21.2 平行四边形的性质 强化训练2025-2026学年冀教版数学八年级下册

冀教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形的性质 强化训练（参考答案） 【题型1】利用平行四边形的对边平行且相等求边长 【典例】如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A.12 B.16 C.24 D.36 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3， ∴DC＝AB＝3，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBE，∠DEC＝∠DCE，∠ABC+∠DCB＝180°， ∵∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，点E恰好在AD边上， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠DCE＝∠BCE＝∠DCB， ∴∠AEB＝∠ABE，∠DEC＝∠DCE，∠CBE+∠BCE＝（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴AE＝AB＝3，DE＝DC＝3，∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝90°， ∴BC＝AD＝AE+DE＝3+3＝6， ∴CE2+BE2＝BC2＝62＝36， 故选：D． 【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，若BE＝2，CD＝3，则AD的长为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∴∠ADE＝∠CED， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠CED＝∠CDE， ∴CE＝CD， ∴AD＝BC＝BE+CE＝BE+CD＝2+3＝5， 故选：C． 【强化训练2】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，P是边AC上的一个动点，以BC为对角线作平行四边形BPCD，则DP的最小值为   ． 【答案】． 【解析】如图，过点B作BH⊥AC，交CA的延长线于H， ∵BH2＝AB2﹣AH2＝BC2﹣CH2， ∴100﹣AH2＝256﹣（10+AH）2， ∴AH＝， ∴BH＝＝＝， ∵四边形BPCD是平行四边形， ∴BD∥AC， ∵点D是BD上的点，点P是AC上的点， ∴DP的最小值为BH的长， ∴DP的最小值为， 故答案为：． 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E．若AE＝1.5，CD＝3.5，则BC的长为    ． 【答案】5． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝3.5， ∴∠E＝∠ECD， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠ECD， ∴∠E＝∠BCE， ∴BE＝BC， ∵BE＝AE+AB＝1.5+3.5＝5， ∴BC＝BE＝5． 故答案为：5． 【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．若BE＝4，AB＝5，求CF． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， 又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， 在△AED和△CFB中， ， ∴△AED≌△CFB （AAS）． ∴AE＝CF； 在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°， ∴AE2＝AB2﹣BE2＝52﹣42＝9， 又∵AE＞0， ∴AE＝3． ∴CF＝AE＝3． 【强化训练5】如图，点O为▱ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，交DA和BC的延长线于点G，H．若OG＝5，HF＝2，求OF的长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠OEB＝∠OFD， ∵O是BD的中点， ∴OB＝OD， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF． ∵CB∥AD， ∴∠H＝∠G， 在△BOH和△DOG中， ， ∴△BOH≌△DOG（AAS）， ∴OH＝OG＝5， ∴OF＝OH﹣HF＝5﹣2＝3， ∴OF的长是3． 【题型2】利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积 【典例】在▱ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，则▱ABCD的周长为（　　） A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD， ∵AB＝2cm，BC＝3cm， ∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（2+3）＝10（cm）． 故选：A． 【强化训练1】如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（　　） A.8 B.6 C.9 D.10 【答案】A 【解析】∵AC的垂直平分线交AD于E， ∴AE＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5， ∴△CDE的周长是：DE+DE+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8． 故选：A． 【强化训练2】如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则▱ABCD的周长为（　　） A.16 B.14 C.10 D.8 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝3， ∴∠DEA＝∠BAE， ∵AE平分∠BAD交CD于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE＝3， ∴CD＝DE+CE＝5， ∴AB＝CD＝5， ∴▱ABCD的周长为AD+AB+BC+CD＝3+5+3+5＝16． 故选：A． 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC，AD于E，F．已知△CDE的周长为5，则▱ABCD的周长为         ． 【答案】10． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，AD＝BC， ∵BD的中垂线EF分别交AD、BC于点E、F， ∴BE＝DE， ∴△CDE的周长＝CD+CE+ED＝AB+CE+BE＝AB+BC＝5， ∴▱ABCD的周长＝2×5＝10， 故答案为：10． 【强化训练4】如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F． （1）若∠F＝28°，求∠A的度数； （2）若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求▱ABCD的面积． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，CD＝AB，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBF，∠ABE＝∠F＝28°， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴∠AEB＝∠ABE＝28°， ∴AE＝AB，∠A＝（180°﹣28°﹣28°）＝124°； （2）∵AE＝AB＝5，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝3， ∵CE⊥AD， ∴CE＝＝＝4， ∴▱ABCD的面积＝AD•CE＝8×4＝32． 【强化训练5】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F． （1）求证：BF＝CD； （2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠FAD＝∠AFB， 又∵AF平分∠BAD， ∴∠FAD＝∠FAB． ∴∠AFB＝∠FAB． ∴AB＝BF， ∴BF＝CD； （2）解：∵由（1）知：AB＝BF， 又∵∠BFA＝60°， ∴△ABF为等边三角形， ∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°， ∵BE⊥AF， ∴点E是AF的中点． ∵AB＝BF＝4， ∴EF＝2，BF＝4， 在Rt△BEF中，∠BFA＝60°， ∴BE＝， ∴△ABF的面积＝4×2＝4， ∵四边形BACD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠DCF，∠DAE＝∠F， ∵AE＝EF， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴平行四边形ABCD的面积＝△ABF的面积＝4． 【题型3】利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标 【典例】如图，O为原点，▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），则点D的坐标为（　　） A.（5，5） B.（4，5） C.（5，4） D.（4，4） 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1）， ∴BC＝0﹣（﹣5）＝5， ∴AD＝5， ∵A（0，4）， ∴点D的坐标为（5，4）， 故选：C． 【强化训练1】如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（　　） A.112° B.118° C.119° D.120° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣56°＝124°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝124°÷2＝62°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC+∠BED＝180°， ∴∠BED＝180°﹣∠EBC＝180°﹣62°＝118°， 故选：B． 【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，A（0，2），B（1，0），BC＝4，将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标为                               ． 【答案】（3，﹣3）或（﹣1，3）． 【解析】如图，连接BD，过点D作DE⊥BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵A（0，2），B（1，0），BC＝4， ∴AD＝BC＝4， ∴点D（4，2）， ∴DE＝2，BE＝3， 若将平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转90°，过点D'作D'F⊥BC于F， ∴BD＝BD'，∠DBD'＝90°＝∠DEB＝∠D'FB， ∴∠DBE+∠D'BE＝90°＝∠DBE+∠BDE， ∴∠BDE＝∠D'BE， ∴△DBE≌△BD'F（AAS）， ∴DE＝BF＝2，D'F＝BE＝3， ∴点D'（3，﹣3）， 若将平行四边形ABCD绕点B逆时针旋转90°，过点D''作D''N⊥BC于N， 同理可求D''（﹣1，3）， 故答案为：（3，﹣3）或（﹣1，3）． 【强化训练3】在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），A（﹣4，0），则顶点C的坐标是               ． 【答案】（2，2）． 【解析】∵四边形OABC是平行四边形， ∴BC∥OA，BC＝OA， ∵A（﹣4，0）， ∴BC＝OA＝4， ∴C（﹣2+4，2），即C（2，2）， 故答案为：（2，2）． 【强化训练4】如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于F．若AB＝2BC，使∠B＝80°，求∠F的度数． 【答案】解：∵E是边CD的中点， ∴DE＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BF， ∴∠D＝∠DCF， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AD＝CF； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴AD＝BC＝FC， ∴BF＝2BC， ∵AB＝2BC， ∴BF＝AB，又∠B＝80°， ∴． 【题型4】利用平行四边形的对角相等解决问题 【典例】如图，▱ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠EAD＝35°，则∠B的度数为（　　） A.35° B.55 C.65° D.125° 【答案】B 【解析】∵∠EAD＝35°，AE⊥CD， ∴∠D＝55°， ∵▱ABCD， ∴∠B＝55°， 故选：B． 【强化训练1】如图，在▱ABCD中，若∠A＝70°，则∠C的度数是（　　） A.70° B.110° C.120° D.140° 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A＝70°， ∴∠C＝70°． 故选：A． 【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【解析】∵∠DBC＝45°，DE⊥BC， ∴∠DBE＝∠BDE＝45°， ∴BE＝DE， ∴BD＝BE，故①正确； ∵DE⊥BC，BF⊥CD， ∴∠BEH＝∠DEC＝90°， ∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C， ∴∠C＝∠BHE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正确； ∵∠C+∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠HBE， 在△BHE和△DCE中， ， ∴△BHE≌△DCE（ASA）， ∴BH＝CD＝AB，故③正确， 在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等， ∴△BCF与△DCE不全等，故④错误． 故选：B． 【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝134°，则∠A的度数是                ． 【答案】46°． 【解析】∵∠DCE＝134°， ∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣134°＝46°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠DCB＝46°， 故答案为：46°． 【强化训练4】如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE＝            °． 【答案】20． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A＝70°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°， 故答案为：20． 【强化训练5】如图1，在▱ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE． （1）若▱ABCD中BC边上的高为2，求AB的长． （2）若AB＝2，AE＝4，求BE的长． 【答案】解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H， ∴AH＝2， ∵平行四边形ABCD中，∠D＝45°， ∴∠B＝∠D＝45°， ∴AB＝AH＝2； （2）在▱ABCD中，∠D＝∠B＝45°，AB＝2， ∴AH＝BH＝2， ∵AE＝4， ∴EH＝＝＝2， ∴BE＝BH﹣EH＝2﹣2； 【强化训练6】如图，▱ABCD中，∠DAB为钝角，AD＝1，AB＝，且▱ABCD的面积为1．求▱ABCD各内角的度数． 【答案】解：过点D作DE⊥BA交BA延长线于E，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝DE， ∴DE＝1， ∴DE＝， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝＝， ∴DE＝AE， ∴△AED是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝45°， ∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DAB＝∠BCD＝135°，∠ADC＝∠ABC＝45°. 【题型5】利用平行四边形的对角线互相平分求解 【典例】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，连接BE．若▱ABCD的周长为20，则△ABE的周长为（　　） A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】B 【解析】∵在▱ABCD中，对角线相互平分， ∴O是BD中点， ∵OE⊥BD， ∴OE是线段BD的中垂线，即EB＝ED， ∴△ABE的周长为AB+BE+AE＝AB+DE+AE＝AB+AD， ∵▱ABCD的周长为20， ∴AB+AD＝10，即△ABE的周长为10， 故选：B． 【强化训练1】如图，点E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AC＝6，CE＝2，连接BE并延长至点F使得EF＝BE，连接DF，则DF的长为（　　） A.1 B.2 C.1.5 D.3 【答案】B 【解析】连接BD，交AC于点O，如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，， ∵BE＝EF， ∴OE是△BDF的中位线， ∴DF＝2OE， ∵AC＝6，CE＝2， ∴， ∴DF＝2OE＝2×1＝2． 故选：B． 【强化训练2】在平行四边形ABCD中，AB＝5，则对角线AC、BD的长度不可能为（　　） A.4、6 B.6、8 C.6、12 D.10、10 【答案】A 【解析】如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BC＝2BO， ∵OA+OB＞AB＝5， ∴对角线AC、BD的长度不可能为4和6， 故选：A． 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为         ． 【答案】． 【解析】如图， ∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2， ∴AC＝＝2， 在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OC＝， 在Rt△OAB中， OB＝＝， 又AH⊥BD， ∴OB•AH＝OA•AB，即＝， 解得AH＝． 故答案为：． 【强化训练4】如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，，AC＝4，BD＝8，则AE的长为        ． 【答案】． 【解析】∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8， ∴，， ∵， ∴AO2+AB2＝4+12＝16＝BO2， ∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°， ∴， ∵AE⊥BC，垂足为E， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【强化训练5】已知：▱ABCD的周长为18cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长小5cm，求这个平行四边形各边的长． 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O， ∴OB＝OD． 由题意可得： AB+AD＝9cm①， AD﹣AB＝5cm②， 联立①②，解得AB＝2cm． 在平行四边形ABCD中，AB＝CD＝2cm，AD＝BC＝7cm． 答：这个平行四边形各边的长分别为：AB＝CD＝2cm，AD＝BC＝7cm． 【强化训练6】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4． （1）求∠BAC的度数： （2）求▱ABCD的面积． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵AC＝6，BD＝10， ∴AO＝3，BO＝5， ∵AB＝4， ∴AB2+AO2＝OB2， ∴∠BAC＝90°； （2）▱ABCD的面积＝AB×AC＝4×6＝24． 【题型6】综合应用平行四边形的性质求解 【典例】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（　　） A.8 B.10 C.16 D.20 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC， ∵OE⊥AC， ∴AE＝CE， ∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8． ∵平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD）， ∴▱ABCD的周长为16， 故选：C． 【强化训练1】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（　　） A.8 B.9 C.10 D.18 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为18， ∴AB+AD＝9， ∵OE⊥BD， ∴OE是线段BD的中垂线， ∴BE＝ED， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝9， 故选：B． 【强化训练2】如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，若AB＝6，则OE＝      ． 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD＝6， ∵E，O是AD，AC的中点， ∴， ∴OE＝3． 故答案为：3． 【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任意作直线分别交AB、CD于点E、F．若CD＝10，AD＝8，OE＝3，求四边形AEFD的周长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）； ∴CF＝AE，OE＝OF， ∴DF+AE＝AB＝CD＝10， 又∵EF＝2OE＝6， ∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+AE+EF＝8+10+6＝24． 【题型7】综合应用平行四边形的性质证明 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，下列说法一定正确的是（　　） A.AC＝BD B.AC⊥BD C.AO＝CO D.CO＝OB 【答案】C 【解析】由平行四边形的性质： 边：平行四边形的对边相等． 角：平行四边形的对角相等． 对角线：平行四边形的对角线互相平分， 可知选项C是正确的． 故选：C． 【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，AG⊥BC于G，CF⊥AB于F，AG、CF交于H，CF、DA的延长线交于E，给出下列结论：①；②∠D＝∠CHG；③CH＝CD；④若点F是AB的中点，则；其中正确的结论有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【解析】①∵AG⊥BC， ∴∠AGC＝90°， ∵∠ACB＝45°， ∴△ACG是等腰直角三角形， ∴AG＝CG， ∴AC＝＝＝AG， ∴AC＝CG，故①错误； ②∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AB∥CD， ∵AG⊥BC，CF⊥AB， ∴AG⊥AD，CF⊥CD， ∴∠DAH＝∠DCH＝90°， ∴∠D+∠AHC＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵∠CHG+∠AHC＝180°， ∴∠D＝∠CHG，故②正确； ③∵∠B＝∠D， ∴∠CHG＝∠B， ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠CGH＝90°， 又∵CG＝AG， ∴△CHG≌△ABG（AAS）， ∴CH＝AB， ∴CH＝CD，故③正确； ④如图，连接BH， ∵△CHG≌△ABG， ∴HG＝BG， ∵∠AGB＝90°， ∴△BGH是等腰直角三角形， ∴BH＝BG， ∵点F是AB的中点，CF⊥AB， ∴AH＝BH＝BG， ∵BG＝HG＝AG﹣AH， ∴BG＝CG﹣BG， ∴（+1）BG＝CG， ∴BG＝（﹣1）GC，故④正确； 其中正确的结论有3个， 故选：B． 【强化训练2】如图，在▱ABCD中，AB＝2BC，∠BCD＝60°，对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线交AB于点E，连接OE．下列结论： ①DB平分∠CDE； ②OE垂直平分BD； ③； ④S△AOB＝2OE•OB． 其中正确的是         （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝60°， ∴AB∥CD，∠DAB＝∠DCB＝60°，∠ADC＝120°，AD＝BC，DO＝BO， ∴∠CDE＝∠AED， ∵DE平分∠ADB， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∵AB＝2BC， ∴AB＝2AD＝2AE， ∴AD＝AE＝BE， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE＝BE，∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠EBD＝∠EDB＝30°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CDB＝30°＝∠BDE， ∴DB平分∠CDE，故①正确； ∵DE＝BE，DO＝BO， ∴OE垂直平分BD；故②正确； ∵∠ABD＝30°， ∴DB＝AD， ∴DO＝AD， ∴AO＝＝AD＝DE，故③错误； ∵AE＝BE，DO＝BO， ∴AE＝2OE， ∴S△AOB＝OB•AD＝OB•OE，故④错误， 故答案为：①②． 【强化训练3】如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，AD∥BC， ∴AF∥EC， ∵EA⊥AC，FC⊥AC， ∴EA∥FC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∴EC＝AF， ∴BE＝BC﹣EC＝AD﹣AF＝DF， ∴在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）过点A作AG⊥EC于点G，如图所示： ∵EA⊥AC，∠AEC＝45°， ∴△AEC为等腰直角三角形， ∵AG⊥EC， ∴AG＝EC＝AF， ∵∠B＝30°， ∴AG＝AB， ∴AF＝AB， ∴AB＝AF． 【强化训练4】如图，在▱ABCD中，E，F分别为CD，AB上的点，且DE＝BF． 求证：∠DAE＝∠BCF． 【答案】证明：在▱ABCD中 ∴∠D＝∠B． AD＝BC． 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴∠DAE＝∠BCF． 学科网（北京）股份有限公司 $ 冀教版（2024）八年级下册 21.2 平行四边形的性质 强化训练 【题型1】利用平行四边形的对边平行且相等求边长 【典例】如图，在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC与∠BCD的角平分线交于点E，若点E恰好在AD边上，则CE2+BE2的值为（　　） A.12 B.16 C.24 D.36 【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，若BE＝2，CD＝3，则AD的长为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【强化训练2】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，P是边AC上的一个动点，以BC为对角线作平行四边形BPCD，则DP的最小值为   ． 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E．若AE＝1.5，CD＝3.5，则BC的长为    ． 【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．若BE＝4，AB＝5，求CF． 【强化训练5】如图，点O为▱ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，交DA和BC的延长线于点G，H．若OG＝5，HF＝2，求OF的长． 【题型2】利用平行四边形的对边平行且相等求周长或面积 【典例】在▱ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，则▱ABCD的周长为（　　） A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm 【强化训练1】如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（　　） A.8 B.6 C.9 D.10 【强化训练2】如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则▱ABCD的周长为（　　） A.16 B.14 C.10 D.8 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，EF为对角线BD的中垂线，交BC，AD于E，F．已知△CDE的周长为5，则▱ABCD的周长为         ． 【强化训练4】如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F． （1）若∠F＝28°，求∠A的度数； （2）若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求▱ABCD的面积． 【强化训练5】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F． （1）求证：BF＝CD； （2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【题型3】利用平行四边形的对边平行且相等求角度或坐标 【典例】如图，O为原点，▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣5，﹣1），C（0，﹣1），则点D的坐标为（　　） A.（5，5） B.（4，5） C.（5，4） D.（4，4） 【强化训练1】如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（　　） A.112° B.118° C.119° D.120° 【强化训练2】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，A（0，2），B（1，0），BC＝4，将平行四边形ABCD绕点B旋转90°后，点D对应点D'的坐标为                               ． 【强化训练3】在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），A（﹣4，0），则顶点C的坐标是               ． 【强化训练4】如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于F．若AB＝2BC，使∠B＝80°，求∠F的度数． 【题型4】利用平行四边形的对角相等解决问题 【典例】如图，▱ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠EAD＝35°，则∠B的度数为（　　） A.35° B.55 C.65° D.125° 【强化训练1】如图，在▱ABCD中，若∠A＝70°，则∠C的度数是（　　） A.70° B.110° C.120° D.140° 【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝134°，则∠A的度数是                ． 【强化训练4】如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE＝            °． 【强化训练5】如图1，在▱ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE． （1）若▱ABCD中BC边上的高为2，求AB的长． （2）若AB＝2，AE＝4，求BE的长． 【强化训练6】如图，▱ABCD中，∠DAB为钝角，AD＝1，AB＝，且▱ABCD的面积为1．求▱ABCD各内角的度数． 【题型5】利用平行四边形的对角线互相平分求解 【典例】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，连接BE．若▱ABCD的周长为20，则△ABE的周长为（　　） A.5 B.10 C.15 D.20 【强化训练1】如图，点E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AC＝6，CE＝2，连接BE并延长至点F使得EF＝BE，连接DF，则DF的长为（　　） A.1 B.2 C.1.5 D.3 【强化训练2】在平行四边形ABCD中，AB＝5，则对角线AC、BD的长度不可能为（　　） A.4、6 B.6、8 C.6、12 D.10、10 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为         ． 【强化训练4】如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，，AC＝4，BD＝8，则AE的长为        ． 【强化训练5】已知：▱ABCD的周长为18cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长小5cm，求这个平行四边形各边的长． 【强化训练6】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4． （1）求∠BAC的度数： （2）求▱ABCD的面积． 【题型6】综合应用平行四边形的性质求解 【典例】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（　　） A.8 B.10 C.16 D.20 【强化训练1】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（　　） A.8 B.9 C.10 D.18 【强化训练2】如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，若AB＝6，则OE＝      ． 【强化训练3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任意作直线分别交AB、CD于点E、F．若CD＝10，AD＝8，OE＝3，求四边形AEFD的周长． 【题型7】综合应用平行四边形的性质证明 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，下列说法一定正确的是（　　） A.AC＝BD B.AC⊥BD C.AO＝CO D.CO＝OB 【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，AG⊥BC于G，CF⊥AB于F，AG、CF交于H，CF、DA的延长线交于E，给出下列结论：①；②∠D＝∠CHG；③CH＝CD；④若点F是AB的中点，则；其中正确的结论有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【强化训练2】如图，在▱ABCD中，AB＝2BC，∠BCD＝60°，对角线AC，BD交于点O，∠ADC的平分线交AB于点E，连接OE．下列结论： ①DB平分∠CDE； ②OE垂直平分BD； ③； ④S△AOB＝2OE•OB． 其中正确的是         （写出所有正确结论的序号）． 【强化训练3】如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，EA⊥AC，FC⊥AC． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠B＝30°，∠AEC＝45°，求证：AB＝AF． 【强化训练4】如图，在▱ABCD中，E，F分别为CD，AB上的点，且DE＝BF． 求证：∠DAE＝∠BCF． 学科网（北京）股份有限公司 $