第二十章　勾股定理 习题课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章　《勾股定理》复习作业 数学　八年级下册 1.求出下列直角三角形中未知边AB的长. 16 25 数学　八年级下册 2.如图，正方形面积S1＝144，S2＝169，则面积为S3的正 方形的边长为 ( ) A.12 B.13 C.5 D.25 C 数学　八年级下册 3.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C均在格点上，且BD⊥AC于点D，则BD的长为　　 ( ) A. B. C. D. A 数学　八年级下册 4.强大的台风使得一根旗杆在离地面5 m处折断倒下，旗杆 顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是( ) A.12 m B.13 m C.17 m D.18 m D 数学　八年级下册 5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，B(5，－3)， 则线段AB的长为 ( ) A.2 B.4 C.2 D.4 B 数学　八年级下册 6.如图，要在门上方的墙上点A处装一个由传感器控制的 灯，点A离地面4.5 m，任何东西只要移至该灯5 m及5 m 内范围，灯就自动发光.已知小军身高1.5 m，若他走到 CD处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是 ( ) A.5 m B.4 m C.3 m D.2 m B 数学　八年级下册 7.如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x＋ 为 ( ) A.1－ B.1＋ C.－2 D.－1.5 A 数学　八年级下册 8.下列各组数中，不是勾股数的是 ( ) A.0.3，0.4，0.5 B.6，8，10 C.3，4，5 D.5，12，13 A 数学　八年级下册 9.下列各选项中，不是勾股数的是 ( ) A.9，40，41 B.8，15，17 C. ， ， D.7，24，25 C 数学　八年级下册 10.如图，已知长方体的长为1 cm、宽为1 cm、高为4 cm(其 中AC＝1 cm，BC＝1 cm，CG＝4 cm).一只蚂蚁如果沿长 方体的表面从A点爬到F点，最短路程的长度为 5 . 2 cm 数学　八年级下册 11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，点A与点B重合.若AD＝5，BC＝6，则CE的长为 . 数学　八年级下册 12.如图，在离水面高度(AC)为2 m的岸上有人用绳子拉船 靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒 0.5 m的速度收绳子.问： (1)未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少？ (2)收绳2秒后，船离岸边多远？ (结果保留根号) 数学　八年级下册 解：(1)在Rt△ABC中，AC＝2 m，∠CBA＝30°， ∴BC＝2AC＝4(m). (2)收绳2秒后，绳子BC缩短了1 m，此时绳子只有3 m，如图，即CD＝3 m. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 船到河岸的距离AD＝ ＝ ＝ (m). 即收绳2秒后，船离岸边 m. 数学　八年级下册 13.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD， 测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且 ∠ABC＝90°， (1)连接AC，求AC的长； (2)求这块菜地的面积. 数学　八年级下册 解：(1)如图，∵∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m， ∴AC＝ ＝ ＝15(m). (2)∵CD＝8 m，AD＝17 m，AC＝15 m， ∴AC2＋CD2＝152＋82＝289，AD2＝172＝289， ∴AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，即∠ACD＝90°. 数学　八年级下册 ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD ＝ AB·BC＋ AC·CD ＝ ×9×12＋ ×15×8 ＝54＋60 ＝114(m2). 答：这块菜地的面积为114 m2. 数学　八年级下册 $第二十章　勾股定理 第1课时　勾股定理 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则 ( ) A.BC＝AB＋AC B.AC2＝AB2＋BC2 C.AB2＝AC2＋BC2 D.BC2＝AB2＋AC2 C 2.(RJ八下P26T2·改编)3个正方形如图摆放，其中两个的面 积分别为S1＝36，S2＝64，则第三个正方形的面积S3＝ . 100 3.如图，已知以直角三角形的边为边长的其中2个正方形的 面积，求下列直角三角形未知的边x，y的值. 解：图1：根据勾股定理，得 81＋144＝x2，解得x＝15. 图2：根据勾股定理，得 y2＋144＝169， 解得y＝5. 4.请你借助如图所示的直角梯形的面积证明勾股定理，即 求证：a2＋b2＝c2. 证明：∵S梯形ABDE＝ (AB＋DE)·BD＝ (a＋b)(a＋b)＝ a2＋ b2＋ab， S梯形ABDE＝S△ABC＋S△ACE＋S△CDE ＝ ab＋ c2＋ ab＝ c2＋ab， ∴ a2＋ b2＋ab＝ c2＋ab， 即a2＋b2＝c2. 5.(RJ八下P30T2·改编)如图，一棵树被风刮断后，折断处 离地面AC＝3 m，树的顶端离树根AB＝4 m，则这棵树 在折断之前的高度是 ( ) A.3米 B.4米 C.7米 D.8米 D 6.(RJ八下P30T1·改编)设直角三角形的两条直角边长分别 为a和b，斜边长为c. (1)若a＝1，b＝5，则c＝ 5 ； (2)若a＝5，c＝13，则b＝ 5 ； (3)若c＝10，b＝7，则a＝ 5 . 12 7.(RJ八下P25例1·改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝6，BC＝3，求AC的长. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝3， ∴AC＝ ＝ ＝3 . 8.下列说法中，一定正确的是 ( ) A.已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2 B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴a2＋b2＝c2 D.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2 D 9.(分类讨论·思想方法)若直角三角形中，有两边长分别是5 和7，则第三边长的平方为 5 . 74或24 10.(RJ八下P26T2·改编)如图是一株美丽的勾股树，其中所 有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形. 若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正 方形E的面积是 5，正方形F的面积是 5，正方形 G的面积是 5 . 8 5 13 11.(RJ八下P26T3·改编)如图，在平面直角坐标系中有两点 A(6，0)和B(0，8).求AB的长. 解：依题意，得OA＝6，OB＝8，∠AOB＝90°， ∴在Rt△AOB中，AB＝ ＝ ＝10. 12.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成， 若直角三角形斜边长为3，短的直角边长为1，求图中阴 影部分的面积. 解：依题意，得另一条直角边的长为 ＝2 . ∴4个小直角三角形的面积为 ×2 ×1×4＝4 . ∴阴影部分的面积为32－4 ＝9－4 . 13.(应用意识·核心素养)如图，以Rt△ABC的三边长为斜边 分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB＝5，求△ABE及 阴影部分的面积. 解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2＝AB2.∴S△ABE＝ AB2＝ . 同理可得S△ACH＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又∵AC2＋BC2＝AB2， ∴阴影部分的面积为 AB2＋ AB2＝ AB2＝ . 第2课时　勾股定理的应用(1) 数学　八年级下册 1.如图，在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝8，则BC的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 D 数学　八年级下册 2.(RJ八下P30T3·改编)如图，一个圆锥的高AO＝2.4，底面 半径OB＝0.7，则AB＝ 5 . 2.5 数学　八年级下册 3.(RJ八下P26例2·改编)如图是一扇高为2 m，宽为1.5 m的 门框，童师傅有3块薄木板，尺寸如下：①长3 m，宽 2.7 m；②长2.8 m，宽2.8 m；③长4 m，宽2.4 m，则薄 木板 能从门框通过.(填序号) ③ 数学　八年级下册 4.(RJ八下P43T2·改编)两人从同一地点同时出发，一人以 8 m/min的速度向北直行，一人以6 m/min的速度向东直 行.10 min后他们相距多远？ 解：两人10分钟后的位置分别在出发点北80 m、东60 m，形成直角三角形. 由勾股定理，得距离为 ＝ ＝100(m). 答：10 min后他们相距100 m. 数学　八年级下册 5.(生活情境)如图，长为24 cm的橡皮筋放置在地面上，固 定两端点A和B，然后把中点C向上拉升5 cm至点D，则 橡皮筋被拉长了 ( ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm A 数学　八年级下册 6.(RJ八下P29T2·改编)如图，等边三角形ABC的边长是10， CD为AB边上的高.求： (1)CD的长； (2)△ABC的面积. 解：(1)∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°. ∵△ABC为等边三角形， ∴BD＝ AB＝ ×10＝5. 数学　八年级下册 ∴CD＝ ＝ ＝5 . (2)∵AB＝10，CD＝5 ， ∴S△ABC＝ AB·CD＝ ×10×5 ＝25 . 数学　八年级下册 7.(RJ八下P43T1·改编)如图，点D在Rt△ABC的边AB上， AD＝0.8，DB＝0.2，CD＝1.7.求AC和BC的长. 解：在Rt△ACD中，∠A＝90°，AD＝0.8，CD＝1.7， ∴AC＝ ＝1.5. 在Rt△ABC中，AB＝AD＋DB＝1， ∴BC＝ ＝ . 数学　八年级下册 8.(RJ八下P43T4·改编)如图，帐篷的长l＝5 m，其横截面 是一个底边长a＝4.8 m，高h＝1.8 m的等腰三角形.制作 此帐篷(不包含底面)至少需要用多少平方米布料？ 数学　八年级下册 解：依题意得，等腰三角形的腰长为 ＝3(m). 3×5×2＋ ×4.8×1.8×2＝38.64(m2)， ∴至少需要用38.64 m2布料. 数学　八年级下册 9.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，则高 AD的长为 ( ) A.9 B.10 C.12 D.12.5 C 数学　八年级下册 10.如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB＝90°，AC＝ 12 cm，BC＝9 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边 AC延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm C 数学　八年级下册 11.梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示， 该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A， B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动.滑块大小忽略 不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时， 滑块A距O点20 cm，滑块B距O点15 cm.当滑块A向下滑 13 cm至点A′处时，滑块B滑动到点B′的位置，则BB′的 长为多少？ 数学　八年级下册 解：在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°， AO＝20 cm，OB＝15 cm， ∴AB＝ ＝ ＝25(cm)； 在Rt△A′OB′中，∵A′O＝AO－AA′＝20－13＝7(cm)，A′B′＝AB＝25 cm， ∴OB′＝ ＝ ＝24(cm). ∴BB′＝OB′－OB＝24－15＝9(cm). 数学　八年级下册 12.松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的 风筝高度CE，测得如下数据：①测 得BD的长度为12 m(BD⊥CE)；②根据 手中剩余线的长度计算出风筝线BC的 长为15 m；③松松身高AB为1.6 m.若松 松同学想使风筝沿CD方向下降4 m，求他应该往回收 线多少. 数学　八年级下册 解：在Rt△BCD中，∵BC＝15 m，BD＝12 m， ∴CD＝ ＝ ＝9(m). 设风筝沿CD方向下降4 m至点F，连接BF，如图，则DF＝9－4＝5(m). ∴BF＝ ＝ ＝13(m). ∴BC－BF＝15－13＝2(m). 即他应该往回收线2 m. 数学　八年级下册 13.(跨学科·新考向)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同 学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上， 另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通 过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1 所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是 9 dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是12 dm.(实验过程中，绳 子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计) 数学　八年级下册 (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了7 dm，求此时物体C升高了 多少？ 数学　八年级下册 解：(1)根据题意，得AC＝12 dm，BC＝9 dm，∠ACB＝90°. ∴AB＝ ＝ ＝15(dm). ∴AB＋AC＝15＋12＝27(dm)，即绳子的总长度为27 dm. (2)如图2， 数学　八年级下册 ∵滑块B向左滑动了7 dm，即BD＝7 dm， ∴BE＝BD＋DE＝7＋9＝16(dm). 在Rt△ABE中，AB＝ ＝ ＝20(dm). 由(1)得，绳子的总长度为27 dm，∴AC＝27－20＝7(dm). ∴物体C升高的高度为CE＝12－7＝5(dm). 即此时物体C升高了5 dm. 数学　八年级下册 $第4课时　勾股定理的应用(3) 数学　八年级下册 1.如图，数轴上点A表示的实数是 ( ) A.2 B. C.1.4 D. －1 B 数学　八年级下册 2.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以 点O为圆心，OP为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则 点A的横坐标为 5 . 数学　八年级下册 3.如图，在数轴上作出表示实数 的点.(不写作法，保留 作图痕迹) 解：如图，点A即为所求作的点. 数学　八年级下册 4.如图，Rt△ABC的周长为36，∠C＝90°，且AB∶AC＝ 5∶4，则BC的长为 ( ) A.9 B.12 C.15 D.18 A 数学　八年级下册 5.(RJ八下P31T9·改编)如图，一处台阶的高h＝35 cm，为 了行走方便，准备在台阶处修建一个水泥坡道.如果所修 坡道的坡度 ＝ ，那么所修坡道的长度l为多少？ 解：依题意，得 ＝ ＝ ，解得d＝120 cm. ∴l＝ ＝125(cm). 答：所修坡道的长度l为125 cm. 数学　八年级下册 6.(数学文化)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一 个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴 岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.(1丈＝10尺)将这个 实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形，其中水 面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E. 数学　八年级下册 (1)图中DE＝ 5尺，EB＝ 5尺； (2)求水池中水的深度. 1 5 解：(2)设水深x尺，则芦苇CD＝BC＝(x＋1)尺. 根据勾股定理，得52＋x2＝(x＋1)2，解得x＝12. 答：水深为12尺. 数学　八年级下册 7.如图，根据尺规作图痕迹，图中点A处所表示的数为( ) A.－ B.2－ C.－2－ D.2＋ B 数学　八年级下册 8.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今 有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？” 其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰 好为1丈，问门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如 图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为 ( ) A.x2＋(x＋6.8)2＝102 B.x2＋(x－6.8)2＝102 C.(x＋6.8)2－x2＝102 D.(x－6.8)2－x2＝102 B 数学　八年级下册 9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径 作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月 牙”.当AC＝2，AB＝2 时，则阴影部分的面积为( ) A.8π B.8 C.4π D.4 D 数学　八年级下册 10.如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1， 以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作 等腰Rt△OA2A3，…，则OA6的长度为 . 8 数学　八年级下册 11.(RJ八下P31T12·改编)三角形工件的尺寸(单位：mm)如 图所示，求这个工件的面积. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 设AD＝x mm，则BD＝(21－x)mm. ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°. 在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝132－x2， 在Rt△BDC中，CD2＝BC2－BD2＝202－(21－x)2， 数学　八年级下册 ∴132－x2＝202－(21－x)2，解得x＝5. ∴CD＝ ＝ ＝12(mm). ∴这个工件的面积S＝ AB·CD＝ ×21×12＝126(mm2). 数学　八年级下册 12.(数学文化)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中 记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二 寸，问门广几何？题目大意是：如图1、图2(图2为图1的 俯视示意图)，今推开双门，门框上点C和点D到门槛的 距离DE为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，则 门宽AB的长是多少寸？ 数学　八年级下册 解：取AB的中点O，由题意可知 OA＝OB＝AD＝BC， OE＝ CD＝ ×2＝1(寸). 设OA＝OB＝AD＝BC＝x寸， 则AE＝OA－OE＝(x－1)寸，AB＝2x寸. 在Rt△DEA中，由勾股定理，得AD2＝AE2＋DE2， ∴x2＝(x－1)2＋102， ∴2x＝101，∴AB＝101寸. 数学　八年级下册 $第6课时　勾股定理逆定理的应用 数学　八年级下册 1.(RJ八下P37T1·改编)A，B，C三地的两两距离如图所示， C地在B地的正北方向，A地在B地的什么方向？ 解：由图知：AB＝12 km，AC＝13 km，BC＝5 km. ∴AB2＋BC2＝AC2. ∴∠ABC＝90°. ∴A地在B地的正东方向. 数学　八年级下册 2.如图，一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O 出发，轮船从港口O沿北偏西18°的方向航行60海里到达 点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点 N处，若M，N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的 方向为 5 . 南偏西72° 数学　八年级下册 3.如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB＝24 m， BC＝20 m，CD＝15 m，AD＝7 m，∠C＝90°，求四边 形绿地ABCD的面积. 解：如图，连接BD. ∵∠C＝90°，BC＝20 m，CD＝15 m， ∴BD2＝CD2＋BC2＝152＋202＝625，S△BCD＝ BC·CD＝ ×20×15＝150( m2). 数学　八年级下册 在△ADB中，AB＝24 m，AD＝7 m， ∴AD2＋AB2＝72＋242＝625， ∴AD2＋AB2＝BD2，∴∠A＝90°. ∴S△ABD＝ AD·AB＝ ×7×24＝84( m2)， ∴S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝150＋84＝234( m2). 数学　八年级下册 4.(RJ八下P43T6·改编)如图，在三角形支架中，AD⊥BC， 垂足为D，AB＝6 ，AC＝6，DC＝3. (1)求BD的长； (2)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由. 解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°. 在Rt△ADC中，AC＝6，DC＝3， ∴AD2＝AC2－CD2＝27. 在Rt△ADB中，AB＝6 ，∴BD＝ ＝9. 数学　八年级下册 (2)△ABC是直角三角形.理由如下： 在△ABC中，BC＝BD＋DC＝9＋3＝12， ∵AB2＋AC2＝(6 )2＋62＝144，BC2＝122＝144， ∴AB2＋AC2＝BC2， ∴支架外框△ABC是直角三角形. 数学　八年级下册 5.如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得AB＝CD＝ 6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，BC⊥CD. (1)求BD的长； (2)根据相关安全标准，AB与BD的夹角需 为90°，通过计算说明该婴儿车的设计 是否符合安全标准. 解：(1)∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°. 在Rt△BCD中，CD＝6 dm，BC＝3 dm， 数学　八年级下册 由勾股定理，得BD＝ ＝3 (dm). 即BD的长为3 dm. (2)∵BD2＋AB2＝(3 )2＋62＝81，AD2＝92＝81， ∴BD2＋AB2＝AD2. ∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°， 即AB与BD的夹角为90°. 故该婴儿车的设计符合安全标准. 数学　八年级下册 6.(面积法·思想方法)一个三角形的三边的长分别是3，4，5， 则这个三角形最长边上的高是 5 . 7.如图，点A，B，C分别是正方体展开图的小正方形的顶 点，则∠ABC＝ 5 . 2.4 90° 数学　八年级下册 8.(RJ八下P38T4·改编)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝ 6，BC边上的中线AD＝5，求AC的长. 解：∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝CD＝ BC＝ ×6＝3. 在△ABD中，AB＝4，AD＝5， ∴AB2＋BD2＝16＋9＝25＝AD2， ∴∠B＝90°. ∴在△ABC中，AC＝ ＝2 . 数学　八年级下册 9.(RJ八下P38T5·改编)如图，在正方形ABCD中，E是BC 的中点，F是CD边上一点，且DF＝3CF.求证：∠AEF＝ 90°.(提示：设元) 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∠B＝∠C＝∠D＝90°. 设AB＝BC＝CD＝DA＝a. 数学　八年级下册 ∵E是BC的中点，且DF＝3CF， ∴BE＝CE＝ a，CF＝ a，DF＝ a. 同理可得EF2＝EC2＋FC2＝ a2，AF2＝AD2＋DF2＝ a2. ∴AE2＋EF2＝AF2， ∴∠AEF＝90°. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2＝ a2. 数学　八年级下册 10.(设元·思想方法)如图，一架无人机旋停在空中点A处， 点A与地面上点B之间的距离AB＝20 m，点A与地面上 点C(点B，C处于同一水平面上)的距离AC＝25 m，且 BC＝15 m. (1)求∠ABC的度数； (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至 点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线 上，连接CD，求这架无人机向下飞行的 距离(AD的长). 数学　八年级下册 解：(1)∵AB2＋BC2＝202＋152＝625，AC2＝252＝625， ∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°. (2)设AD＝x m，则BD＝(20－x) m. ∵点D恰好在边AC的垂直平分线上， ∴CD＝AD＝x m. 在Rt△BDC中，由勾股定理，得DC2＝BD2＋BC2， ∴x2＝(20－x)2＋152，解得x＝ . 答：这架无人机向下飞行的距离(AD的长)为 m. 数学　八年级下册 $第3课时　勾股定理的应用(2) 数学　八年级下册 1.如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三边长a，b， c中，属于无理数的是 ( ) A.a B.b C.c D.a，b A 数学　八年级下册 2.如图，每个小正方形的边长均为1，其中点D与点P之间 的距离为 . 数学　八年级下册 3.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 求网格中△ABC的周长. 解：由勾股定理，得AB＝ ＝ ， BC＝ ＝ ，AC＝ ＝2 . 则△ABC的周长为 AB＋BC＋AC＝ ＋ ＋2 . 数学　八年级下册 4.如图，一根筷子放在圆柱形水杯里，水杯底面直径为 5 cm，高度为12 cm，筷子长为25 cm，露在水杯外面的 筷子长度为a cm，则a最小为 ( ) A.12 B.11 C.14 D.13 A 数学　八年级下册 5.如图，已知带孔的长方形零件尺寸(单位：mm)，求两孔 中心的距离. 解：如图所示，AC即为所求的两孔中心距离， ∴AC＝ ＝ ＝50(mm). ∴两孔中心的距离为50 mm. 数学　八年级下册 6.如图，一建筑物AB的高为6 m，当太阳光与地面的夹角 为60°时，求其影子AC的长度. 解：由题意，得AB＝6 m，∠ACB＝60°，∠BAC＝90°. ∴∠ABC＝90°－∠ACB＝90°－60°＝30°. ∴BC＝2AC. 数学　八年级下册 设AC＝x m，则BC＝2x m. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＋AB2＝BC2， 即x2＋62＝(2x)2.解得x＝2 . 答：其影子AC的长度为2 m. 数学　八年级下册 7.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝ ， AD⊥BC，求BC的长. 解：由∠C＝45°，∠ADC＝90°，AC＝ ， 得AD＝CD＝1. 又∵∠B＝30°，∠ADB＝90°， ∴AB＝2AD＝2，BD＝ ＝ ＝ . ∴BC＝BD＋CD＝ ＋1. 数学　八年级下册 8.(面积法·思想方法)如图，在边长为1的正方形网格中， △ABC的顶点都在格点上，则AB边上的高的长度为 ( ) A.16 B. C. D.1.2 C 数学　八年级下册 9.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1， 点A，B，C都在格点上，以点O为圆心，OA长为半径画 弧，交线段BC于点D，则点D的坐标为 5 . 数学　八年级下册 10.(RJ八下P30T7·改编)如图，在△ABC中，BC＝2，∠A ＝45°，∠B＝60°，求AC的长. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∴∠ADC＝∠BDC＝90°. 在Rt△BCD中，∠B＝60°，∴∠BCD＝30°. ∴BD＝ BC＝ ×2＝1. 数学　八年级下册 ∴CD＝ ＝ ＝ . 在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴∠ACD＝45°. ∴AD＝CD＝ . ∴AC＝ ＝ . 数学　八年级下册 11.(RJ八下P32T14)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角 三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD 的斜边DE上.求证：AE2＋AD2＝2AC2.(提示：连接BD) 数学　八年级下册 证明：如图，连接BD. ∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ECD＝∠ACB＝90°， ∠E＝∠ADC＝45°，AC＝BC， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴2AC2＝AB2，∠ECD－∠ACD＝∠ACB－∠ACD. 数学　八年级下册 ∴∠ACE＝∠BCD. 在△AEC和△BDC中， ∴△AEC≌△BDC(SAS). ∴BD＝AE，∠BDC＝∠E.∴∠BDC＝45°. ∴∠BDC＋∠ADC＝90°，即∠ADB＝90°. ∴BD2＋AD2＝AB2.∴AE2＋AD2＝2AC2. 数学　八年级下册 12.(分类讨论·思想方法)一组正方形按如图所示的方式放置， 其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3，…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形 A2 026B2 026C2 026D2 026的边长是 ( ) D A. B. C. D. 数学　八年级下册 $第5课时　勾股定理的逆定理 数学　八年级下册 1.写出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？ (1)内错角相等，两直线平行； (2)如果两个角是直角，那么它们相等. 解：(1)逆命题：两直线平行，内错角相等.逆命题成立. (2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.逆命题不成立. 数学　八年级下册 2.命题“如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么 这个三角形是直角三角形”的题设是 5 5，结论是 5 5 . 一个三角形的三边长 a，b，c满足a2＋b2＝c2 这个三角形是直角 三角形 数学　八年级下册 3.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，满足(a－3)2＋ ＋|c－5|＝0，则该三角形的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 B 数学　八年级下册 4.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，满 足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( ) A.b2＝c2－a2 B.a∶b∶c＝5∶12∶13 C.∠C＝∠A－∠B D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D 数学　八年级下册 5.下列四组线段中，不能组成直角三角形的是 ( ) A.a＝5，b＝12，c＝13 B.a＝8，b＝16，c＝17 C.a＝7，b＝24，c＝25 D.a＝9，b＝40，c＝41 B 数学　八年级下册 6.下列长度的线段中，能构成直角三角形的是 ( ) A.32，42，52 B.5，7，8 C.6，8，9 D.1， ，2 D 数学　八年级下册 7.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为 1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面 5 .(填“合格”或 “不合格”) 合格 数学　八年级下册 8.(RJ八下P38T2·改编)已知三条线段的长分别为8，10，x， 以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，求x. 解：①当x为直角边长时，由勾股定理，得 x2＋82＝102， 解得x＝6或x＝－6(舍去)； ②当x为斜边长时，由勾股定理，得x2＝82＋102， 解得x＝2 或x＝－2 (舍去). 综上所述，x的值为6或2 . 数学　八年级下册 9.以A(－1，－1)，B(5，－1)，C(2，2)为顶点的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 D 数学　八年级下册 10.如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，△ABC 的顶点在格点上. (1)直接写出AB2＝ 5，BC2＝ 5，AC2＝ 5 ； (2)判断△ABC的形状，并说明理由. 20 5 25 解：(2)△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB2＝20，BC2＝5，AC2＝25， ∴AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形. 数学　八年级下册 11.(RJ八下P36T2·改编)如图，以△ABC的三边为直径，分别作三个半圆，三个半圆的面积分别为S1，S2，S3.若 S1＝S3－S2，判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由. 解：△ABC是直角三角形.理由如下： S1＝ π ＝ πAB2， S2＝ π ＝ πBC2， S3＝ π ＝ πAC2， 数学　八年级下册 ∵S1＝S3－S2，即S1＋S2＝S3， ∴ πAB2＋ πBC2＝ πAC2， ∴AB2＋BC2＝AC2. ∴△ABC是直角三角形. 数学　八年级下册 12.(配方法·思想方法)已知△ABC的三边长分别为a，b，c， 且满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC 的形状. 解：∵a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c， ∴a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0. ∴(a2－10a＋25)＋(b2－24b＋144)＋(c2－26c＋169)＝0. 数学　八年级下册 ∴(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0. ∴a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0， ∴a＝5，b＝12，c＝13. ∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2， ∴△ABC是直角三角形. 数学　八年级下册 $