t秒时MN∥x轴，且CD与x轴交于点E.如图1，根据题意，得AM＝t，DN＝0.5 t.∵AB＝5，DE＝2，∴BM＝5－t，NE＝0.5t－2.∵MN∥x轴，∴BM＝NE.∴5－t＝0.5t－2.解得t＝.∴ s后，MN∥x轴. 　 图1 、 （3）∠DCP，∠CPA与∠PAB之间的数量关系为∠CPA＝∠DCP＋∠PAB或∠CPA＝∠DCP－∠PAB. 解析：分两种情况讨论：①如图2，当点P在直线AB的左侧时，由平移的性质可知AB∥CD，过点P作PE∥AB交AC于点E，则PE∥AB∥CD.∴∠PAB＝∠APE，∠DCP＝∠CPE.∵∠CPA＝∠CPE＋∠APE，∴∠CPA＝∠DCP＋∠PAB. 图2 ②如图3，当点P在直线AB的右侧时，设PC交AB于点E.由平移的性质可知AB∥CD， 　 图3 ∴∠DCP＝∠AEC＝∠PEB. ∵∠PAB＋∠CPA＋∠AEP＝180°，∠PEB＋∠AEP＝180°， ∴∠PEB＝∠PAB＋∠CPA＝∠DCP. ∴∠CPA＝∠DCP－∠PAB. 综上所述，∠DCP，∠CPA与∠PAB之间的数量关系为∠CPA＝∠DCP＋∠PAB或∠CPA＝∠DCP－∠PAB. 2. 【问题情境】数学活动课上，老师要求同学们以一副三角尺为背景探究图形的位置变化.将一副三角尺按照图1所示的方式放置，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠ABC＝45°，∠EDC＝30°. 【猜想证明】（1）如图1，“笃学”小组发现∠ACE与∠BCD之间的数量关系为　∠ACE＝∠BCD　. 【操作探究】（2）“勤奋”小组通过分析图1提出问题：试判断∠ACD与∠BCE之间的数量关系，并说明理由. 解：（2）∠BCE＋∠ACD＝180°.理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＋∠ACD＋∠ACD＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＝∠ACE＋∠ACD＋∠DCB，∴∠BCE＋∠ACD＝180°. 【拓展探究】（3）“智慧”小组受到启发：让三角尺ABC固定不动，将三角尺DCE从图2的位置绕点C逆时针转动180°的过程中，当三角尺DCE的一边与三角尺ABC的边AB平行时，直接写出∠BCE的度数. 解：（3）∠BCE的度数为45°或105°或135°. 解析：分三种情况讨论：①如图1，延长BC到点F，当AB∥CD时，则∠DCF＝∠B＝45°.∵∠DCE＝90°，∴∠FCE＝45°.∴∠BCE＝180°－∠FCE＝180°－45°＝135°.②如图2，作CF∥AB.当AB∥DE时，则AB∥DE∥CF.∴∠ABC＋∠FCB＝180°，∠DEC＋∠FCE＝180°.∴∠FCB＋∠FCE＝360°－（∠ABC＋∠DEC）＝360°－（45°＋60°）＝255°.∴∠BCE＝360°－（∠FCB＋∠FCE）＝360°－255°＝105°.③如图3，当AB∥CE时，∠BCE＝∠B＝45°. 综上所述，∠BCE的度数为45°或105°或135°. 图1 图2 图3 学科网（北京）股份有限公司 $