微拓展 二项分布的三类概率最大值问题（33题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 微拓展 二项分布的三类概率最大值问题（33题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 给定 考点二 给定 考点三 给定 1二项分布的概念 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为 如果随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作,并称为成功概率. 注:是二项式的展开式中项的系数,故称为二项分布.特别地,当时,二项分布就是两点分布. 若,则. 2二项分布的三类最大值 教材中固定，类比函数，研究二项分布的单调性和最值性质,如下情形1.2018年全国高考I卷第20题固定，亦考查二项分布最大值.其实仔细观察会发现,本身含有三个参数,若固定其中两个参数,另外一个参数取何值时对应的二项分布概率最大有如下三类情形. 2.1情形1:给定 当给定时,可以得到函数.,这个是数列的最值问题. 分析:当时,随值的增大而增大;当时,随值的增大而减小.若为正整数,当时,,此时这两项概率均为最大值.若为非整数,取的整数部分,则是唯一的最大值. 使取最大值的项称为的中心项,而称为最可能成功次数,若是整数，则也是最可能成功次数. 注:在二项分布中,若数学期望为整数,则当随机变量等于期望时,概率最大. 2.2情形2:给定 当给定时,可得到函数.,这个是数列的最值问题. 分析:当时,随着值的增大而增大;当时,随着值的增大而减小.记,则 2.3情形3:给定 当给定时,可以得到函数.,这个是函数的最值问题,可以用导数求函数最值与最值点. 分析：. 当时,单调递增;当时,单调递减.故当时,取得最大值,.又当,当时,,从而无最小值. 考点一 给定 1．（2026高二·辽宁抚顺·期末）如果，取得最大值时，______． 2．（2026高二·湖北武汉·期中）随机变量，则取最大值时的值为__________ 3．（2026高三·全国·专题练习）在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数，则取最大值时_______． 4．（2026高二·陕西咸阳·期中）某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 5．（2026高二·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 6．（2026高二·宁夏·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 7．（2026高二·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________． 8．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上（    ）所对应的位置. A． B． C． D． 9．（2026高一·上海·期末）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得________分的概率最大． 10．（2026高二·北京丰台·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·湖南·模拟预测）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 12．（2026高二·浙江宁波·月考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 13．（2026高二·广东深圳·期中）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率； (2)若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差； (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值． 14．（2026高二·上海·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味），统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (2)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称为“七分糖爱好者”，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，每次抽取互不影响且每次被抽到的概率相同（以样本估计总体、用频率代替概率），记抽到个“七分糖爱好者”的概率为，问当为何值时最大？ 15．（2026高二·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 16．（2026·广东揭阳·模拟预测）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 17．（2026·北京昌平·模拟预测）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 18．（2026高二·浙江温州·期中）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． (1)求甲、乙两条生产线的产量之比． (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． (3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 19．（2026高二·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 20．（2026·四川宜宾·模拟预测）2025年政府工作报告明确提出持续推进“人工智能+”行动.上海某人工智能实验室的多模态大模型在某次数学测评中表现特别突出，所有测评试题能得1分的可能性为，能得2分的可能性为，假设每道试题得分情况相互独立. (1)从所有测评试题中随机抽取4道试题，记这4道题得分总数为，求的分布列和数学期望； (2)从所有测评试题中随机抽取n道试题，记这n道题得分总数为的概率为，求的值； (3)已知王老师班有20名学生分别用模型解答该数学测评中最后一题.若王老师按照这20人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，请问王老师应该提前准备多少朵小红花比较合理？ 4 5 6 7 8 考点二 给定 21．（2026高二·陕西西安·期末）将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记随机变量为正面向上的次数，若最大，则的展开式中常数项为____________. 22．（2026高二·湖南长沙·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 23．（2026高三·山西·月考）甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 24．（2026高二·浙江台州·期中）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差； (2)将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 25．（2026高三·重庆沙坪坝·月考）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 26．（2026高三·湖南长沙·开学考试）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球. (1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； (2)设第 次答题后游戏停止的概率为 问：是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 27．（2026高三·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 28．（2026高二·全国·寒假作业）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围（单位：立方米） 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图： (1)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列； (2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值. 29．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 30．（2026高三·重庆·开学考试）有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率； (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率； (3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值． 考点三 给定 31．（2026·山西吕梁·模拟预测）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________． 32．（2026高二·北京丰台·期末）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则__________；函数取最大值时，__________. 33．（2026高三·全国·专题练习）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 微拓展 二项分布的三类概率最大值问题（33题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 给定 考点二 给定 考点三 给定 1二项分布的概念 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为 如果随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作,并称为成功概率. 注:是二项式的展开式中项的系数,故称为二项分布.特别地,当时,二项分布就是两点分布. 若,则. 2二项分布的三类最大值 教材中固定，类比函数，研究二项分布的单调性和最值性质,如下情形1.2018年全国高考I卷第20题固定，亦考查二项分布最大值.其实仔细观察会发现,本身含有三个参数,若固定其中两个参数,另外一个参数取何值时对应的二项分布概率最大有如下三类情形. 2.1情形1:给定 当给定时,可以得到函数.,这个是数列的最值问题. 分析:当时,随值的增大而增大;当时,随值的增大而减小.若为正整数,当时,,此时这两项概率均为最大值.若为非整数,取的整数部分,则是唯一的最大值. 使取最大值的项称为的中心项,而称为最可能成功次数,若是整数，则也是最可能成功次数. 注:在二项分布中,若数学期望为整数,则当随机变量等于期望时,概率最大. 2.2情形2:给定 当给定时,可得到函数.,这个是数列的最值问题. 分析:当时,随着值的增大而增大;当时,随着值的增大而减小.记,则 2.3情形3:给定 当给定时,可以得到函数.,这个是函数的最值问题,可以用导数求函数最值与最值点. 分析：. 当时,单调递增;当时,单调递减.故当时,取得最大值,.又当,当时,,从而无最小值. 考点一 给定 1．（2026高二·辽宁抚顺·期末）如果，取得最大值时，______． 【答案】10 【分析】利用二项分布的概率公式求出，再由组合数的性质可得答案 【详解】解：因为，所以， 由组合数的性质可知当时，最大，此时取得最大值， 故答案为：10 2．（2026高二·湖北武汉·期中）随机变量，则取最大值时的值为__________ 【答案】13 【分析】利用二项分布的概率表达式，假设最大建立不等式组，解出k. 【详解】∵随机变量，∴. 由题意得： 即 又k取整数，所以k=13. 故答案为：13 3．（2026高三·全国·专题练习）在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数，则取最大值时_______． 【答案】1 【分析】，可得．则且计算可得． 【详解】解：依题意，可得 则， 且， 解得，又，所以． 故答案为：1 【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．（2026高二·陕西咸阳·期中）某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 【答案】15或16 【分析】设命中目标的子弹数为X，则，利用二项分布的概率公式，求出概率最大的子弹数即可. 【详解】设命中目标的子弹数为X，则，有， 设最大，显然，都不是最大的，即有， 于是，即， ，整理得，解得， 所以击中目标的子弹数最可能是15或16． 故答案为：15或16 5．（2026高二·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【分析】根据二项分布得到不等式组，求出答案. 【详解】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 6．（2026高二·宁夏·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动60次，则它位于数字___________处的可能性最大． 【答案】20 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果． 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为． 7．（2026高二·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________． 【答案】7 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值. 【详解】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 8．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上（    ）所对应的位置. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设质点向右移动次，可得最终落在，根据，求出时概率最大，即可求出答案. 【详解】设质点向右移动次，则向左移动次，最终落在， 质点向右移动服从二项分布， 令，其中 即， 即， 整理得，解得， 所以当时，， 当时，， 则最大， 即质点最有可能向右移动次，最终落在， 所以秒后质点最有可能落在数轴上所对应的位置. 故选：B. 9．（2026高一·上海·期末）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得________分的概率最大． 【答案】 【分析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大，先利用二项分布概率公式列出概率表达式，依题列出不等式组求得，根据，求得，继而得出答案. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 则， 依题意，，解得 又因为，所以，易知时，最大， 故甲得分为的概率最大． 故答案为：120. 10．（2026高二·北京丰台·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 11．（2026·湖南·模拟预测）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 12．（2026高二·浙江宁波·月考）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 【答案】7或8 【分析】首先求出改进后，1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后落入2号球槽的概率，根据二项分布列出2号球槽中落入k个小球的概率最大时的不等式组，进而可得解. 【详解】由题意知1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后共碰撞4次，落入2号球槽需向右1次，向左3次， 因为改进后，的概率向左，的概率向右滚下， 所以落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为X，则， 令最大，则， 即， 解得，因为， 所以2号球槽中落入或个小球的概率最大. 13．（2026高二·广东深圳·期中）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率； (2)若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差； (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值． 【答案】(1)； (2) 0 1 2 ，； (3). 【分析】（1）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算. （2）求出的可能值，利用二项分布求出分布列，进而求出期望、方差. （3）利用二项分布概率最大问题列出不等式组求解. 【详解】（1）设事件 “两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态， 所以所求概率. （2）粒子个数的可能值为：，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望； 方差. （3）的可能取值为，， 个粒子返回室的概率为， 则， 即， 整理得，解得，而，因此， 所以，当时，取最大值. 14．（2026高二·上海·期中）某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味），统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (2)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称为“七分糖爱好者”，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，每次抽取互不影响且每次被抽到的概率相同（以样本估计总体、用频率代替概率），记抽到个“七分糖爱好者”的概率为，问当为何值时最大？ 【答案】(1) X 1 2 3 P ， (2)时，最大 【分析】（1）根据超几何分布的概念，求出分布列，再根据期望和方差的概念，求出结果即可；（2）根据二项分布的概念，求出概率的通式，进而列出不等式组，求出最大值即可． 【详解】（1）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取人， 甜度偏好分数在这组中抽取人， 故，，， 因此，的分布列为： X 1 2 3 P 故，， ． （2）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数k服从二项分布，即， ，则， 当，即时当，即时， 因此，，且， 所以，当时，最大． 15．（2026高二·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解； （2）根据超几何分布的概率求解分布列，即可求解； （3）根据二项分布以及组合数的计算即可求解. 【详解】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ， 解得：，又，故时概率最大 16．（2026·广东揭阳·模拟预测）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 . (2) (3)中奖2次的人数为时的概率最大. 【分析】（1）根据题意分析随机变量的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望； （2）根据（1）的计算数据可求第二次中奖的概率； （3）设位顾客中中奖2次的人数为，则，故可不等式组的整数解确定中奖2次的人数为何值时对应的概率最大. 【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为， 则， ， ， 则的分布列为 0 1 2 所以的期望为. （2）设为“第二次中奖”， 则. （3）设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得， 故，其中， 令， 所以， 化简得，故， 故中奖2次的人数为的概率最大. 17．（2026·北京昌平·模拟预测）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 18．（2026高二·浙江温州·期中）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． (1)求甲、乙两条生产线的产量之比． (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． (3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)或100 【分析】(1)利用全概率公式计算即可求解； (2) 由（1）可知，甲生产线产品占总量的，可得，利用二项分布的分布列以及期望公式求解即可； (3)由题可得，利用，解不等式即可求解. 【详解】（1）设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件， 事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”， 事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”， 事件“混合在一起的某一零件是合格品”， 则，． 由， 得． 所以甲、乙两条生产线的产量之比为． （2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以． ，， ，， 所以的分布列： 0 1 2 3 ． （3）从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为， 则， 由，解得． 所以当或100时，取得最大值． 19．（2026高二·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【分析】（1）先定义“输入的问题没有语法错误”、“一次应答被采纳” 两个事件，明确已知概率后，直接套用全概率公式，分“无错采纳” 和“有错采纳” 两类情况相加即可． （2）依据 “次独立重复试验+固定成功概率” 判定服从二项分布，列出分布列；最后通过计算相邻概率比值，解不等式找到单调区间，确定概率最大时的值 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 20．（2026·四川宜宾·模拟预测）2025年政府工作报告明确提出持续推进“人工智能+”行动.上海某人工智能实验室的多模态大模型在某次数学测评中表现特别突出，所有测评试题能得1分的可能性为，能得2分的可能性为，假设每道试题得分情况相互独立. (1)从所有测评试题中随机抽取4道试题，记这4道题得分总数为，求的分布列和数学期望； (2)从所有测评试题中随机抽取n道试题，记这n道题得分总数为的概率为，求的值； (3)已知王老师班有20名学生分别用模型解答该数学测评中最后一题.若王老师按照这20人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，请问王老师应该提前准备多少朵小红花比较合理？ 【答案】(1)分布列见解析，5； (2)； (3)25朵. 【分析】（1）列出的所有可能取值，利用二项分布的概率公式求出分布列，再根据分布列求数学期望即可； （2）由题意可得n道试题中只有1道得到2分，所以，利用错位相减法求和即可； （3）设得到1分的人数为，则得到的总分为，利用二项分布的概率公式列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意知得分总数的所有可能取值为4，5，6，7，8， 其中，， ，， ， 所以的分布列为 4 5 6 7 8 . （2）因为n道题得分总数为，所以其中只有1道题得到2分， 所以， 则， 所以， 两式相减得 ， 所以． （3）在这20名学生中，设得到1分的人数为，则得到2分的人数为， 所以得到的总分， 此时得到的总分的概率为， 所以，整理得，解得， 而，，所以，所以， 所以若王老师按照这20人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，王老师应该提前准备25朵小红花比较合理. 考点二 给定 21．（2026高二·陕西西安·期末）将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记随机变量为正面向上的次数，若最大，则的展开式中常数项为____________. 【答案】 【分析】由题意，且，可求出的值，再根据二项式的通项公式即可求解. 【详解】， 因为最大， 所以，且， 即，解得， 且，解得. 又因为，所以， 所以的通项公式为， 令，解得， 所以. 所以的展开式中常数项为. 故答案为：. 22．（2026高二·湖南长沙·月考）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 23．（2026高三·山西·月考）甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲最终获胜的两种可能的比分为或，利用独立重复试验的概率公式可求得所求得甲获胜的概率； （2）分析可知，可得，记，解不等式，可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或. 因为每局比赛的结果是独立的， 所以甲最终获胜的概率； （2）易得，，， 记， 则， 由，得， 即当时，， 当时，， 故当时，最大，所以的估计值为. 24．（2026高二·浙江台州·期中）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差； (2)将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】(1)分布列见解析， (2)或40或41 【分析】（1）根据，求出10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数，得到的取值，分别求出每个的取值的概率，列出分布列，根据分布列求出期望和方差. （2）由已知，女生有100人，求出喜欢春节联欢晚会的女生人数，由，求出喜欢春节联欢晚会的人数，由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生，求出他喜欢春节联欢晚会的概率，从而得到随机变量，求出，由在时取得最大值，得到，列出关于的不等式组，计算得到的值. 【详解】（1）由， 所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为0，1，2， 则，，， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. 所以的方差为. （2）由已知，女生有100人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为60人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为90人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， （） 因为在时取得最大值，所以， 令， 解得， 因为，所以或40或41. 25．（2026高三·重庆沙坪坝·月考）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件 “喜欢春节联欢晚会”， “学生为女生”，据统计有：. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】(1) 0 1 2 (2)或40或41 【分析】（1）由题意易得的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）先得到从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，再由二项分布概率最大可列不等式求解. 【详解】（1）由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. （2）（i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 60 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 26．（2026高三·湖南长沙·开学考试）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球. (1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率； (2)设第 次答题后游戏停止的概率为 问：是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，最大值为. 【分析】（1）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”，记“第次摸出红球，并且答题正确”，，记“第次摸出黑球，并且答题正确”，，记“第次摸出黑球或红球，并且答题错误”，，结合全概率公式直接求解即可； （2）第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次，答题错误次，且第次摸出一球时答题正确，即可直接得到，结合概率的性质，即可求解. 【详解】（1）记“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一球”， 记“第次摸出红球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球，并且答题正确”，， 记“第次摸出黑球或红球，并且答题错误”，， 所以， 又，，， 所以 ， 同理， 所以. （2）①第次后游戏停止的情况是：前次答题正确恰好为次， 答题错误次，且第次摸出一球时答题正确， 所以. ②由①知，， 所以， 令，解得， 令，解得，即， ， 所以的最大值是. 27．（2026高三·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立. (1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率； (2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据全概率公式计算求解即可； （2）结合（1）得，再结合二项分布的概率公式计算求解即可. 【详解】（1）解：记“用户输入一个问题没有语法错误”为事件， “用户输入一个问题软件生成正确答案”为事件， 由题意可得，，，， . 所以用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8. （2）解：由（1）知用户输入一个问题软件生成正确答案的概率为0.8， 则，， 令， 则， 令，则；令，则；令，则； 所以或时，取最大值. 28．（2026高二·全国·寒假作业）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围（单位：立方米） 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图： (1)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列； (2)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)6 【分析】（1）先确定第二阶梯水量的户数的可能取值，然后求出对应的概率，进而得到其分布列. （2）根据二项分布列出，进而确定最值. 【详解】（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户. 第二阶梯水量的户数的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得， 所以，其中0，1，2，…，10. 设， 若，则，； 若，则，. 所以当或，可能最大， ，所以的取值为. 29．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)的分布列详见解析； (2)66 【分析】（1）根据分布列、数学期望及超几何分布概率计算公式求解即可. （2）根据二项分布求出，比较与1的大小关系，判断数列的单调性，从而找到最大值点. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 30．（2026高三·重庆·开学考试）有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率； (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率； (3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或9. 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和古典概型概率公式计算即得； （2）先将所求事件分成两种互斥事件：①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回；②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，分别利用组合数公式求其概率，再运用概率加法公式即可； （3）依题意，列出的解析式，通过作商判断概率的增减性，即可求出的最大值以及此时的值. 【详解】（1）因“经过两次试验后，手上有两个白球”即第一次和第二次试验都取到了1个白球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上，故其概率为： . （2）由题意，“经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球”包括两个事件： ①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回，其概率为：； ②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，其概率为： . 故由互斥事件概率加法公式，经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率为. （3）依题意，， 由，解得，即， 故经过8次或9次试验后，停止试验的概率最大，此时或9. 考点三 给定 31．（2026·山西吕梁·模拟预测）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________． 【答案】/ 【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得，利用导数研究函数在上的最值，根据最值成立的条件即得. 【详解】至少射击4次合格通过的概率为， 所以，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时得最大值，故． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：用表示至少射击4次合格通过的概率，并利用导数研究在上的最值即可. 32．（2026高二·北京丰台·期末）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则__________；函数取最大值时，__________. 【答案】 【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点. 【详解】10次的结果恰有2次是正面的概率为. 因此. 令，得. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取最大值. 故答案为：；. 33．（2026高三·全国·专题练习）甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，所以，再利用导数求解最大值． 【详解】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜， 所以， 则． 令，得； 令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为． 故答案为： $