精品解析：山东省淄博市周村区2026年初中学业水平模拟考试数学试题

2026年初中学业水平模拟考试数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将毕业学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并核对粘贴的条形码是否与本人信息一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分． 1. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A. M B. N C. P D. Q 2. 纹样既有装饰、识别等实际作用的图案，也是各种寓意和文化内涵的载体，是人类文明发展过程中的重要组成部分．我国传统纹样大多寓意吉祥、幸福、平安，反映了人们对美好生活的追求．以下纹样，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 子是一种基本粒子，它的平均寿命约为0．0000022秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式，运算结果正确的是（） A. B. C. D. 6. 如图，已知三角形纸片，第一次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第二次折叠使点A落在点D处，折痕交于点G．若，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 7. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 60 9. 如图，直线l过点，，抛物线与y轴交于点C，若点P在抛物线的对称轴上移动，点Q在直线l上移动，则的最小值是（ ） A. 5 B. 4.4 C. 3.6 D. 3.3 10. 如图，已知在平行四边形中，，点P为的中点，点Q为的中点，且．记的长为m，的长为n，当平行四边形的形状变化时，m，n的值也随着变化，但代数式的值始终为定值，则这个定值是（ ） A. 72 B. 81 C. 90 D. 91 二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 不等式的解集为______． 12. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 13. 若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值是______． 14. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径相等），两弧交于点P，作射线，过点B作的垂线分别交，于点E，F，垂足为O，则的长是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与化简 （1）； （2）． 17. 某新能源汽车满电时车内显示屏显示能行驶，冬季时实际能行驶的里程会折损．某车主冬季从家出发前往一个景区，全程包含高速公路和市区道路，其中高速路段总长度比市区路段总长度多，高速路段总长度与市区路段总长度的比是． （1）求车主从家到该景区的路程； （2）该车主从家出发时汽车满电，返程前在这个景区充电站充电，至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加多少千米，才能保证电量够返回到家． 18. 2026年3月14日，是全球第七个“国际数学日”，某校通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示、数学素养竞赛等活动，引导同学们感受数学魅力，传播数学文化．某研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩用x表示，共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是： 100，98，97，95，94，93，89，88，87，86， 86，85，84，82，79，79，79，68，66，65； 八年级20名学生的成绩在B等级的数据是：89，89，87，85，82，81． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 b 众数 a 79 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次数学素养竞赛，估计该校七、八年级成绩为A等级的学生共有______人； （3）已知该校组织的七年级趣味数学游戏共包括“数独王国”“方程追及”“数字解谜”三个挑战游戏，如果七年级学生小聪和小颖随机选择参与其中一个游戏，则他们两人恰好选到同一个游戏的概率是______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 新学期，同学们布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度，门轴A到墙角E的距离，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被黑板墙阻挡，，门边靠在墙的位置． （1）门打开的最大角度______； （2）教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧与墙的距离为，且该矩形课桌的边与教室前墙平行，若要使得开关门不受阻挡，则与的距离需大于多少？（结果保留两位小数） （3）如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由．（参考数据：，，） 22. 已知抛物线（，为常数）过点． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 23. 完成以下问题 （1）【问题发现】如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点G．若，则线段的长是______； （2）【类比应用】如图2，是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，，求线段的长； （3）【拓展探究】如图3，在四边形中，，且，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线交射线于点．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将毕业学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并核对粘贴的条形码是否与本人信息一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分． 1. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A. M B. N C. P D. Q 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，离原点越远的点表示的数的绝对值越大，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点M到原点的距离最远， ∴所表示的数的绝对值最大的点是点M． 2. 纹样既有装饰、识别等实际作用的图案，也是各种寓意和文化内涵的载体，是人类文明发展过程中的重要组成部分．我国传统纹样大多寓意吉祥、幸福、平安，反映了人们对美好生活的追求．以下纹样，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意． 3. 如图，直三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图，熟记定义是解题关键． 主视图是指从正面看物体所得到的视图，据此求解即可． 【详解】解：图中直三棱柱的主视图为 故选：C． 4. 子是一种基本粒子，它的平均寿命约为0．0000022秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了较小数的科学记数法．根据较小数的科学记数法方法解答即可． 【详解】解：， 故选：C 5. 下列各式，运算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则计算各选项，判断结果正误． 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算正确； C、，故本选项运算错误； D、，故本选项运算错误． 6. 如图，已知三角形纸片，第一次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第二次折叠使点A落在点D处，折痕交于点G．若，则的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】通过折叠可判断，根据平行线分线段成比例可得出，，然后根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D， ∴，， ∵第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点G， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴． 7. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子， 根据题意，得， 故选：D． 8. 如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明得到角相等，进而推导出，证明，利用相似比得到，结合勾股定理求出即可求解． 【详解】解：是等边三角形 ， 在和中 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 过点作于， 是等边三角形 ， ， 在中，， ． 9. 如图，直线l过点，，抛物线与y轴交于点C，若点P在抛物线的对称轴上移动，点Q在直线l上移动，则的最小值是（ ） A. 5 B. 4.4 C. 3.6 D. 3.3 【答案】B 【解析】 【分析】根据待定系数法确定直线为，得出点的坐标为，作点关于直线的对称点为，确定，过点作于点Q，交x轴于点M，交对称轴于点P，过点作轴于点K，得出，，利用正切函数得出，再由角的等量代换确定，求出，同理得出直线所在直线的函数解析式为，确定点，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为， 代入点、：， 解得,， ∴直线为， 在中，令,得， ∴点的坐标为， 配方得， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点关于直线的对称点为， 对对称轴上任意一点，都有， ∴， 过点作于点H，交x轴于点M，交对称轴于点P，过点作轴于点K，如图所示 ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得：直线所在直线的函数解析式为， 联立与：， 解得： ∴点， ∴ 的最小值为4.4． 10. 如图，已知在平行四边形中，，点P为的中点，点Q为的中点，且．记的长为m，的长为n，当平行四边形的形状变化时，m，n的值也随着变化，但代数式的值始终为定值，则这个定值是（ ） A. 72 B. 81 C. 90 D. 91 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据线段垂直平分线的性质得出，利用勾股定理和完全平方公式表示出，代入计算即可． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ，为的中点， 垂直平分， ． 四边形是平行四边形， ． 为的中点， ， 设，． 在中，， ，， ； ， ． 二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为：， 因此不等式的解集为． 12. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 13. 若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值是______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：将原方程整理为一般形式可得， ∵ ，是该一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， 该方程中 ，， 代入得． 14. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径相等），两弧交于点P，作射线，过点B作的垂线分别交，于点E，F，垂足为O，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线尺规作图，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 由作图可知平分，结合可证为等腰三角形，从而得出，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长. 过点B作于点H，利用面积法求出，再利用勾股定理求出、的长，进而求出的长，最后证明，利用相似比求出的长 ． 【详解】解：由作图可知，平分， ， 是等腰三角形， 、， 四边形是矩形， 、， 在中，由勾股定理得：， ， 过点B作于点H， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于C，过点作轴于A，由直线求出，在中结合，求出，得出每次平移横、纵坐标增量为和3，推导出，代入得结果． 【详解】解：当时，， ∴设该点即为点B， 过点B作轴于C，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， 过点作轴于A，如图， 在中，，且， ∴， ∴， ∴， 由题意得，第一次平移：平移得到，对应点平移到了， 点平移到，横坐标增加了，纵坐标增加了， ∴每一次平移，图形上所有点的横坐标都增加，纵坐标都增加， ∵初始点的坐标：， 又∵是经过1次平移得到， ∴横坐标：；纵坐标：，即， ∵是经过2次平移得到， ∴横坐标：，纵坐标：，即， 以此类推，是经过次平移得到， ∴，即， 将代入得：横坐标：，纵坐标：， ∴点的坐标为． 【点睛】解题关键是通过直线斜率确定倾斜角，结合直角三角形性质求出平移距离，再通过归纳法推导点的坐标通项公式，是一次函数与平移规律结合的典型题型． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与化简 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，化简二次根式，负整数指数幂，特殊角三角函数值，再计算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 某新能源汽车满电时车内显示屏显示能行驶，冬季时实际能行驶的里程会折损．某车主冬季从家出发前往一个景区，全程包含高速公路和市区道路，其中高速路段总长度比市区路段总长度多，高速路段总长度与市区路段总长度的比是． （1）求车主从家到该景区的路程； （2）该车主从家出发时汽车满电，返程前在这个景区充电站充电，至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加多少千米，才能保证电量够返回到家． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意，设高速路段总长度为千米，则市区路段总长度为千米，再根据“高速路段总长度比市区路段总长度多”列方程即可解答； （2）根据题意，结合（1）中结论，求得实际能行驶所需显示屏显示的能行驶的里程，进而求得到达景区时显示屏显示的能行驶的里程，从而求得答案． 【小问1详解】 解：设高速路段总长度为千米，则市区路段总长度为千米， 由题意得，， 解得， 则车主从家到该景区的路程为（千米）． 答：车主从家到该景区的路程为240千米． 【小问2详解】 解：由题意可知，实际能行驶所需显示屏显示的能行驶的里程为， 则到达景区时显示屏显示的能行驶的里程为， ∵返程同样需要240千米的实际里程， ∴要使车内显示屏显示的能行驶的里程增加， 答：至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加200千米，才能保证电量够返回到家． 18. 2026年3月14日，是全球第七个“国际数学日”，某校通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示、数学素养竞赛等活动，引导同学们感受数学魅力，传播数学文化．某研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩用x表示，共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是： 100，98，97，95，94，93，89，88，87，86， 86，85，84，82，79，79，79，68，66，65； 八年级20名学生的成绩在B等级的数据是：89，89，87，85，82，81． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 b 众数 a 79 八年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次数学素养竞赛，估计该校七、八年级成绩为A等级的学生共有______人； （3）已知该校组织的七年级趣味数学游戏共包括“数独王国”“方程追及”“数字解谜”三个挑战游戏，如果七年级学生小聪和小颖随机选择参与其中一个游戏，则他们两人恰好选到同一个游戏的概率是______． 【答案】（1）79；88；40 （2）390 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；求出八年级成绩为B等级的学生人数的占比，用可得的值； （2）利用样本估计总体思想，将全校七、八年级学生人数分别乘以样本中对应等级成绩为A等级的学生比例即可求解． （3）画树状图或列表求出所有等可能情况数，并找出两人恰好选到同一个游戏的情况数，运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由七年级学生的成绩可知，分出现的次数最多，出现了次， 七年级成绩的众数为79，即； 八年级学生的成绩在B等级的数据有个， 八年级学生的成绩在B等级的数据占总数的， 八年级学生的成绩在A等级的数据占，即； 八年级学生的成绩在A等级的人数有人， 由八年级学生的成绩在B等级的数据可知：把八年级学生成绩从高到低排列，第名成绩是，第名是， 八年级学生成绩的中位数是，即． 【小问2详解】 解：样本中七年级学生成绩为A等级的有6人，八年级学生成绩为A等级的占比为， 由此估计，该校七、八年级成绩为A等级的学生共有（人）． 【小问3详解】 解：记“数独王国”“方程追击”“数字解谜”分别为A，B，C， 画树状图为： 由上可得，共有9种等可能情况，其中两人恰好选到同一个游戏的情况有3种，故概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：观察函数图像可知，当时，或； 【小问3详解】 解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 20. 如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 连接 ∵是的切线 ∴ ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴． ∴， ∴ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质及直角三角形斜边上中线定理证明得到，故可求解； （2）由，设，，根据勾股定理求出，，连接，证明，列出比例关系即可求出，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，设，， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴正数 ∴，， 连接 ∵是直径， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查圆的切线判定综合，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟知切线的性质及相似三角形的判定与性质． 21. 新学期，同学们布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度，门轴A到墙角E的距离，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被黑板墙阻挡，，门边靠在墙的位置． （1）门打开的最大角度______； （2）教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧与墙的距离为，且该矩形课桌的边与教室前墙平行，若要使得开关门不受阻挡，则与的距离需大于多少？（结果保留两位小数） （3）如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）需大于 （3） 解：能放进直径为的圆柱形桶，理由如下： 如图，设圆心为，内切圆半径为，连接切点，，，则四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴能放进直径为的圆柱形桶． 【解析】 【分析】（）易得，进而可得的余弦值，即可求得的度数，则可以求得的度数； （）作于点，连接，求得的长度，加上的长度，即可求得点到的距离，进而可得开关门不受阻挡，与的距离范围； （）求得直角三角形内切圆的半径，进而可得内切圆的直径，和圆桶的直径比较即可得到能否放进去． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：在图中作于点，连接， 则，， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴与的距离需大于； 【小问3详解】 略 22. 已知抛物线（，为常数）过点． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出，利用函数图象增减性，得出或，列出不等式组，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线开口向上， ∵已知，在该抛物线上，， ∴，  ​ ∴或， 又∵． 当时，则，无解； 当时，则，解得，符合条件． 故的取值范围为 ． 【小问2详解】 解：∵抛物线过点， ， ∴， ∵对于任意实数，都有，即 ∴， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， 即抛物线与直线交点的横坐标为和， ． 23. 完成以下问题 （1）【问题发现】如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点G．若，则线段的长是______； （2）【类比应用】如图2，是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，，求线段的长； （3）【拓展探究】如图3，在四边形中，，且，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线交射线于点．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）本题主要考查正方形，旋转的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，通过，可得出长度，再得出长度． （2）本题主要考查菱形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长和相交于，通过两次相似（，）即可得出长度． （3）本题需分两种情况讨论：①在延长线上；②在线段上．通过作辅助线及锐角三角函数计算得出的长度． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ， ， , 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，，， ，． 线段绕点逆时针旋转得到线段 ，， ， ， 在和中， ，， ，，共线． 延长和相交于，如图： ， ， ． ， ，， ，， ，． ， ， ， ． 【小问3详解】 ，， 四边形是等腰梯形， ， ，， 绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ． ① 当在延长线上时，如图： 作， ，， ，，． 作， 在和中 ， ， ② 当在线段上时，如图： 作于点 ，， ，，， ， ， ． 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $