精品解析：2025年山东省淄博市周村区中考一模数学试题

2025年初中学业水平模拟考试数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将毕业学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并核对粘贴的条形码是否与本人信息一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分． 1. 下列运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是有几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 4. “不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香”．已知一株梅花的花粉直径约为，将数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点在边上，点在边上，且满足，过作于点，过作于点，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以为边作正方形，顶点恰好落在该反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 10. 已知为实数，设，则的最大值是（ ） A. B. C. 5 D. 6 二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 27的立方根为_____． 12. 已知，则代数式的值为______． 13. 如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，那么的度数是______． 14. 如图，在正方形中，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，分别与，交于点，，那么四边形的面积为______． 15. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，…，这样依次得到点，，，，…，（为正整数）．若点的坐标为，对于任意的正整数，点都在轴的下方．若，均为整数，则满足条件的点的坐标可以是______．（写出一个满足题意的点即可） 三、解答题：本大题共8小题，共90分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 17. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求方程的解． （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 18. 某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动． （1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题： ①小杰共调查统计了　 　人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是　 　； （2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率． 19. 某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容： 课题：测量古塔的高度 小明的研究报告 小红的研究报告 图示 测量方案与测量数据 用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为35°，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为30m． 在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向走58.8m到达点B，测出古塔顶端的仰角为45°． 参考数据 sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30， 计算古塔高度(结果精确到0.1m) 30×tan35°+1.6≈22.6(m) （1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程； （2）数学老师说小红的结果比较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．请你针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 21. 如图，在平行四边形 中，过 三点的 交 于点 ，连结 ． （1）求证： ． （2）如图 2 ，已知 为 的切线，连结 并延长交 于点 ． ①求证： ； ②若 ，求 的值． 22. 在综合与实践活动课上，小明以矩形为主题开展研究性学习． 【动手操作】作矩形，使，连接，作点关于的对称点，连接，，，，与交于点． 【观察发现】 （1）如图1，当时，小明发现，的度数是确定的，请直接写出这个度数； （2）如图2，当时，小明又发现，线段与的比是确定的，请求出这个比值； 【实践探究】（3）如图3，设，与的交点分别为，，小明进一步发现，线段与始终保持相等，请予以证明． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是轴，过点作直线与该抛物线相交于，两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． （1）求此抛物线的表达式； （2）求点到轴的距离； （3）已知直线与该抛物线有且只有一个公共点，且与轴不平行，直线分别交直线和直线于点，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟考试数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将毕业学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并核对粘贴的条形码是否与本人信息一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分． 1. 下列运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了乘方运算、负整数指数幂运算、化简多重符号、化简绝对值，负数定义，先根据相关性质内容进行化简，再与0比较，小于0即为负数，进行作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键． 根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 如图是有几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排两个正方形、第2列只有前排有2个正方形，据此可得左视图． 【详解】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排两个正方形、第2列只有前排有2个正方形，据此可得左视图的形状是： 【点睛】分别寻找每一行每一列的正方形个数，利用空间想象寻找三视图． 4. “不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香”．已知一株梅花的花粉直径约为，将数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，数据0.000036用科学记数法表示为 故选：B． 5. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． 由旋转性质知，据此得、，再根据等腰三角形性质即可解答． 【详解】解：由旋转的性质的可得：， ∴、， ∴． 故选：D． 6. 如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用两直线交点求不等式解集，在数轴上表示解集，利用数形结合的思想是解题关键．根据两直线的交点，结合图象，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： 故选：C． 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，绳长尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木长尺，绳长尺，根据题意列方程组得 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 8. 如图，在中，，，点在边上，点在边上，且满足，过作于点，过作于点，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点A作，过点作，延长与相交于一点，结合等腰三角形的性质，证明，整理得，然后证明四边形是矩形，得，即可作答． 【详解】解：过点A作，过点作，延长与相交于一点，如图： ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形 ∴． 即． 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以为边作正方形，顶点恰好落在该反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．求出点的坐标为，点B的坐标为，求出点D的坐标为，根据点B和点D都在反比例函数的图象上得到，进一步即可求出答案． 【详解】解：当时，，解得 ∴点的坐标为， 设点B的坐标为， 过点B作轴于点，过点D作轴于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴点D的坐标为 ∵点B和点D都在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A 10. 已知为实数，设，则的最大值是（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 上式表示与之间的距离， ， 上式表示与之间的距离， 由勾股定理得， 结合三角形三边关系得的最大值是点B和点C的距离，即的最大值， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 12. 已知，则代数式的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：18． 13. 如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，那么的度数是______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，特殊角的三角函数值，连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：， ∵线段是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 14. 如图，在正方形中，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，分别与，交于点，，那么四边形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】连接，过点B作交于点M，设交于点N，则四边形是平行四边形，进而得，由尺规作图可知是的垂直平分线，是的垂直平分线，则四边形是矩形，继而得，设，则，，由勾股定理可求出，则，证明和全等得，则，然后根据梯形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】解：连接，过点B作交于点M，设交于点N，如图所示： ∵四边形是正方形，且， ∴，，，， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由尺规作图得：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∵，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是直角梯形， ∴ 故答案为：24． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，尺规作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，…，这样依次得到点，，，，…，（为正整数）．若点的坐标为，对于任意的正整数，点都在轴的下方．若，均为整数，则满足条件的点的坐标可以是______．（写出一个满足题意的点即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意找出探索的规律后求解即可．本题主要考查点的坐标规律探索，解不等式，解题的关键是理解点，，，…， ，...的坐标以4为周期循环． 【详解】解：根据题意, 若点的坐标为，则， ∴ 即， 则 即， 则 即， 由此可知, 点，，，…， ，...的坐标以4为周期循环， ∵点的坐标为，对于任意的正整数，点都在轴的下方． 则只需点，，，的纵坐标为负即可， ∴，，，， 解得：， ∵，均为整数， 故满足条件的点的坐标可以是 故答案为：（答案不唯一） 三、解答题：本大题共8小题，共90分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，整式的运算． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法，最后计算加减法即可得； （2）先计算特殊角的三角函数值、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后计算二次根式的加减法即可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知关于x的分式方程． （1）当时，求方程的解． （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 当时， ， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时， 故方程的解为：； 【小问2详解】 ， ， 去分母得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且， 即：且 【点睛】此题主要考查了分式方程及不等式的解法，掌握解分式方程的方法并及时进行检验是解题关键． 18. 某校在一次大课间活动中，采用了三种活动形式：A跑步，B跳绳，C做操，该校学生都选择了一种形式参与活动． （1）小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，列出了两幅不完整的统计图，利用图中所提供的信息解决以下问题： ①小杰共调查统计了　 　人；②请将图1补充完整；③图2中C所占的圆心角的度数是　 　； （2）假设被调查的甲、乙两名同学对这三项活动的选择是等可能的，请你用列表格或画树状图的方法求一下两人中至少有一个选择“A”的概率． 【答案】（1）①160； ②图1补充完整为： ③45°； （2） 【解析】 【分析】（1）①用参与B项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； ②用总人数乘以参加A项目的人数的百分比得到参与A项目的人数，然后补全条形统计图； ③用360度乘参与C项目的百分比得到以图2中C所占的圆心角的度数； （2）画树状图展示9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个选择“A”的结果数，然后根据概率公式求解. 【详解】（1）①40÷25%＝160，所以小杰共调查统计了160人； ②参加A项目的人数为160×62.5%＝100（人）， ③图2中C所占的圆心角的度数； 故答案为160；45°； （2）画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一个选择“A”的结果数为5， 所以两人中至少有一个选择“A”的概率＝ ． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图. 19. 某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容： 课题：测量古塔的高度 小明的研究报告 小红的研究报告 图示 测量方案与测量数据 用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为35°，再用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离为30m． 在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测出古塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向走58.8m到达点B，测出古塔顶端的仰角为45°． 参考数据 sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30， 计算古塔高度(结果精确到0.1m) 30×tan35°+1.6≈22.6(m) （1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程； （2）数学老师说小红的结果比较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．请你针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因． 【答案】（1）设， 在中， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 即m， ∴m， 答：古塔的高度为26.8m； （2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，应该测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离 【解析】 【分析】（1）设，根据等腰直角三角形的性质可得，然后利用正切函数得出，求解，结合图形求解即可得出； （2）对比小红的测量方法，结合题意：用皮尺测得测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离即可得出误差较大的原因． 【详解】(1)略 (2)原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，应该测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离． 【点睛】题目主要考查利用正切函数解三角形的应用，理解题意，依据正切函数列出方程是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）8 （3）点P坐标为 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解； （3）取中点C，过点C作交x轴于点D，连接，则与反比例函数图象交点即为点P，过点B作轴于点H，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：将代入，得， 把点代入一次函数得：， ， ； 【小问2详解】 解：设点M坐标为，则点N坐标为， 过点B作于点H， ， ， 由（1）可知， ， 解得：，（舍）， ； 【小问3详解】 解：取中点C，过点C作交x轴于点D 连接，则与反比例函数图象交点即为点P 过点B作轴于点H ， ∵，，且点C为的中点 ∴，， 直线的函数表达式为 联立，解得或（舍） 点P坐标为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 21. 如图，在平行四边形 中，过 三点的 交 于点 ，连结 ． （1）求证： ． （2）如图 2 ，已知 为 的切线，连结 并延长交 于点 ． ①求证： ； ②若 ，求 的值． 【答案】（1） 证明： ． ， ； （2） ①证明：如图，延长 交 于点 ，连结 ， 切 于点， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据同角的补角相等得，可得最后根据等角对等边得出答案； （2）①延长 交 于点 ，连结 ， 根据切线的性质和平行线的性质，及垂径定理得是的垂直平分线，得，再根据等腰三角形的性质得，进而得出，最后根据“弧，弦，圆心角的关系”得，即可得出结论； ②延长交的延长线于点M，设，则,进而得出再说明， 可求出，然后证明，可得，，接下来说明，再设，则，根据相似三角形的对应边成比例求出 ，最后根据得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图3，延长交的延长线于点M，设，则． 由， ∴， ∴． 由，得， ， 解得． 由 得. ∵， ∴， ∴ ． ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴， ∴． 设，则，得 ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，求余弦，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键. 22. 在综合与实践活动课上，小明以矩形为主题开展研究性学习． 【动手操作】作矩形，使，连接，作点关于的对称点，连接，，，，与交于点． 【观察发现】 （1）如图1，当时，小明发现，的度数是确定的，请直接写出这个度数； （2）如图2，当时，小明又发现，线段与的比是确定的，请求出这个比值； 【实践探究】（3）如图3，设，与的交点分别为，，小明进一步发现，线段与始终保持相等，请予以证明． 【答案】（1）； （2）； （3）作，垂足为． 由轴对称性质可得，，． ，， ， ． 四边形是矩形． ， ， ． ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考考矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，解题的关键是利用相关性质找到角度关系，线段关系，通过推理计算得出结果． （1），利用矩形和轴对称性质得到线段相等和角关系，再结合等腰三角形性质得到，从而得到，接着证明，得到是等边三角形，得到，即可求得的度数； （2）延长，交于点，利用柜形，轴对称性质得到，由，可证，得到，，再证，得到，求出与的比值； （3）通过证明得出，通过矩形的性质证明，，从而得到结果． 【详解】（1）四边形是矩形， ， 又点关于的对称点是， 所以， 在和中 ， 是等边三角形， ； （2）延长，交于点， 点与点关于对称， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ； （3）略 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是轴，过点作直线与该抛物线相交于，两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． （1）求此抛物线的表达式； （2）求点到轴的距离； （3）已知直线与该抛物线有且只有一个公共点，且与轴不平行，直线分别交直线和直线于点，，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴是轴，可得，且，再进一步的解题即可； （2）设直线的表达式为，，是直线与抛物线的交点，可得，设点的横坐标为，则点的横坐标为，求解直线的表达式为，再进一步求解即可； （3）设直线的表达式为，结合直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得直线的表达式为．求解点的坐标为；点的坐标为；再进一步求解即可； 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是轴， ，且， 解得，经检验，符合题意； 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：直线过点，设直线的表达式为，，是直线与抛物线的交点， ， 整理得，， ， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， 设直线的表达式为，将点的坐标为代入， 得， 解得，， 直线的表达式为， ，直线经过点， ， 点到轴的距离是3； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为， ，整理得，， 直线与该抛物线有且只有一个公共点， ， ， 直线的表达式为． 当时，，解得， 点的坐标为； 当时，，解得， 点的坐标为； 点， ；； ． 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，勾股定理的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练的利用以上知识解题是关键． 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