专题13 成对数据的统计相关性5种常见考法归类讲义（33题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

本讲义聚焦成对数据的统计相关性核心知识点，从相关关系与函数关系的辨析切入，通过散点图直观判断变量是否相关及正负相关，再深入样本相关系数的意义与计算，构建从概念辨析到定性判断再到定量分析的递进学习支架。 资料以5种考法归类33道题，结合策略方法与高频易错点，助力学生用数学眼光观察数据关联（如散点图趋势），用数学思维分析相关程度（如相关系数推理），用数学语言表达实际问题（如年利润与广告支出数据）。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生强化练习，查漏补缺。

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题13 成对数据的统计相关性5种常见考法归类（33题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 相关关系与函数关系的辨析 考点二 判断两个变量是否有相关关系 考点三 判断正，负相关关系 考点四 相关系数的意义 考点五 相关系数的计算 知识点1 相关关系 1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 注：相关关系不是函数关系，函数关系是唯一确定的关系． 2．相关关系的分类 (1)按变量间的增减性分为正相关和负相关． ①正相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关，在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． ②负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关，在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)． ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；这条直线叫做回归直线. ②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点2　相关关系的刻画 1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图． 2．样本相关系数 (1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度， 现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用来衡量与的线性相关性强弱，我们称为变量和变量的样本相关系数. ①样本相关系数r的取值范围为[－1,1]． ②当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关. ③ 越接近于，两个变量的线性相关性越强； 接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系. 注：通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 策略方法 一、相关关系与函数关系的辨析 1.核心定义 （1）函数关系：两个变量间是确定性关系，一个变量确定，另一个唯一确定； （2）相关关系：两个变量间有关联但不确定，一个变量确定，另一个不能被唯一确定。 2.两者区别 （1）函数关系：确定性、因果性、解析式可表示； （2）相关关系：非确定性、随机性、无严格解析式； （3）函数关系可看作理想的相关关系，相关关系是更普遍的现实关系。 3.判断步骤 （1）看是否有确定公式/法则； （2）看一个变量确定时，另一个是否唯一确定； （3）是→函数关系；否→相关关系或无关系。 4.常见实例 （1）函数关系：路程与速度时间、正方形面积与边长、球体积与半径； （2）相关关系：身高与体重、成绩与复习时间、气温与冷饮销量； （3）无关系：学号与成绩、肤色与身高。 二、判断两个变量是否具有相关关系 1.经验判断法 （1）依据生活常识、专业知识判断是否存在客观联系； （2）适用于概念题、选择题快速判断。 2.散点图判断法（直观核心方法） （1）绘制散点图，将每对数据描为直角坐标系中点； （2）若点大致分布在一条直线或曲线附近→具有相关关系； （3）若点杂乱无章、无规律→不具有相关关系。 3.相关系数判断法（精确方法） （1）计算样本相关系数； （2）若接近→强相关；接近→几乎无相关。 三、判断正相关与负相关 1.定义判断 （1）正相关：一个变量增大，另一个变量也增大； （2）负相关：一个变量增大，另一个变量减小。 2.散点图判断 （1）正相关：点从左下角→右上角分布； （2）负相关：点从左上角→右下角分布。 3.数据趋势判断 （1）看数据整体增减趋势是否同向； （2）同向→正相关；反向→负相关。 4.相关系数符号判断 （1）→正相关； （2）→负相关。 四、样本相关系数的意义与性质 1.定义与公式 （1）样本相关系数用于定量衡量线性相关强弱； （2）公式： 2.取值范围与含义 （1）； （2）越接近→线性相关性越强； （3）越接近→线性相关性越弱。 注：→很强的线性相关； 3.重要性质 （1）的符号与相关方向一致； （2）与变量单位无关，单位变换不改变； （3）去掉偏离过大的点，通常更接近； （4）→完全正相关；→完全负相关；→无线性相关。 五、高频易错点 1.把相关关系当成函数关系，误认为有确定公式； 2.只看个别点，忽略整体趋势判断相关性； 3.混淆正负相关的散点图方向； 4.认为就是“无任何关系”，忽略非线性相关； 5.计算相关系数时符号、平方、求和出错； 6.去掉异常点后，误判相关系数变化方向。 考点一 相关关系与函数关系的辨析 1．（2026高二·全国·课后作业）下面变量之间是相关关系的是（   ） A．出租车费与行驶的里程 B．正方形面积与边长 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 2．（2026高二·全国·课堂例题）下列两个变量之间，是相关关系的有（    ） ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥ B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 3．（2026高二·全国·课堂例题）下列关系中，属于相关关系的是________．（填序号） ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 4．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 5．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列两个变量之间的关系，是函数关系的有（    ） A．球的体积和它的半径 B．人的身高和体重 C．底面积为定值的长方体的体积和高 D．城镇居民的消费水平和平均工资 考点二 判断两个变量是否有相关关系 6．（2026高二·全国·专题练习）在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（    ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 7．（2026高二·宁夏固原·月考）下图中的两个变量，具有相关关系的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·全国·专题练习）如图所示的两个变量不具有相关关系的有________．（填序号） 9．（2026高三·湖南岳阳·开学考试）在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（    ） A．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B．图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C．图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D．图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 10．（2026高二·江苏·课前预习）判断以下两个变量之间是否具有相关关系？ (1)正方形的面积与其周长之间的关系； (2)父母的身高与子女的身高之间的关系； (3)学生的学号与身高； (4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系. 考点三 判断正，负相关关系 11．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）以下两个变量呈负相关的是（   ） A．学生的学籍号与学生的数学成绩 B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数 C．气温与冷饮销售量 D．变量和变量对应的成对数据关于均值平移后的散点大多数分布在第二象限、第四象限，则变量和变量是负相关 12．（2026高二·重庆·期末）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·全国·课后作业）下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2026高二·全国·课后作业）观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是______．    15．（2026高二·全国·课后作业）变量与相对应的一组数据为，，，，；变量与相对应的一组数据为，，，，.则变量与之间______相关，变量与______相关. 16．（2026高三·全国·专题练习）某公司2018-2023年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x/百万元 12.2 14.6 16.0 18.0 20.4 22.3 y/百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，年利润中位数（    ） A．是16，x与y有正线性相关关系 B．是17，x与y有正线性相关关系 C．是17，x与y有负线性相关关系 D．是18，x与y有负线性相关关系 17．（2026高二·广西桂林·期末）根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 18．【多选】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（   ） A．年我国粮食产量逐年增加 B．年我国粮食产量的中位数为万吨 C．年我国粮食产量的极差为万吨 D．年我国粮食产量与年份负相关 考点四 相关系数的意义 19．（2026·天津河西·模拟预测）某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据，（），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5组数据的样本相关系数为r.若去掉点后，剩余4组数据的样本相关系数为，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 20．（2026高三·上海·月考）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·四川·模拟预测）对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2026高三·青海西宁·月考）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 23．（2026高二·陕西渭南·期末）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，则线性相关程度最强的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 24．（2026高三·上海虹口·月考）分别对、、三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为、，，则、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为________． 25．（2026高三·上海·月考）下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 26．（2026高二·上海·月考）通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 考点五 相关系数的计算 27．（2026·湖南岳阳·模拟预测）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 28．（2026·江西·模拟预测）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 29．（2026高三·全国·专题练习）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎．某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，．现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数．请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ 参考数据：，. 相关系数. 30．（2026高三·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 31．（2026高二·全国·课堂例题）为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L），空腹血糖GLU指标值（单位：mmol/L）如表所示： 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 GLU指标值z 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 用变量y与x，z与x的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度． 参考公式： 相关系数， 参考数据：，，，，，，，． 32．（2026高二·全国·课堂例题）现随机抽取某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如下表所示． 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有较强的线性相关关系？ 注：； 若，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系． 33．（2026高三·西藏拉萨·月考）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，， (1)求样本的相关系数；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题13 成对数据的统计相关性5种常见考法归类（33题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 相关关系与函数关系的辨析 考点二 判断两个变量是否有相关关系 考点三 判断正，负相关关系 考点四 相关系数的意义 考点五 相关系数的计算 知识点1 相关关系 1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 注：相关关系不是函数关系，函数关系是唯一确定的关系． 2．相关关系的分类 (1)按变量间的增减性分为正相关和负相关． ①正相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关，在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． ②负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关，在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)． ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；这条直线叫做回归直线. ②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关． 知识点2　相关关系的刻画 1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图． 2．样本相关系数 (1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度， 现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里一般用来衡量与的线性相关性强弱，我们称为变量和变量的样本相关系数. ①样本相关系数r的取值范围为[－1,1]． ②当时，称成对数据正相关；当时，称成对数据负相关. ③ 越接近于，两个变量的线性相关性越强； 接近于时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系. 注：通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 策略方法 一、相关关系与函数关系的辨析 1.核心定义 （1）函数关系：两个变量间是确定性关系，一个变量确定，另一个唯一确定； （2）相关关系：两个变量间有关联但不确定，一个变量确定，另一个不能被唯一确定。 2.两者区别 （1）函数关系：确定性、因果性、解析式可表示； （2）相关关系：非确定性、随机性、无严格解析式； （3）函数关系可看作理想的相关关系，相关关系是更普遍的现实关系。 3.判断步骤 （1）看是否有确定公式/法则； （2）看一个变量确定时，另一个是否唯一确定； （3）是→函数关系；否→相关关系或无关系。 4.常见实例 （1）函数关系：路程与速度时间、正方形面积与边长、球体积与半径； （2）相关关系：身高与体重、成绩与复习时间、气温与冷饮销量； （3）无关系：学号与成绩、肤色与身高。 二、判断两个变量是否具有相关关系 1.经验判断法 （1）依据生活常识、专业知识判断是否存在客观联系； （2）适用于概念题、选择题快速判断。 2.散点图判断法（直观核心方法） （1）绘制散点图，将每对数据描为直角坐标系中点； （2）若点大致分布在一条直线或曲线附近→具有相关关系； （3）若点杂乱无章、无规律→不具有相关关系。 3.相关系数判断法（精确方法） （1）计算样本相关系数； （2）若接近→强相关；接近→几乎无相关。 三、判断正相关与负相关 1.定义判断 （1）正相关：一个变量增大，另一个变量也增大； （2）负相关：一个变量增大，另一个变量减小。 2.散点图判断 （1）正相关：点从左下角→右上角分布； （2）负相关：点从左上角→右下角分布。 3.数据趋势判断 （1）看数据整体增减趋势是否同向； （2）同向→正相关；反向→负相关。 4.相关系数符号判断 （1）→正相关； （2）→负相关。 四、样本相关系数的意义与性质 1.定义与公式 （1）样本相关系数用于定量衡量线性相关强弱； （2）公式： 2.取值范围与含义 （1）； （2）越接近→线性相关性越强； （3）越接近→线性相关性越弱。 注：→很强的线性相关； 3.重要性质 （1）的符号与相关方向一致； （2）与变量单位无关，单位变换不改变； （3）去掉偏离过大的点，通常更接近； （4）→完全正相关；→完全负相关；→无线性相关。 五、高频易错点 1.把相关关系当成函数关系，误认为有确定公式； 2.只看个别点，忽略整体趋势判断相关性； 3.混淆正负相关的散点图方向； 4.认为就是“无任何关系”，忽略非线性相关； 5.计算相关系数时符号、平方、求和出错； 6.去掉异常点后，误判相关系数变化方向。 考点一 相关关系与函数关系的辨析 1．（2026高二·全国·课后作业）下面变量之间是相关关系的是（   ） A．出租车费与行驶的里程 B．正方形面积与边长 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 【答案】C 【分析】根据相关关系的概念逐项判断即可. 【详解】由相关关系可知C选项是相关关系，ABD选项都是函数关系. 故选：C. 2．（2026高二·全国·课堂例题）下列两个变量之间，是相关关系的有（    ） ①角度与它的余弦值；②人的体重与视力；③正n边形的边数和它的内角度数之和；④圆心角的大小与所对的圆弧长；⑤光照时间和果树亩产量；⑥收入水平与购买能力；⑦正方体的棱长与体积． A．①④⑥ B．②⑤⑥⑦ C．⑤⑥ D．③⑤⑦ 【答案】C 【分析】根据相关关系的概念判断即可. 【详解】①③④⑦是函数关系；②没有关系；⑤⑥是相关关系． 故选：C 3．（2026高二·全国·课堂例题）下列关系中，属于相关关系的是________．（填序号） ①扇形的半径与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 【答案】②④ 【分析】利用相关关系的定义求解. 【详解】在①中，扇形的半径与面积之间的关系是函数关系； 在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系； ③为确定的函数关系； 在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 故答案为：②④. 4．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 【答案】AC 【分析】根据相关关系与函数关系的概念，可得答案. 【详解】汽车的重量越大，百公里耗油量会越多．一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多． 可得A、C是相关关系．B是函数关系．D中家庭的经济条件与学生的学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系． 故选：AC. 5．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列两个变量之间的关系，是函数关系的有（    ） A．球的体积和它的半径 B．人的身高和体重 C．底面积为定值的长方体的体积和高 D．城镇居民的消费水平和平均工资 【答案】AC 【分析】根据函数的概念及相关关系的特征进行判断. 【详解】球的体积公式为，长方体的体积，都是确定的关系， 因此A、C中两个变量为函数关系，而B、D中的两个变量，不是函数关系而是相关关系. 故选：AC. 考点二 判断两个变量是否有相关关系 6．（2026高二·全国·专题练习）在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（    ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 【答案】D 【分析】根据函数关系和相关关系的概念，结合图象作出判断. 【详解】对于①，所有的点都在曲线上，具有函数关系； 对于②，所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系： 对于③，所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系； 对于④，所有的散点杂乱无章，不具有相关关系， 故选：D． 7．（2026高二·宁夏固原·月考）下图中的两个变量，具有相关关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相关关系的概念逐项分析判断. 【详解】相关关系是一种非确定性关系. 对于A、C：两个变量具有函数关系，是一种确定性关系，故A、C错误； 对于D：图中的散点分布没有什么规律，故两个变量之间不具有相关关系，故D错误； 对于B：图中的散点分布在从左下角区域到右上角区域，两个变量具有相关关系，故B正确； 故选：B. 8．（2026高二·全国·专题练习）如图所示的两个变量不具有相关关系的有________．（填序号） 【答案】①④ 【分析】根据相关关系逐项分析判断. 【详解】对于①：图中是确定的函数关系； 对于②：图中的点大都分布在一条曲线周围，是相关关系； 对于③：中的点大都分布在一条直线周围，是相关关系； 对于④：中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系． 故答案为：①④. 9．（2026高三·湖南岳阳·开学考试）在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（    ） A．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B．图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C．图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D．图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 【答案】C 【分析】根据散点图中点集的分布变化趋势判断正负相关性、是否为线性关系，但从点的分布密度无法判断（2）（3）的相关性强弱，即可得答案. 【详解】由题图，（1）中点没有明显的变化趋势， （2）中点有从左下向右上的线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为线性关系， （3）中点有从左上向右下的线性变化趋势，y和x之间呈现负相关且为线性关系， （4）中点有从左下向右上的非线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为非线性关系， 但（2）（3）相关性强弱不能从图中点的分布密度直接分析得出，故（2）的相关性不一定比（3）强， 综上，A、B、D对，C错. 故选：C 10．（2026高二·江苏·课前预习）判断以下两个变量之间是否具有相关关系？ (1)正方形的面积与其周长之间的关系； (2)父母的身高与子女的身高之间的关系； (3)学生的学号与身高； (4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系. 【答案】(1)不具有 (2)具有 (3)不具有 (4)不具有 【分析】根据题意，由相关关系的定义，逐一判断，即可得到结果. 【详解】（1）设正方形的面积为S，周长为C，则， 即正方形的面积由其周长唯一确定，因此二者是函数关系，不是相关关系； （2）子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有关， 即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此二者之间具有相关关系； （3）学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系； （4）若汽车匀速行驶时的速度为v，行驶的路程为s，时间为t，则有， 因此当速度一定时，路程由时间唯一确定，二者之间具有函数关系，而不是相关关系. 考点三 判断正，负相关关系 11．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）以下两个变量呈负相关的是（   ） A．学生的学籍号与学生的数学成绩 B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数 C．气温与冷饮销售量 D．变量和变量对应的成对数据关于均值平移后的散点大多数分布在第二象限、第四象限，则变量和变量是负相关 【答案】BD 【分析】A选项，无相关关系；B选项，具有负相关关系；C选项，具有正相关关系；D选项，由题意得到与具有负相关关系，不妨设，，得到，，所以变量和变量具有负相关关系，D正确. 【详解】A选项中学生的学籍号与学生的数学成绩，两个变量无相关关系； B选项中坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数，两个变量具有负相关关系； C选项中气温与冷饮销售量，两个变量具有正相关关系； D选项中成对数据，以为零点平移， 即均值平移后的散点坐标为， 由于大多数分布在第二象限，第四象限， 故与具有负相关关系，不妨设，， 则，， 则变量和变量具有负相关关系，D正确． 综上可知，两个变量呈负相关的是B，D． 故选：BD 12．（2026高二·重庆·期末）下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有负相关关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图的特征得到答案. 【详解】A中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性； B中呈正相关关系，C中两个变量具有负相关关系； D中两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关. 故选：C． 13．（2026高二·全国·课后作业）下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由正、负相关的概念逐项判断即可. 【详解】从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关． 结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个． 故选：B 14．（2026高二·全国·课后作业）观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是______．    【答案】①③② 【分析】由图象分析即可得到答案. 【详解】第一个图大体趋势从左向右上升，故是正相关， 第二个图不相关， 第三个图大体趋势从左向右下降，故是负相关． 故答案为：①③②． 15．（2026高二·全国·课后作业）变量与相对应的一组数据为，，，，；变量与相对应的一组数据为，，，，.则变量与之间______相关，变量与______相关. 【答案】 正 负 【分析】通过相关系数的知识确定正确答案. 【详解】对于变量与而言，随的增大而增大，故变量与正相关； 对于变量与而言，随的增大而减小，故变量与负相关. 故答案为：①正 ；②负 16．（2026高三·全国·专题练习）某公司2018-2023年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x/百万元 12.2 14.6 16.0 18.0 20.4 22.3 y/百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，年利润中位数（    ） A．是16，x与y有正线性相关关系 B．是17，x与y有正线性相关关系 C．是17，x与y有负线性相关关系 D．是18，x与y有负线性相关关系 【答案】B 【分析】根据数据分析可直接得出结论. 【详解】由题意，利润中位数是， 而且随着利润x的增加，广告支出y也在增加，故x与y有正线性相关关系． 故选：B． 17．（2026高二·广西桂林·期末）根据如下两组数据，下列说法正确的是（    ） 5 6 7 8 9 10 Y 5 4.8 3.5 4 3 2 2 4 6 7 9 3 4 9 7 11 A．和呈正相关，和呈正相关 B．和呈负相关，和呈负相关 C．和呈正相关，和呈负相关 D．和呈负相关，和呈正相关 【答案】D 【分析】由正、负相关的概念得解. 【详解】由所给数据可知，当增大时减小，和呈负相关；当增大时和增大，和呈正相关. 故选：D 18．【多选】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（   ） A．年我国粮食产量逐年增加 B．年我国粮食产量的中位数为万吨 C．年我国粮食产量的极差为万吨 D．年我国粮食产量与年份负相关 【答案】AB 【分析】利用条形图结合中位数、极差以及相关性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，年我国粮食产量逐年增加，A正确． 对于B选项，年我国粮食产量的中位数为万吨，B正确． 对于C选项，年我国粮食产量的极差为万吨，C错误． 对于D选项，年我国粮食产量与年份正相关，D错误． 考点四 相关系数的意义 19．（2026·天津河西·模拟预测）某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据，（），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5组数据的样本相关系数为r.若去掉点后，剩余4组数据的样本相关系数为，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以去掉点后，回归效果更好，结合相关系数的性质判断． 【详解】从散点图中可知，样本数据的两变量是正相关， 由于点较其他点偏离程度大，删除点后，回归效果更好， 从而相关系数的绝对值更接近于1，所以 20．（2026高三·上海·月考）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 21．（2026·四川·模拟预测）对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图及相关系数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由图1和图2可得，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以，所以，故B正确； 因为图1的数据点比图2的更集中，所以， 所以，，故A错误，C正确； ，故D正确. 22．（2026高三·青海西宁·月考）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的样本相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】因为， 所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 23．（2026高二·陕西渭南·期末）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，则线性相关程度最强的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】D 【分析】根据相关系数的性质即可得到答案. 【详解】相关系数的绝对值越大，则其相关程度越强， 又因为，所以线性相关程度最强的是丁组. 故选：D. 24．（2026高三·上海虹口·月考）分别对、、三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为、，，则、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为________． 【答案】 【详解】已知三组相关系数的绝对值为：，，， ， 、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为． 25．（2026高三·上海·月考）下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据线性相关系数的性质与线性相关程度判断即可. 【详解】由散点图可得，随着最低气温的升高，最高气温也升高，所以最低气温和最高气温成正相关，故. 因温差最高气温最低气温，由图知，随着最低气温不断升高，最高气温升高幅度相对较小， 故温差逐渐减小，即最低气温和温差成负相关，故. 由散点图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱， 根据线性相关系数的性质，值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.由上分析，可得. 26．（2026高二·上海·月考）通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】B 【详解】改变变量的单位，线性相关系数不变，C、D错； 去除A点后，线性相关程度变高， 因为是负相关，所以线性相关系数变小，故A错误、B正确. 考点五 相关系数的计算 27．（2026·湖南岳阳·模拟预测）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 【答案】(1)；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 (2)分布列见解析；期望：1.8 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1），， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 28．（2026·江西·模拟预测）随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . (1)求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 【答案】(1)，具有很强的正相关性 (2) 0 1 2 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额（单位：万元）和月份编号具有很强的正相关性； （2）由题意得：的可能取值为0，1，2， 18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 29．（2026高三·全国·专题练习）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎．某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，．现有①和②两种模型作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中均为常数．请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ 参考数据：，. 相关系数. 【答案】模型②的拟合程度更好 【分析】比较相关系数的大小即可得到结论. 【详解】设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. 30．（2026高三·贵州贵阳·月考）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 【答案】(1)，很强的线性正相关关系 (2) X 80 150 210 P 【详解】（1）由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 31．（2026高二·全国·课堂例题）为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L），空腹血糖GLU指标值（单位：mmol/L）如表所示： 人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 GLU指标值z 6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 用变量y与x，z与x的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度． 参考公式： 相关系数， 参考数据：，，，，，，，． 【答案】答案见解析 【分析】根据相关系数的计算结果来判断变量之间的相关性. 【详解】由题意，变量与的相关系数， 变量与的相关系数是， 可以看出TC指标值与BMI值，GLU指标值与BMI值都是高度正相关． 32．（2026高二·全国·课堂例题）现随机抽取某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x与入学后第一次考试的数学成绩y如下表所示． 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有较强的线性相关关系？ 注：； 若，则我们可以认为y与x之间具有较强的线性相关关系． 【答案】这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系 【分析】根据线性相关关系的概念，以及相关系数计算公式，求出相关系数，判断两组数据是否具有线性相关关系即可. 【详解】由题意知， ， ， ，，． 所以样本相关系数． ，故我们可以认为与之间具有较强的线性相关关系． 即这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系． 33．（2026高三·西藏拉萨·月考）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，， (1)求样本的相关系数；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解； （2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可. 【详解】（1），， 故样本相关系数 . （2）X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. $