山东青岛市市北区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

**基本信息** 以科技（嫦娥六号测距）、文化（《淮南万毕术》反射）、生活（植树成活率）情境为载体，融合整式运算、平行线推理与规律探究，全面考查七年级数学抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|幂运算、互余、概率分类|第6题结合《淮南万毕术》考光的反射，体现文化传承| |填空题|6/18|科学记数法、规律探究|第12题以嫦娥六号测距考科学记数法与倍数计算，关联科技前沿| |作图题|2/10|尺规作平行线、垂线段|第16题网格作图融合垂线段最短与距离计算，强化几何直观| |解答题|7/68|整式化简、概率实验、规律证明|第23题折纸探究平行线性质，第22题两位数平方规律证明，突出推理能力与创新意识|

山东省青岛市市北区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）下列运算中，正确的是（　　） A．（a3）3＝a6 B．a3+a3＝a6 C．a3•a3＝a9 D．（ab）3＝a3b3 2．（3分）如图，AB⊥CD于O，直线EF经过点O，则∠1与∠2的关系是（　　） A．互余 B．互补 C．对顶角 D．相等 3．（3分）事件甲：地球绕着太阳转；事件乙：购买彩票中奖．下列说法正确的是（　　） A．事件甲，乙都是随机事件 B．事件甲是随机事件，事件乙是必然事件 C．事件甲，乙都是必然事件 D．事件甲是必然事件，事件乙是随机事件 4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么下列结论正确的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AB∥CD D．∠3＝∠4 5．（3分）下列说法合理的是（　　） A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 6．（3分）《淮南万毕术》记载了古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法．如图是一口深井的平面示意图，∠ABE＝∠GBF，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝42°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即∠CBG＝90°）射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC等于（　　） A．66° B．61° C．54° D．48° 7．（3分）乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（　　） A．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣6ab+b2 C．（3a+b）2＝9a2+6ab+b2 D．（3a﹣b）2＝9a2+6ab+b2 8．（3分）观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 根据以上规律计算：2100+299+…+23+22+2＝（　　） A．2101 B．2102 C．2101﹣1 D．2101﹣2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 　 　 ． 10．（3分）若am＝3，an＝2，则a2m+n＝　 　 ． 11．（3分）已知，如图，AB∥CD，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB和CD上，则∠AEF的度数为 　 　 ． 12．（3分）我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.5μm（1μm＝10﹣6m）．用科学记数法表示这一测量的精度是　 　 m．蜂鸟是世界上最小的鸟，最大的蜂鸟从头到尾的长度大约仅为4.5cm，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的　 　 倍． 13．（3分）如图，两个边长分别为a和b的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝9，ab＝12，则S1+S2＝　 　 ． 14．（3分）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同）．根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是　 　 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为　 　 ． 三、作图题（本题满分10分，共有2道题） 15．（4分）尺规作图：已知△ABC，求作：直线MN，使MN经过点A，且MN∥BC．（保留作图痕迹，不写作法） 16．（6分）如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D都在网格的格点上． （1）过点B画直线AC的垂线，垂足为点E； （2）比较大小：BA　 　 BE，理由是：　 　 ； （3）若线段BC＝5，则点D到直线BC的距离为　 　 ． 四、解答题（本题满分68分，共有7道题） 17．（16分）计算下列各式： （1）； （2）； （3）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷3xy； （4）20262﹣2022×2030（用简便方法计算）． 18．（6分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣3）﹣3x（x﹣1）+（2x﹣1）2，其中x． 19．（6分）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？ 20．（8分）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b （1）完成上述表格：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）这种树苗成活的概率估计值为 　 　 ； （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 21．（8分）完成下面的说明，并在括号里注明依据． 如图，已知点O，E在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，过点E作OD的平行线EF交OC于点F．说明：∠1＝∠2． 说明： 因为EF∥OD， 所以∠3＝∠　 　 （依据：　 　 ）． ∠4＝∠　 　 （依据：　 　 ）． 因为OD是∠BOC的平分线， 所以∠3＝∠4（依据：　 　 ）． 所以∠5＝∠6（依据：　 　 ）． 因为∠5+∠1＝180°，∠6+∠2＝180°（依据：　 　 ）， 所以∠1＝∠2（依据：　 　 ）． 22．（12分）【问题提出】 在数学课上，老师提出如下问题： 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？ 【举例观察】 亮亮同学列出下列算式进行观察： 15×15＝225＝1×2×100+25； 25×25＝625＝2×3×100+25； 35×35＝1225＝3×4×100+25， 通过观察，亮亮发现“个位数字是5的两位数的平方，似乎都可以写成类似的形式!” 【猜想验证】 亮亮猜想： 个位数字是5的两位数的平方，结果末尾的两个数字是25；去掉末尾的两个数字25，前面的数等于原数的十位数字乘以“十位数字加1”的积． 为了确认猜想，亮亮又写出了一个算式进行验证： 55×55＝3025＝5×（5+1）×100+25 【字母说明】 如何用字母说明上述猜想成立呢？ （1）下面是亮亮的说明过程，请你补充完整． 说明：设该两位数的十位数字是n（1≤n≤9，且n是整数），个位数字是5． … 【回顾反思】 数学兴趣小组的同学又列举了一些类似的算式进行探究： 11×91＝1001＝（1×9+1）×100+1 21×81＝1701＝（2×8+1）×100+1 31×71＝2201＝（3×7+1）×100+1 通过观察，发现上述算式似乎也有某种规律． （2）请你利用上述规律计算：61×41＝　 ＝　 　 ． （3）兴趣小组的同学归纳了上面三组式子的一般规律并用字母说明，请你补充完整． 一般规律是　 　 ． 说明：设这两个两位数的十位数字分别是a、b（a、b是小于10的正整数且满足a+b＝10），个位数字都为1． … 23．（12分）今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．E，F分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AE＞DF），将长形纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G． （1）①若∠AEF＝40°，则∠A′GC＝　 　 ． ②若∠AEF＝α，则∠A′GC＝　 　 （用含α的式子表示）． （2）如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C处，点B落在B′处，得到折痕GH，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，继续沿GE进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点B′，C′，若∠1＝∠2，则∠CGE的度数为　 　 ． 山东省青岛市市北区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C D A B D 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）下列运算中，正确的是（　　） A．（a3）3＝a6 B．a3+a3＝a6 C．a3•a3＝a9 D．（ab）3＝a3b3 【答案】D 【解答】解：A． （a3）3＝a9，因此选项A不符合题意； B．a3+a3＝2a3，因此选项B不符合题意； C..a3•a3＝a3+3＝a6，因此选项C不符合题意； D． （ab）3＝a3b3，因此选项D符合题意； 故选：D． 2．（3分）如图，AB⊥CD于O，直线EF经过点O，则∠1与∠2的关系是（　　） A．互余 B．互补 C．对顶角 D．相等 【答案】A 【解答】解：图中，∠2＝∠COE（对顶角相等）， 又∵AB⊥CD， ∴∠1+∠COE＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：A． 3．（3分）事件甲：地球绕着太阳转；事件乙：购买彩票中奖．下列说法正确的是（　　） A．事件甲，乙都是随机事件 B．事件甲是随机事件，事件乙是必然事件 C．事件甲，乙都是必然事件 D．事件甲是必然事件，事件乙是随机事件 【答案】D 【解答】解：依题意，事件甲：地球绕着太阳转是必然事件， 事件乙：购买彩票中奖是随机事件， 故D符合题意，其他选项不符合题意， 故选：D． 4．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么下列结论正确的是（　　） A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AB∥CD D．∠3＝∠4 【答案】C 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行） 故选：C． 5．（3分）下列说法合理的是（　　） A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，因此买100张彩票一定会有5张中奖 C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是 D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【解答】解：A、小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是，是错误的，3次试验不能总结出概率，故A不符合题意； B、某彩票的中奖概率是5%，因此买100张彩票不一定会有5张中奖，故B不符合题意； C、某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是，是错误的，“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，故C不符合题意； D、小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是，故D符合题意； 故选：D． 6．（3分）《淮南万毕术》记载了古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法．如图是一口深井的平面示意图，∠ABE＝∠GBF，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝42°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即∠CBG＝90°）射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC等于（　　） A．66° B．61° C．54° D．48° 【答案】A 【解答】解：如图， ∵BG⊥CD， ∴∠CBG＝90°， 由条件可知∠ABE+∠FBG＝180°﹣90°﹣42°＝48°， ∴∠ABE＝∠FBG＝24°， ∴∠EBC＝24°+42°＝66°． 故选：A． 7．（3分）乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（　　） A．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 B．（3a﹣b）2＝9a2﹣6ab+b2 C．（3a+b）2＝9a2+6ab+b2 D．（3a﹣b）2＝9a2+6ab+b2 【答案】B 【解答】解：阴影部分可以看作是边长为3a﹣b的正方形，阴影部分的面积表示为：（3a﹣b）2， 阴影部分的面积还可以表示为：（3a）2﹣3a×b×2+b2＝9a2﹣6ab+b2， 故验证的公式为：（3a﹣b）2＝9a2﹣6ab+b2． 故选：B． 8．（3分）观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 根据以上规律计算：2100+299+…+23+22+2＝（　　） A．2101 B．2102 C．2101﹣1 D．2101﹣2 【答案】D 【解答】解：发现规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1， 当x＝2，n＝100时， 原式＝（2﹣1）（2100+299+298+⋯+23+22+2+1）﹣1 ＝2101﹣1﹣1 ＝2101﹣2． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 　　 ． 【答案】 【解答】解：∵游戏板的总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积， ∴飞镖落在阴影部分的概率是：， 故答案为：． 10．（3分）若am＝3，an＝2，则a2m+n＝　18　 ． 【答案】18 【解答】解：a2m+n＝a2m•an＝9×2＝18． 故答案为：18． 11．（3分）已知，如图，AB∥CD，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB和CD上，则∠AEF的度数为 　15°　 ． 【答案】15°． 【解答】解：在图中标上点M，N，如图所示. ∵AB∥CD， ∴∠AEN＝180°﹣∠CNE ＝180°﹣∠MNF﹣∠ENF ＝180°﹣30°﹣45° ＝105°， ∴∠AEF＝∠AEN﹣∠FEN ＝105°﹣90° ＝15°． 故答案为：15°． 12．（3分）我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.5μm（1μm＝10﹣6m）．用科学记数法表示这一测量的精度是　5×10﹣5 m．蜂鸟是世界上最小的鸟，最大的蜂鸟从头到尾的长度大约仅为4.5cm，问最大的蜂鸟的长度相当于该测量的精度的　900　 倍． 【答案】5×10﹣5；900． 【解答】解：0.5μm＝5×10﹣5m． 4.5×10﹣2÷（5×10﹣5）＝900，故答案为：5×10﹣5；900． 13．（3分）如图，两个边长分别为a和b的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝9，ab＝12，则S1+S2＝　45　 ． 【答案】45． 【解答】解：由题意得：，， ∴， ∵a+b＝9，ab＝12， ∴S1+S2＝92﹣3×12＝81﹣36＝45． 故答案为：45． 14．（3分）任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同）．根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是　1　 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为　970　 ． 【答案】1（答案不唯一）；970． 【解答】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ∵100÷3＝33……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：1+0+0＝1，再对和进行平方：12＝1， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， ∴最后输出的结果可能是1（答案不唯一，还可能是169等）． 第二空： 对任意三位数a，第三次运算出现重复，仅有一种可能满足要求： 原三位数a不是3的倍数，第一次运算得到新数a1，无重复； a1不是3的倍数，第二次运算得到新数a2，无重复； a2不是3的倍数，第三次运算得到a3＝a1，此时a3与已有数重复，满足3次运算输出的要求， 根据运算规则，a1（s1为a的各位数字和），a2（s2为a1的各位数字和），a3a1， 因此得s3＝s1， 代入验证得唯一符合的组合： s1＝16，则a1＝162＝256，a1各位数字和为2+5+6＝13＝s2， s2＝13，则a2＝132＝169，a2各位数字和为1+6+9＝16＝s1＝s3， 满足a3162＝256＝a1，符合重复要求， 由上述推导可知：原三位数a需满足：各位数字和为16，且不是3的倍数， 16本身不是3的倍数，因此所有各位和为16的三位数都满足要求， 要得到最大的三位数，需让高位尽可能大： 百位取最大值9，此时十位与个位的和为16﹣9＝7； 十位取最大值7，此时个位为7﹣7＝0； 因此满足条件的最大三位数为970． 故答案为：1（答案不唯一）；970． 三、作图题（本题满分10分，共有2道题） 15．（4分）尺规作图：已知△ABC，求作：直线MN，使MN经过点A，且MN∥BC．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】经过点A，且MN∥BC的直线，如图即为所求． 【解答】解：经过点A，且MN∥BC的直线，如图即为所求；理由如下： ∵∠NAC＝∠C， ∴MN∥BC， ∴MN即为所求． 16．（6分）如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D都在网格的格点上． （1）过点B画直线AC的垂线，垂足为点E； （2）比较大小：BA　＞　 BE，理由是：　垂线段最短　 ； （3）若线段BC＝5，则点D到直线BC的距离为　　 ． 【答案】（1）如图，直线BE即为所求； （2）BA＞BE（垂线段最短）； （3）． 【解答】解：（1）如图，直线BE即为所求； （2）BA＞BE（垂线段最短）． 故答案为：＞，垂线段最短； （3）连接DB，DC，过点D作DH⊥BC于点H． ∵•DB•CD•BC•DH， ∴DH． 故答案为：． 四、解答题（本题满分68分，共有7道题） 17．（16分）计算下列各式： （1）； （2）； （3）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷3xy； （4）20262﹣2022×2030（用简便方法计算）． 【答案】（1）3； （2）﹣2xz； （3）； （4）16． 【解答】解：（1） ＝2+2﹣1 ＝3； （2） x3y4zx2y4 ＝﹣2xz； （3）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷3xy ＝（x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2）÷3xy ＝4xy÷3xy ； （4）20262﹣2022×2030 ＝20262﹣（2026﹣4）×（2026+4） ＝20262﹣（20262﹣16） ＝16． 18．（6分）先化简，再求值：（x+2）（x﹣3）﹣3x（x﹣1）+（2x﹣1）2，其中x． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（x+2）（x﹣3）﹣3x（x﹣1）+（2x﹣1）2 ＝x2+2x﹣3x﹣6﹣（3x2﹣3x）+（4x2﹣4x+1） ＝2x2﹣2x﹣5， 当x时， 原式＝2×（）2﹣25＝﹣5． 19．（6分）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？ 【答案】，． 【解答】解：根据几何概率的意义可得： P（红色区域）， P（白色区域）， 答：指针落在白色区域的概率是，指针落在红色区域的概率是． 20．（8分）植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b （1）完成上述表格：a＝ 　117　 ，b＝ 　0.80　 ； （2）这种树苗成活的概率估计值为 　0.80　 ； （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】（1）117，0.80；（2）0.80；（3）750棵． 【解答】解：（1）由题意得，a＝150×0.78＝117，b＝800÷1000＝0.80， 故答案为：117，0.80； （2）这种树苗成活的概率估计值为0.80； 故答案为：0.80； （3）600÷0.80＝750（棵）， 答：在相同条件下至少需要买750棵树苗． 21．（8分）完成下面的说明，并在括号里注明依据． 如图，已知点O，E在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，过点E作OD的平行线EF交OC于点F．说明：∠1＝∠2． 说明： 因为EF∥OD， 所以∠3＝∠　5　 （依据：　两直线平行，内错角相等　 ）． ∠4＝∠　6　 （依据：　两直线平行，同位角相等　 ）． 因为OD是∠BOC的平分线， 所以∠3＝∠4（依据：　角平分线的定义　 ）． 所以∠5＝∠6（依据：　角的等量代换　 ）． 因为∠5+∠1＝180°，∠6+∠2＝180°（依据：　邻补角的定义　 ）， 所以∠1＝∠2（依据：　等角的补角相等　 ）． 【答案】5；两直线平行，内错角相等；6；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；角的等量代换；邻补角的定义；等角的补角相等． 【解答】证明：因为EF∥OD， 所以∠3＝∠5（依据：两直线平行，内错角相等）． ∠4＝∠6（依据：两直线平行，同位角相等）． 因为OD是∠BOC的平分线， 所以∠3＝∠4（依据：角平分线的定义）． 所以∠5＝∠6（依据：角的等量代换）． 因为∠5+∠1＝180°，∠6+∠2＝180°（依据：邻补角的定义）， 所以∠1＝∠2（依据：等角的补角相等）． 故答案为：5；两直线平行，内错角相等；6；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；角的等量代换；邻补角的定义；等角的补角相等． 22．（12分）【问题提出】 在数学课上，老师提出如下问题： 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？ 【举例观察】 亮亮同学列出下列算式进行观察： 15×15＝225＝1×2×100+25； 25×25＝625＝2×3×100+25； 35×35＝1225＝3×4×100+25， 通过观察，亮亮发现“个位数字是5的两位数的平方，似乎都可以写成类似的形式!” 【猜想验证】 亮亮猜想： 个位数字是5的两位数的平方，结果末尾的两个数字是25；去掉末尾的两个数字25，前面的数等于原数的十位数字乘以“十位数字加1”的积． 为了确认猜想，亮亮又写出了一个算式进行验证： 55×55＝3025＝5×（5+1）×100+25 【字母说明】 如何用字母说明上述猜想成立呢？ （1）下面是亮亮的说明过程，请你补充完整． 说明：设该两位数的十位数字是n（1≤n≤9，且n是整数），个位数字是5． … 【回顾反思】 数学兴趣小组的同学又列举了一些类似的算式进行探究： 11×91＝1001＝（1×9+1）×100+1 21×81＝1701＝（2×8+1）×100+1 31×71＝2201＝（3×7+1）×100+1 通过观察，发现上述算式似乎也有某种规律． （2）请你利用上述规律计算：61×41＝　2501　 ＝　（6×4+1）×100+1　 ． （3）兴趣小组的同学归纳了上面三组式子的一般规律并用字母说明，请你补充完整． 一般规律是　两个十位数字之和为10，个位数字都为1的两位数相乘，结果等于两个十位数字相乘再加上1的和乘以100，再加上1　 ． 说明：设这两个两位数的十位数字分别是a、b（a、b是小于10的正整数且满足a+b＝10），个位数字都为1． … 【答案】（1）设该两位数的十位数字是n（1≤n≤9，且n是整数），个位数字是5． 则这个两位数可表示为10n+5， 所以（10n+5）2＝100n2+100n+25＝n×（n+1）×100+25； （2）2501；（6×4+1）×100+1； （3）一般规律是：两个十位数字之和为10，个位数字都为1的两位数相乘，结果等于两个十位数字相乘再加上1的和乘以100，再加上1． 证明如下：设这两个两位数的十位数字分别是a、b（a、b是小于10的正整数且满足a+b＝10），个位数字都为1． 则这个两位数分别为10a+1和10b+1， 所以（10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+1＝100ab+10（a+b）+1． 因为a+b＝10， 所以（10a+1）（10b+1）＝100ab+100+1＝（ab+1）×100+1． 【解答】解：（1）由题知， 设该两位数的十位数字是n（1≤n≤9，且n是整数），个位数字是5． 则这个两位数可表示为10n+5， 所以（10n+5）2＝100n2+100n+25＝n×（n+1）×100+25； （2）由题知， 因为11×91＝1001＝（1×9+1）×100+1， 21×81＝1701＝（2×8+1）×100+1， 31×71＝2201＝（3×7+1）×100+1， 所以61×41＝2501＝（6×4+1）×100+1． 故答案为：2501；（6×4+1）×100+1； （3）一般规律是：两个十位数字之和为10，个位数字都为1的两位数相乘，结果等于两个十位数字相乘再加上1的和乘以100，再加上1． 证明如下：设这两个两位数的十位数字分别是a、b（a、b是小于10的正整数且满足a+b＝10），个位数字都为1． 则这个两位数分别为10a+1和10b+1， 所以（10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+1＝100ab+10（a+b）+1． 因为a+b＝10， 所以（10a+1）（10b+1）＝100ab+100+1＝（ab+1）×100+1． 故答案为：两个十位数字之和为10，个位数字都为1的两位数相乘，结果等于两个十位数字相乘再加上1的和乘以100，再加上1． 23．（12分）今天我们来探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线． 如图1，长方形纸条ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．E，F分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AE＞DF），将长形纸条沿直线EF折叠，点A落在A′处，点D落在D′处，A′E交CD于点G． （1）①若∠AEF＝40°，则∠A′GC＝　100°　 ． ②若∠AEF＝α，则∠A′GC＝　180°﹣α　 （用含α的式子表示）． （2）如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C处，点B落在B′处，得到折痕GH，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由． （3）如图3，在图1的基础上，继续沿GE进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点B′，C′，若∠1＝∠2，则∠CGE的度数为　72°　 ． 【答案】（1）①100°；②180°﹣2α； （2）EF∥GH，理由如下： 由题意得：∠AEF＝∠A′EF∠AEG，∠CGH＝∠C′GH∠CGE， ∵AB∥CD， ∴∠CGE＝∠AEG， ∴∠C'GH＝∠A'EF， ∴EF∥GH； （3）72°． 【解答】解：（1）①由题意得：∠A'EF＝∠AEF＝40°， ∴∠AEG＝∠A′EF+∠AEF＝40°+40°＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠CGE＝∠AEG＝80°， ∴∠A'GC＝180°﹣∠CGE＝180°﹣80°＝100°； 故答案为：100°； ②由题意得：∠A'EF＝∠AEF＝α， ∴∠AEG＝∠A'EF+∠AEF＝α+α＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠CGE＝∠AEG＝2α， ∴∠A'GC＝180°﹣∠CGE＝180°﹣2α， 故答案为：180°﹣2α； （2）EF∥GH，理由如下： 由题意得：∠AEF＝∠A′EF∠AEG，∠CGH＝∠C′GH∠CGE， ∵AB∥CD， ∴∠CGE＝∠AEG， ∴∠C'GH＝∠A'EF， ∴EF∥GH； （3）如图，即GC'交AB于点Q， 由折叠的性质得到：∠GEF＝∠AEF，∠CGE＝∠C′GE， ∵CD∥AB， ∴∠AEF＝∠1，∠FGQ＝∠GQE，∠CGE＝∠GEA， ∴∠GEA＝2∠1， ∴∠C'GE＝∠CGE＝∠GEA＝2∠1， ∵GC′∥EB′， ∴∠2＝∠GQE＝∠FGQ， ∵∠2＝∠1， ∴∠FGQ＝∠1， 在平角FGC上，则有∠1+2∠1+2∠1＝180°， ∴∠1＝36°， ∴∠CGE＝2∠1＝72°． 故答案为：72°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $