专项9 相交线与平行线中的计算与证明（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷专项精炼（人教版·新教材 河南专版）

**基本信息** 聚焦相交线与平行线的计算证明，通过分层题型系统提炼辅助线作法、角关系转化等方法，构建从基础到应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|1|对顶角、邻补角、垂线性质综合应用|相交线角关系→角度计算| |作图与证明|2|同位角相等作平行线，依据判定定理推理|作图原理→平行判定| |综合证明|3-4|平行线性质与判定互推，角的转化（同旁内角、内错角）|平行性质→角关系→平行判定| |实际应用|5|作辅助线（过拐点作平行线），平行传递性应用|实际问题→几何建模→辅助线转化|

专项9　相交线与平行线中的计算与证明 1.直线AB，CD相交于点O，且∠AOD是钝角，在∠AOD的内部作射线OE，且OE⊥AB. （1）请根据已知条件画出图形. （2）若∠AOC＝38°，求∠EOD的度数. （3）若∠AOD∠BOD＝32，求∠COE的度数. 解：（1）如图所示. （2）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°.∵∠AOC＝38°，∴∠EOD＝180°－∠AOC－∠AOE＝180°－38°－90°＝52°. （3）∵∠AOD∠BOD＝32，∠AOD＋∠BOD＝180°，∴∠BOD＝72°.∴∠AOC＝∠BOD＝72°.∴∠COE＝∠AOE＋∠AOC＝90°＋72°＝162°. 2.下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程. 已知：点C在直线AB上，点D在直线AB外，且∠DCB＝60°. 求作：直线DE，使得DE∥AB. 作法：如图， ①在线段CD的延长线上任取一点M；②以点D为顶点，DM为一边，运用数学工具，在DM右侧作∠MDE＝60°；③将射线DE反向延长，直线DE就是所求作的直线. 根据小红的作图过程，解决以下问题： （1）补全图形，并完成证明过程； 证明：∵∠MDE＝60°，∠DCB＝60°，∴∠MDE＝∠DCB. ∴DE∥AB（　同位角相等，两直线平行　）（填推理的依据）. （2）在（1）的条件下，过点C作CD的垂线，交直线DE于点F，求∠CFE的度数. 解：（2）如上图，CF即为所求作.∵CF⊥CD，∴∠FCD＝90°.∵∠DCB＝60°，∴∠ACF＝180°－∠FCD－∠DCB＝180°－90°－60°＝30°.由（1）知DE∥AB，∴∠CFE＝∠ACF＝30°. 3.如图，D，E，F分别在三角形ABC的三条边上，DE∥AB，∠1＋∠2＝180°. （1）证明：DF∥AC . （2）若∠1＝100°，DF平分∠BDE，求∠C的度数. 解：（1）证明：∵DE∥AB，∴∠A＝∠2.∵∠1＋∠2＝180°， ∴∠1＋∠A＝180°.∴DF∥AC. （2）∵DE∥AB，∴∠FDE＋∠1＝180°.∵∠1＝100°，∴∠FDE＝180°－∠1＝180°－100°＝80°.∵DF平分∠BDE，∴∠FDB＝∠FDE＝80°.由（1）知DF∥AC，∴∠C＝∠FDB＝80°. 4.中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN.点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠EFN＝∠G. （1）EF与GH平行吗？若平行，请说明理由. （2）求证：∠AEF＝∠GHD.（提示：延长EF交CD于点P） 解：（1）平行.理由如下： ∵MG∥FN，∴∠EFN＝∠EMG.∵∠EFN＝∠G，∴∠G＝∠EMG.∴EF∥GH. （2）证明：如图，延长EF交CD于点P. ∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠MPH＝180°. ∵EP∥GH，∴∠GHP＋∠MPH＝180°. ∴∠BEF＝∠GHP. ∵∠BEF＝180°－∠AEF，∠GHP＝180°－∠GHD， ∴∠AEF＝∠GHD. 5. 如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度.图1是这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE＝135°，两支架BC和CD的夹角∠BCD＝108°.如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数呢？小明解决此问题的思路如下： （1）小明在解决问题时，过点C作CF∥BE，则可以得到CF∥MN，其理由是　如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　. （2）如图2，根据小明的思路求得∠CDM的度数为　63°　，∠ABE的度数为　63°　. （3）小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无关.小明的说法对吗？请结合图3说明理由. 解：（3）小明的说法对.理由如下： ∵CF∥BE，∴∠BCF＋∠CBE＝180°.∴∠BCF＋∠CBA＋∠ABE＝180°.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∴∠ABC＋∠BCF＋∠FCD＝180°.∴∠ABE＝∠FCD.∵CF∥MN，∴∠CDM＝∠FCD.∴∠CDM＝∠ABE. 学科网（北京）股份有限公司 $