21.2 平行四边形的性质 分层练习 2025--2026学年冀教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形性质，以“基础概念→性质应用→综合拓展”分层，覆盖定义、边、角、对角线等核心考点，通过选择、填空、解答、证明题梯度提升，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念|定义、对称性|以选择填空为主，如对角线互相平分判定，强化概念辨析| |性质应用|对边、对角、对角线性质|结合计算（边长、角度、坐标），如利用对边平行求周长，提升运算能力| |综合拓展|性质综合证明与动态问题|含证明题（如AE=CF）及最小值问题，发展逻辑推理与模型意识|

冀教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形的性质 分层练习 平行四边形的定义及对称性 1、如图，▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积是（　） A.12 B.16 C.24 D.32 2、平行四边形具有的性质是（　　） A.四边相等 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.四个角都是直角 3、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点      ． 4、如图，▱ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣，1），点B的坐标为（﹣1，﹣1），求BC的长． 利用平行四边形的对边平行且相等求边长 1、如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，过点C作CF⊥DE，垂足为点F，若CF＝BE＝6，DE＝16，则AD的长为（　　） A.16 B.14 C.13 D.8 2、如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，连接AF，CE，已知AF∥CE，且BE＝4，BD＝13，则EF的长度为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 3、如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A.12 B.16 C.24 D.36 4、如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E．若AE＝1.5，CD＝3.5，则BC的长为    ． 5、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为   ． 6、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．若BE＝4，AB＝5，求CF． 7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是CD边的中点，延长AE交BC的延长线于点F．若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长． 利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积 1、如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（　　） A.8 B.6 C.9 D.10 2、如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则▱ABCD的周长为（　　） A.16 B.14 C.10 D.8 3、如图，在▱ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC，AD于E，F．已知△CDE的周长为5，则▱ABCD的周长为         ． 4、如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，则▱ABCD的周长为         ． 5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F． （1）求证：BF＝CD； （2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 6、如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长． 利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标 1、如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝5，点B的坐标是（　　） A.（2，4） B.（2，﹣4） C.（4，2） D.（4，﹣2） 2、如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（　　） A.112° B.118° C.119° D.120° 3、如图，O为原点，▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），则点D的坐标为（　　） A.（5，5） B.（4，5） C.（5，4） D.（4，4） 4、在▱ABCD中，E为BC边上一点，AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠ACB＝        度． 5、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，A（0，2），B（1，0），BC＝4，将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标为                               ． 6、如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 利用平行四边形的对角相等解决问题 1、如图，在▱ABCD中，若∠A＝70°，则∠C的度数是（　　） A.70° B.110° C.120° D.140° 2、在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（　　） A.20° B.40° C.60° D.70° 3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，若∠D＝40°，则∠F的度数是（　　） A.30° B.40° C.50° D.70° 4、如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE＝            °． 5、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论： ①∠CAD＝30° ②S▱ABCD＝AB•AC ③OB＝AB ④OE＝BC 成立的有               （把所有正确结论的序号都填在横线上） 6、如图，▱ABCD中，∠DAB为钝角，AD＝1，AB＝，且▱ABCD的面积为1．求▱ABCD各内角的度数． 利用平行四边形的对角线互相平分求解 1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（　　） A.2 B. C. D.4 2、如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，已知AC+BD＝14，CD＝5，则△AOB的周长为（　　） A.11 B.12 C.13 D.15 3、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝3，△BOC的周长为7，则AC+BD＝            ． 4、如图▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝2：3． （1）求AC的长； （2）求▱ABCD的面积． 5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝90°，AB＝OB＝2，求线段OC的长度． 综合应用平行四边形的性质求解 1、如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，且OE＝4，AB＝5，BC＝9，则四边形EFCD的周长是（　　） A.13 B.1 C.22 D.18 2、在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（　　） A.50° B.80° C.100° D.130° 3、如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠BAE的度数为（　　） A.50° B.55° C.60° D.65° 4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为       ． 5、如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，若AB＝6，则OE＝      ． 6、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12． （1）求EF的长； （2）求▱ABCD边AB上的高． 综合应用平行四边形的性质证明 1、如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A.AD∥BC B.AB＝DC C.AO＝CO D.BA＝BO 2、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A.AO＝BO B.∠ABC＝∠ADC C.∠BAC＝∠ADC D.AC＝BD 3、如图，在▱ABCD中，AB＝2BC，∠BCD＝60°，对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线交AB于点E，连接OE．下列结论： ①DB平分∠CDE； ②OE垂直平分BD； ③； ④S△AOB＝2OE•OB． 其中正确的是         （写出所有正确结论的序号）． 4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE． （1）若∠AOE＝52°，求∠ACB的度数； （2）求证：AE＝CF． 冀教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形的性质 分层练习（参考答案） 1平行四边形的定义及对称性 1、如图，▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积是（　） A.12 B.16 C.24 D.32 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点O是对角线AC，BD的交点， ∴四边形ABCD是中心对称图形，OB＝OD， ∴S△CON＝S△AOM，S△ABD＝S△CBD， ∵S△AOD＝S△AOM+S△DOM＝2+4＝6， ∴S△AOB＝S△AOD＝6， ∴S△ABD＝S△AOB+S△AOD＝12， ∴S▱ABCD＝2S△ABD＝24， 故选：C． 2、平行四边形具有的性质是（　　） A.四边相等 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.四个角都是直角 【答案】C 【解析】平行四边形的对角线互相平分． 故选：C． 3、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点      ． 【答案】是点C． 【解析】在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点是点C， 故答案为：是点C． 4、如图，▱ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣，1），点B的坐标为（﹣1，﹣1），求BC的长． 【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC， 又∵点O为坐标原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵点A的坐标为（﹣，1）， ∴C点坐标为（，﹣1）， ∵B（﹣1，﹣1）， ∴BC＝+1． 2利用平行四边形的对边平行且相等求边长 1、如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，过点C作CF⊥DE，垂足为点F，若CF＝BE＝6，DE＝16，则AD的长为（　　） A.16 B.14 C.13 D.8 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CED， ∵∠ADC的平分线交BC于点E， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CE＝CD， ∵CF⊥DE， ∴， ∴， ∴AD＝BC＝BE+CE＝16， 故选：A． 2、如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，连接AF，CE，已知AF∥CE，且BE＝4，BD＝13，则EF的长度为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵AF∥CE， ∴∠AFB＝∠CED， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（AAS）， ∴BF＝DE， ∴BE＝DF＝4， ∴EF＝BD﹣BE﹣DF＝13﹣4﹣4＝5． 故选：C． 3、如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A.12 B.16 C.24 D.36 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3， ∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°， ∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠DCE＝∠BCE＝∠DCB， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE＝（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴AE＝AB＝3，DE＝DC＝3，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°， ∴BC＝AD＝AE+DE＝3+3＝6， ∴CE2+BE2＝BC2＝62＝36， 故选：D． 4、如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E．若AE＝1.5，CD＝3.5，则BC的长为    ． 【答案】5． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝3.5， ∴∠E＝∠ECD， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠ECD， ∴∠E＝∠BCE， ∴BE＝BC， ∵BE＝AE+AB＝1.5+3.5＝5， ∴BC＝BE＝5． 故答案为：5． 5、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE＝DF，则AE+CF的最小值为   ． 【答案】． 【解析】如图，延长BC到点H，使CH＝CD，连接EH，AH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AD∥BC， ∴∠D＝∠ECH， 在△CDF和△HCE中， ， ∴△CDF≌△HCE（SAS）， ∴CF＝HE， ∴AE+CF＝AE+HE， 当A、E、H不共线时，AE+HE＞AH， 当A、E、H共线时，AE+HE＝AH， ∴AE+HE的最小值为AH， 即AE+CF的最小值为AH， 过点A作AG⊥BC于点G， ∴∠AGB＝∠AGH＝90°， ∵∠B＝60°， ∴∠BAG＝30°， ∴BG＝AB＝2， ∴AG＝＝＝2， ∵CD＝CH＝4， ∴BH＝BC+CH＝9， ∴BH＝BC﹣BG＝7， ∴AH＝＝， 即AE+CF的最小值为， 故答案为：． 6、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．若BE＝4，AB＝5，求CF． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， 又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， 在△AED和△CFB中， ， ∴△AED≌△CFB （AAS）． ∴AE＝CF； 在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°， ∴AE2＝AB2﹣BE2＝52﹣42＝9， 又∵AE＞0， ∴AE＝3． ∴CF＝AE＝3． 7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是CD边的中点，延长AE交BC的延长线于点F．若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠F， ∵点E是CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△AED和△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（AAS）， ∴AD＝FC． ∵CD∥AB，∠BAF＝90°， ∴∠CEF＝∠BAF＝90°， ∵AD＝FC，且AD＝BC＝5， ∴FC＝5， ∵EF＝3， ∴CE＝＝＝4， ∴CD＝2CE＝2×4＝8， ∴CD的长为8． 3利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积 1、如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（　　） A.8 B.6 C.9 D.10 【答案】A 【解析】∵AC的垂直平分线交AD于E， ∴AE＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5， ∴△CDE的周长是：DE+DE+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8． 故选：A． 2、如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则▱ABCD的周长为（　　） A.16 B.14 C.10 D.8 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝3， ∴∠DEA＝∠BAE， ∵AE平分∠BAD交CD于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE＝3， ∴CD＝DE+CE＝5， ∴AB＝CD＝5， ∴▱ABCD的周长为AD+AB+BC+CD＝3+5+3+5＝16． 故选：A． 3、如图，在▱ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC，AD于E，F．已知△CDE的周长为5，则▱ABCD的周长为         ． 【答案】10． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，AD＝BC， ∵BD的中垂线EF分别交AD、BC于点E、F， ∴BE＝DE， ∴△CDE的周长＝CD+CE+ED＝AB+CE+BE＝AB+BC＝5， ∴▱ABCD的周长＝2×5＝10， 故答案为：10． 4、如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AE，BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，则▱ABCD的周长为         ． 【答案】14． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠F， ∵点E是边CD的中点， ∴DE＝CE＝2， ∴CD＝2CE＝4， 在△AED和△FEC中， ， ∴△AED≌△FEC（AAS）， ∴AD＝CF＝3， ∴AD+BC+AB+CD＝2AD+2CD＝2×3+2×4＝14， ∴▱ABCD的周长为14， 故答案为：14． 5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F． （1）求证：BF＝CD； （2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠FAD＝∠AFB， 又∵AF平分∠BAD， ∴∠FAD＝∠FAB． ∴∠AFB＝∠FAB． ∴AB＝BF， ∴BF＝CD； （2）解：∵由（1）知：AB＝BF， 又∵∠BFA＝60°， ∴△ABF为等边三角形， ∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°， ∵BE⊥AF， ∴点E是AF的中点． ∵AB＝BF＝4， ∴EF＝2，BF＝4， 在Rt△BEF中，∠BFA＝60°， ∴BE＝， ∴△ABF的面积＝4×2＝4， ∵四边形BACD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠DCF，∠DAE＝∠F， ∵AE＝EF， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴平行四边形ABCD的面积＝△ABF的面积＝4． 6、如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE． （1）求证：AE平分∠BAD； （2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝5，求平行四边形ABCD的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 即AB∥DF， ∴∠BAE＝∠F， ∵AD＝DF， ∴∠DAE＝∠F， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴AE平分∠BAD； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AD＝5， ∴BC＝5， ∵E为BC的中点， ∴BE＝BC＝×5＝， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴△ABE为等腰三角形， 又∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE＝， ∴CD＝AB＝， ∴平行四边形ABCD的周长为2AD+2AB＝2×5+2×＝15． 4利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标 1、如图，四边形OABC是平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2），OC＝5，点B的坐标是（　　） A.（2，4） B.（2，﹣4） C.（4，2） D.（4，﹣2） 【答案】C 【解析】∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC，AB＝OC， ∵A（﹣1，2），点C在x轴上且OC＝5， ∴xB＝﹣1+5＝4，yB＝yA＝2， ∴B（4，2）， 故选：C． 2、如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（　　） A.112° B.118° C.119° D.120° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣56°＝124°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝124°÷2＝62°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC+∠BED＝180°， ∴∠BED＝180°﹣∠EBC＝180°﹣62°＝118°， 故选：B． 3、如图，O为原点，▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），则点D的坐标为（　　） A.（5，5） B.（4，5） C.（5，4） D.（4，4） 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1）， ∴BC＝0﹣（﹣5）＝5， ∴AD＝5， ∵A（0，4）， ∴点D的坐标为（5，4）， 故选：C． 4、在▱ABCD中，E为BC边上一点，AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，则∠ACB＝        度． 【答案】35． 【解析】四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ACD＝∠BAC， ∵AE平分∠DAB， ∴∠EAB＝∠EAD， ∴∠EAB＝∠AEB， ∴BA＝BE． ∵AB＝AE， ∴AB＝BE＝AE ∴△ABE是等边三角形， ∴∠B＝∠BAE＝∠AEB＝60°， ∵∠EAC＝25°， ∴∠ACB＝∠AEB−∠CAE＝60°−25°＝35°． 故答案为：35． 5、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，A（0，2），B（1，0），BC＝4，将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标为                               ． 【答案】（3，﹣3）或（﹣1，3）． 【解析】如图，连接BD，过点D作DE⊥BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵A（0，2），B（1，0），BC＝4， ∴AD＝BC＝4， ∴点D（4，2）， ∴DE＝2，BE＝3， 若将平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转90°，过点D'作D'F⊥BC于F， ∴BD＝BD'，∠DBD'＝90°＝∠DEB＝∠D'FB， ∴∠DBE+∠D'BE＝90°＝∠DBE+∠BDE， ∴∠BDE＝∠D'BE， ∴△DBE≌△BD'F（AAS）， ∴DE＝BF＝2，D'F＝BE＝3， ∴点D'（3，﹣3）， 若将平行四边形ABCD绕点B逆时针旋转90°，过点D''作D''N⊥BC于N， 同理可求D''（﹣1，3）， 故答案为：（3，﹣3）或（﹣1，3）． 6、如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）若AD＝AE，∠DAE＝100°，求∠DFC的度数 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BF＝DE， ∴BE＝DF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：∵AD＝AE， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝180°﹣40°＝140°， ∵△ABE≌△CDF， ∴∠DFC＝∠AEB＝140°． 5利用平行四边形的对角相等解决问题 1、如图，在▱ABCD中，若∠A＝70°，则∠C的度数是（　　） A.70° B.110° C.120° D.140° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A＝70°， ∴∠C＝70°． 故选：A． 2、在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（　　） A.20° B.40° C.60° D.70° 【答案】D 【解析】如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A+∠C＝140°， ∴2∠C＝140°， ∴∠C＝70°， 故选：D． 3、如图，E是平行四边形ABCD的边BC上一点，且AB＝BE，连接AE并延长，与DC的延长线交于点F，若∠D＝40°，则∠F的度数是（　　） A.30° B.40° C.50° D.70° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝40°， ∴∠B＝D＝40°， ∵AB＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴∠BAE+∠BEA＝2∠BAE＝180°﹣40°＝140°， ∴∠BAE＝70°， ∵DC∥AB， ∴∠F＝∠BAE＝70°， 故选：D． 4、如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE＝            °． 【答案】20． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A＝70°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°， 故答案为：20． 5、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论： ①∠CAD＝30° ②S▱ABCD＝AB•AC ③OB＝AB ④OE＝BC 成立的有               （把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①②④ 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE， ∵AB＝BC， ∴AE＝BC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝30°，故①正确； ∵AC⊥AB， ∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确， ∵AB＝BC，OB＝BD， ∵BD＞BC， ∴AB≠OB，故③错误； ∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE， ∴BE＝CE， ∵OA＝OC， ∴OE＝AB， ∵AB＝BC， ∴OE＝BC．故④正确． 故答案为：①②④． 6、如图，▱ABCD中，∠DAB为钝角，AD＝1，AB＝，且▱ABCD的面积为1．求▱ABCD各内角的度数． 【答案】解：过点D作DE⊥BA交BA延长线于E，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝DE， ∴DE＝1， ∴DE＝， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝＝， ∴DE＝AE， ∴△AED是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝45°， ∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD＝135°，∠ADC＝∠ABC＝45°. 6利用平行四边形的对角线互相平分求解 1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（　　） A.2 B. C. D.4 【答案】D 【解析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示： 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝4， ∴AC＝4， ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC＝2， ∴OP′＝2， 当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小， ∴PQ的最小值＝2OP′＝4． 故选：D． 2、如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，已知AC+BD＝14，CD＝5，则△AOB的周长为（　　） A.11 B.12 C.13 D.15 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO＝CO，BO＝DO， ∴AO+BO＝（AC+BD）＝7， 又∵CD＝AD＝BC＝5， ∴三角形AOB的周长等于AO+BO+AB， ∵AB＝CD＝5， ∴三角形AOB的周长＝AO+BO+AB＝7+5＝12． 故选：B． 3、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝3，△BOC的周长为7，则AC+BD＝            ． 【答案】8． 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵△BOC的周长为7， ∴OB+OC+BC＝7， ∵BC＝3， ∴OB+OC＝4， ∴AC+BD＝2（OB+OC）＝8， 故答案为：8． 4、如图▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝2：3． （1）求AC的长； （2）求▱ABCD的面积． 【答案】解：（1）∵AC⊥AB， ∴∠BAO＝90°， ∵AO：BO＝2：3， ∴设AO＝2a，BO＝3a， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO＝4a， 在Rt△BAO中，由勾股定理得：22+（2a）2＝（3a）2， 解得：a＝， ∴AC＝4a＝； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AB， ∴▱ABCD的面积是AB•AC＝2×＝． 5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝90°，AB＝OB＝2，求线段OC的长度． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO， ∵∠ABD＝90°，AB＝OB＝2， ∴AO＝＝＝2， ∴OC＝2． 7综合应用平行四边形的性质求解 1、如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，且OE＝4，AB＝5，BC＝9，则四边形EFCD的周长是（　　） A.13 B.1 C.22 D.18 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝5，AD∥BC，OB＝OD， ∴∠OED＝∠OFB，∠ODE＝∠OBF， ∴△OBF≌△ODE（AAS）， ∴OF＝OE＝4，DE＝BF， ∴四边形EFCD的周长＝EF+ED+CD+CF＝OE+OF+CD+BF+CF＝OE+OF+CD+BC＝4+4+5+9＝22， 故选：C． 2、在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠D等于（　　） A.50° B.80° C.100° D.130° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝100°， ∴∠A＝50°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝130°． 故选：D． 3、如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠BAE的度数为（　　） A.50° B.55° C.60° D.65° 【答案】D 【解析】在▱ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D＝50°． ∵AB＝CD，BE＝CD， ∴AB＝BE． ∴∠BAE＝∠BEA＝＝65°． 故选：D． 4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为       ． 【答案】2． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，CD＝AB＝， ∵OE⊥AC， ∴OE垂直平分AC， ∴CE＝AE＝2， ∵CE2+DE2＝22+12＝5，CD2＝（）2＝5， ∴CE2+DE2＝CD2， ∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AC＝＝＝2， 故答案为：2． 5、如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，若AB＝6，则OE＝      ． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD＝6， ∵E，O是AD，AC的中点， ∴， ∴OE＝3． 故答案为：3． 6、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交边AB，DC于点E，F，连结AF，CE．若AE＝13，OA＝12． （1）求EF的长； （2）求▱ABCD边AB上的高． 【答案】解：（1）∵EF⊥AC，AE＝13，OA＝12， ∴． ∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OD＝OB，DC∥BA， ∴∠FDO＝∠EBO． 又∵∠FOD＝∠EOB， ∴△FDO≌△EBO（ASA）， ∴FO＝EO， ∴EF＝2EO＝10． （2）如图，过点F作FH⊥AB于点H， ∵， 即， ∴▱ABCD边AB上的高． 8综合应用平行四边形的性质证明 1、如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　） A.AD∥BC B.AB＝DC C.AO＝CO D.BA＝BO 【答案】D 【解析】∵在▱ABCD中，AC与BD相交于点O， ∴AD∥BC，故选项A正确，不符合题意． AB＝DC，故选项B正确，不符合题意． AO＝CO，故选项C正确，不符合题意． BA和BO不一定相等，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 2、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A.AO＝BO B.∠ABC＝∠ADC C.∠BAC＝∠ADC D.AC＝BD 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∴选项A、C、D不正确，B正确； 故选：B． 3、如图，在▱ABCD中，AB＝2BC，∠BCD＝60°，对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线交AB于点E，连接OE．下列结论： ①DB平分∠CDE； ②OE垂直平分BD； ③； ④S△AOB＝2OE•OB． 其中正确的是         （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝60°， ∴AB∥CD，∠DAB＝∠DCB＝60°，∠ADC＝120°，AD＝BC，DO＝BO， ∴∠CDE＝∠AED， ∵DE平分∠ADB， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∵AB＝2BC， ∴AB＝2AD＝2AE， ∴AD＝AE＝BE， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE＝BE，∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠EBD＝∠EDB＝30°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CDB＝30°＝∠BDE， ∴DB平分∠CDE，故①正确； ∵DE＝BE，DO＝BO， ∴OE垂直平分BD；故②正确； ∵∠ABD＝30°， ∴DB＝AD， ∴DO＝AD， ∴AO＝＝AD＝DE，故③错误； ∵AE＝BE，DO＝BO， ∴AE＝2OE， ∴S△AOB＝OB•AD＝OB•OE，故④错误， 故答案为：①②． 4、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE． （1）若∠AOE＝52°，求∠ACB的度数； （2）求证：AE＝CF． 【答案】（1）解：∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°， ∵∠AOE＝52°， ∴∠EAO＝38°， ∵CA平分∠DAE， ∴∠DAC＝∠EAO＝38°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC＝38°； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴AE＝CF． 学科网（北京）股份有限公司 $